Sprawozdanie nr 3

Temat:

Wyznaczanie momentu bezwładności żyroskopu

Żyroskop (gr. gyros - obrót, scopeo - obserwować) - urządzenie do pomiaru lub utrzymywania położenia kątowego, działające w oparciu o zasadę zachowania momentu pędu. Został wynaleziony przez francuskiego fizyka Jeana Foucaulta w 1852 roku.

Przyrząd demonstrujący efekty żyroskopowe też jest nazywany żyroskopem, ma on postać krążka, który raz wprawiony w szybki ruch obrotowy zachowuje swoje pierwotne położenie osi obrotu, z niewielkimi ruchami precesyjnymi, które są uwzględniane w określaniu kierunku lub są eliminowane przez tłumienie.

Warunkiem poprawnej pracy żyroskopu jest duża prędkość obrotowa i małe tarcie w łożyskach. Ten drugi cel osiąga się łożyskując żyroskop na strumieniu sprężonego powietrza lub - jeszcze lepiej - zawieszając go w polu elektrostatycznym (lub magnetycznym) w próżni. W przykładowym rozwiązaniu technicznym żyroskop o prędkości 24 tys. obr./min wskazuje stały kierunek w przestrzeni z błędem nie większym niż 0,0001°/h, czyli 1° na 14 miesięcy.

Obracające się ciało o ograniczonej swobodzie ruchu osi obrotu to bąk, żyroskop jest też nazywany bąkiem swobodnym.

Żyroskop kierunkowy

Żyroskop kierunkowy pozwala na obserwację obrotu ciała, do którego jest przymocowany. Żyroskop jest najczęściej wykonany jako szybko wirujący sztywny obiekt (najczęściej dysk) zawieszony w odpowiedniej konstrukcji umożliwiającej jego swobodne obracanie się względem układu odniesienia (np. ciała do którego jest przymocowany). Uzyskuje się to przez zastosowanie specjalnych przegubów z osią obrotu prostopadłą do osi obrotu samego dysku żyroskopu. Pozwala to na minimalizację przenoszenia obrotów ciała na żyroskop, który dąży do utrzymywania swego pierwotnego położenia (lub częściej kierunku) w przestrzeni inercjalnej.

Żyroskop prędkościowy

Inna grupa żyroskopów to tak zwane żyroskopy prędkościowe. Nie utrzymują one stałego kierunku lecz wskazują prędkość kątową obiektu, na którym się znajdują. Do tej grupy zaliczamy żyroskopy mechaniczne które mają ograniczoną swobodę obrotu (zwykle w jednej z osi kartezjańskiego układu współrzędnych), żyroskopy optyczne (laserowe i światłowodowe) i wreszcie żyroskopy wykorzystujące efekt Coriolisa oddziaływający na drgający element.

Znaczenie i zastosowanie praktyczne

Żyroskopy są używane do budowy żyrokompasów, które mają szerokie zastosowanie w nawigacji, w urządzeniach do wskazywania wybranego kierunku używanych w samolotach, śmigłowcach, statkach itp. Urządzenie zbudowane na tej zasadzie jest nazywane żyroskopem, żyrokompasem lub kompasem żyroskopowym.

Zachowanie żyroskopu wynika bezpośrednio z zasady zachowania momentu pędu, toteż wiele obracających się ciał wykazuje własności żyroskopowe. Zaliczyć do nich można np. ciała niebieskie w tym Ziemia, pociski karabinowe wystrzelonych z broni gwintowanej, wirniki maszyn, itp.

Efekt żyroskopowy przedniego koła roweru zwiększa stabilność pojazdu i pozwala na jazdę bez trzymania kierownicy.

Wzory matematyczne

Podstawowe równanie opisujące zachowanie żyroskopu:

Zjawisko zmiany położenia osi wirowania żyroskopu pod wpływem działania siły zewnętrznej nazywane jest precesją. Częstość precesji określa wzór:

gdzie:

• 
  - moment siły,

• 
  - moment pędu żyroskopu,

• I - moment bezwładności,

• ω - prędkość kątowa,

• α - przyspieszenie kątowe,

• t - czas,

• 
  - częstość precesji.

Żyroskopem nazywamy ciało sztywne mające oś symetrii, wykonujący ruch obrotowy wokół punktu, który jest środkiem masy ciała. Punkt ten spoczywa w układzie inercjalnym.

Moment siły ciężkości żyroskopu względem środka masy jest równy zeru. Jeśli żyroskop wiruje z prędkością kątową ω₀ względem osi symetrii, to moment pędu L jest wielkością stałą, a oś symetrii żyroskopu zachowuje stały kierunek w przestrzeni.

