SPRAWOZDANIE Z WYKONANIA ĆWICZENIA

Elżbieta Tchorowska

17.01.2013

Prow.: dr T. Ossowski

Rok:2 , Fizyka,

czwartek, 10:45

Ćwiczenie nr 14, Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła rewersyjnego

1. Przyrządy pomiarowe: Dokładność:

…………stoper……………..…………………… ……0,001s….…………..

…………………………………………………… …………………………..

…………………………………………………… …………………………..

…………………………………………………… …………………………..

1. Tabela pomiarowa

Nr	X[cm]	T1[s]	T2[s]
1	3	26,183	32,619
2	7	25,522	24,895
3	11	25,101	22,523
4	15	24,875	21,991
5	19	24,805	22,257
6	23	24,877	22,911
7	27	25,074	23,748
8	31	25,364	24,680
9	35	25,739	25,666
10	39	26,184	26,668
11	26	24,872	23,519
12	25	24,844	23,307

Nr	X[cm]	T1[s]	T2[s]
1	36	25,848	25,919
2	35	25,688	25,663
3	35,5	25,754	25,779

Nr	X[cm]	Twach [s]
1	35,5	25,615
2	35,5	25,652

Zmierzone czasy n = 20 okresów drgań dla każdej z osi (t1 dla osi O1 oraz t2 dla O2) oraz dla zbadanych x (odległości ruchomej masy od osi O1)

1. Opis teoretyczny

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie, jakie nadaje siła ciężkości swobodnie spadającemu ciału, czyli siła, z jaką Ziemia przyciąga to ciało. Wartość g nie jest stała. Maleje w miarę jak rośnie wysokość. Wartość przyspieszenia zależy też od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Zasadniczy wpływ ma fakt, iż kula ziemska ma kształt zbliżony do elipsoidy obrotowej, jest spłaszczona od strony biegunów. Odległość od jądra do powierzchni Ziemi jest najkrótsza właśnie na biegunach, zatem tam przyciąganie jest największe, najmniejszą wartość osiąga na równiku. Istotną rolę odgrywa także siła odśrodkowa, powstająca w czasie ruchu obrotowego Ziemi, która zmniejsza ciężar każdego ciała. Zmniejszenie to jest największe na równiku, a w miarę zbliżania się do bieguna maleje do zera. Wartość g zmienia się od około 9,78 m/s² na równiku do około 9,83 m/s² na biegunie. Niejednorodność budowy Ziemi, oraz ukształtowanie powierzchni Ziemi powodują niewielkie lokalne wahania wartości przyspieszenia.

Wahadło matematyczne jest jednym ze sposobów wyznaczania przyspieszeni ziemskiego, jest to punkt materialny, zawieszony na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici znajdujący się w polu ciężkości.. Wahadło, wychylone o mały kąt z położenia równowagi, wykonuje ruch drgający prosty. Jest to ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. W przypadku ruchu okresowego położenie lub stan ciała powtarza się w jednakowych odstępach czasu ( = okres drgań T). Przyspieszenie ruchu wahadła w przypadku małych jego wychyleń (do 5^o) jest proporcjonalne do wychylenia punktu materialnego z położenia równowagi i skierowane ku temu położeniu. W takiej sytuacji okres wahań wynosi:

gdzie:

l - długość wahadła

g - przyspieszenie ziemskie

Stąd wynika, że:

Wychylenie wahadła liczone po łuku koła o promieniu l wynosi:

s = lϕ

Momentem bezwładności nazywamy wielkość charakteryzująca sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu, w ruchu obrotowym bryły sztywnej, wielkość ta identyfikuje masę w ruchu po okręgu.

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc:

Tak zapisujemy moment bezwładności dla bryły sztywnej będącej zbiorem punktów materialnych.

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją w myśli na nieskończenie małe części i sumowanie w powyższym wzorze zastępujemy całkowaniem. W wyniku tych przekształceń otrzymujemy:

I = ∫ r²dm

gdzie:

dm - masa elementu objętości bryły odległego o r od osi.

Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi, nie przechodzącej przez środek masy bryły, zgodnie z którym: moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie bezwładności I względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości a obu osi, czyli:

I = I₀+ma²

W przypadku gdy oś przechodzi przez środek masy bryły do wyznaczenia momentu bezwładności posłuży nam metoda zawieszenia trójnitkowego.