Moment pędu:

L= I ω₀ = const

Gdzie:

I - moment bezwładności żyroskopu względem osi symetrii.

Rozważmy przypadek, gdy na żyroskop działa stały zewnętrzny moment siły M prostopadły do osi obrotu żyroskopu (M ω₀ ). Zewnętrzny moment siły M powoduje zmianę wektora momentu pędu dL w czasie dt

Zmiana wektora momentu pędu dL jest prostopadła do momentu pędu. Wektor L w czasie dt zakreśla kąt dφ. Obserwujemy wówczas zjawisko precesji. Polega ona na obrocie osi żyroskopu w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory M i L z prędkością kątową precesji ω₁.

Na rysunku mamy :

dL= dφ x L

Po podzieleniu obustronnie przez czas dt otrzymamy:

Zgodnie ze wzorem otrzymamy zależność pomiędzy wektorami M, L, ω₁ :

M = ω₁ x L

Jeśli zewnętrzny moment siły na stałą wartość, to prędkość kątowa precesji ω₁ jest stała. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego suma wszystkich momentów sił działających na obracający się żyroskop musi równać się zeru. Moment sił zewnętrznych M jest równoważony przez moment sił bezwładności- zwany momentem żyroskopowym M_Z:

M + M_Z = 0

Z równania

M- ω x L= 0

Czyli

M_Z = - ω₁ x L= Lx ω₁

Moment sił żyroskopowych występuje też wtedy, gdy swobodny żyroskop znajduje się w układzie obracającym się z prędkością kątową ω₁. Żyroskop stara się ustawić oś swego obrotu w ten sposób, aby tworzyła ona jak najmniejszy kąt z osią obrotu wymuszonego (ω₁), tak aby moment sił żyroskopowych był równy zeru.

Jeśli np. ω₁ jest prędkością kątową obrotu Ziemii, oś żyroskopu stara się ustawić równolegle do osi ziemskiej tj. w płaszczyźnie południka.

W modelu żyroskopu na przedłużeniu jego osi obrotu znajduje się ciężarek o masie m , który można przesuwać wzdłuż tej osi.

Jeżeli przesuniemy go o odległość r od położenia, w którym żyroskop był zrównoważony, to na żyroskop będzie działał moment siły tego ciężarka M.

M= r x Q = m r x g

Żyroskop będzie wykonywał precesję z prędkością kątową ω₁

m r x g = ω₁ x L = L ω₁ x ω₀

ponieważ r jest prostopadłe do g , a ω₁ jest prostopadłe do ω₀ ,to

m r g = I ω₁ ω₀

stąd moment bezwładności żyroskopu

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:

W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym (
), gdy nie działają na nie żadne momenty sił lub gdy działające momenty sił się wzajemnie równoważą.

 

Warunek równowagi bryły w ruchu obrotowym:

 

Bryła może nie obracać się ale przesuwać ruchem postępowym. Dlatego też dopiero łączne spełnienie warunków równowagi dla obu rodzajów ruchu (postępowego i obrotowego) daje pewność, że bryła pozostaje w spoczynku (lub ruchu jednostajnym):

Precesja

Precesja lub ruch precesyjny jest to zjawisko zmiany kierunku osi obrotu obracającego się ciała. Oś obrotu sama obraca się wówczas wokół pewnego kierunku w przestrzeni zakreślając powierzchnię stożkową.

< Precesja żyroskopu

WYKONANIE ĆWICZENIA:

1. Sprawdzić wypoziomowanie żyroskopu

2. Przesunąć ciężarek m wdłuż osi żyroskopu , tak aby żyroskop był w stanie równowagi statycznej

3. Włączyć zasilanie silnika i potencjometrem „ Reg. Prędkości” nastawić obroty silnika n (obr/min), (nie przekraczać 6000 obr/min)

ω₀ = 2 π n / 60 (obr/s)

4. Przesunąć ciężarek m o odległość r od poprzedniego położenia trzymając belkę poziomo.

5. Po puszczeniu belki i po obrocie żyroskopu o kąt co najmniej 20st. , wcisnąć przycisk „stop” . Odczytać ze wskaźników wartość kąta φ i czas presji t

ω₁ = φ π / t*180 (rad/s)

6. Powtórzyć pomiary prędkości kątowej precesji ω₁ dla kilku wartości r.

7. Obliczyć moment bezwładności żyroskopu ze wzoru

Lp.	m	r	φ	t	ω0	ω1	I	Iśr

---