Zasady dynamiki Newtona:

I zasada : Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające się równoważą to ciało pozostaje w spoczynku

lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym;

II zasada : Jeżeli na ciało działają siły, które nie równoważą się to ciało porusza się z przyśpieszeniem wprost

proporcjonalnym do siły wypadkowej: a = F/ m

III zasada : Jeżeli ciało A działa na ciało B z siłą F_AB to ciało B działa na ciało A taką samą co do wartości siła

F_BA , lecz skierowaną przeciwnie.

1. Opracowanie wyników:

1. Obliczenie okresu jednego drgania poprzez podzielenie czasu przez 20:

Nr	X[cm]	T1[s]	T2[s]
1	3	1,30915	1,63095
2	7	1,2761	1,24475
3	11	1,25505	1,12615
4	15	1,24375	1,09955
5	19	1,24025	1,11285
6	23	1,24385	1,14555
7	27	1,2537	1,1874
8	31	1,2682	1,234
9	35	1,28695	1,2833
10	39	1,3092	1,3334
11	26	1,2436	1,17595
12	25	1,2422	1,16535

Nr	X[cm]	T1[s]	T2[s]
1	36	1,2924	1,29595
2	35	1,2844	1,28315
3	35,5	1,2877	1,28895

Nr	X[cm]	Twach [s]
1	41	1,28075
2	41	1,2826

1. Opracowanie wykresu:

1. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego:

Na podstawie wzoru

Gdzie T – okres, l-długość wahadła, g – przyspieszenie ziemskie

Otrzymujemy wzór na przyspieszenie ziemskie:

Długość zredukowanej wynosi 41cm.

Według wykresu okres dla środka ciężkości wahadła rewersyjnego znajduje się na wysokości 35,364cm. Okres jednego drgania wahadła matematycznego dla tej wysokości wynosi około:

Nr	X[cm]	Twach [s]
1	41	1,28075
2	41	1,2826
Średnia:	1,281675

Dla wahadła rewersyjnego:

Nr	X[cm]	T1[s]	T2[s]	Średnia:
3	35,5	1,2877	1,28895	1,288325

Obliczamy wartość g dla wahadła matematycznego:

$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}} = 4*(3,14)^{2}*\frac{0,41m}{(1,281675s)^{2}} = 39,4384*\frac{0,41m}{1,64269s^{2}} = 9,84345\frac{m}{s^{2}}$$

Obliczamy wartość g dla wahadła rewersyjnego:

$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}} = 4*(3,14)^{2}*\frac{0,41m}{(1,288325s)^{2}} = 39,4384*\frac{0,41m}{1,65978s^{2}} = 9,7421\frac{m}{s^{2}}$$

1. Ocena niepewności:

Wyliczono ze wzoru: u(g)/g = u(L)/L + 2 u(T)/T

Więc:

$$\frac{g}{g} = \frac{L}{L} + 2*\frac{T}{T}$$

Dla wahadła matematycznego:

$$g = g*\left( \frac{L}{L} + 2*\frac{T}{T} \right) = 9,84345*\left( \frac{0,0005}{0,41} + 2*\frac{0,005}{1,281675} \right) = 9,80665*\left( 0,00122 + 2*0,0039 \right) = 9,84345*0,00902 = 0,08879$$

Dla wahadła rewersyjnego:

$$g = g*\left( \frac{L}{L} + 2*\frac{T}{T} \right) = 9,7421*\left( \frac{0,0005}{0,41} + 2*\frac{0,005}{1,281675} \right) = 9,80665*\left( 0,00122 + 2*0,0039 \right) = 9,7421*0,00902 = 0,08787$$

1. Wnioski:

Obliczona wartość przyspieszenia ziemskiego dla wahadła matematycznego wynosi $9,84345\frac{m}{s^{2}}$. Po uwzględnieniu błędu wartość ta zawiera się w przedziale <9,75466; 9,93224>. Dla wahadła rewersyjnego obliczona wartość przyspieszenia wynosi $9,7421\frac{m}{s^{2}}$. Po uwzględnieniu błędu wartość zawiera się w przedziale <9,65423; 9,82997>. Prawidłową wartością przyspieszenia ziemskiego jest 9,80665$\frac{m}{s^{2}}$ . Otrzymane wyniki są więc w normie i ćwiczenie zostało wykonane poprawnie.