Akademia Górniczo-Hutnicza

w Krakowie

Modelowanie w Projektowaniu Maszyn

Projekt

Stół wibracyjny

Hyrchel Marcin

Mazan Maciej

Nowak Patryk

Padło Maciej

Szlachta Grzegorz

Gr. K2

1. Dane

f = 0, 23 [m]	N = 1, 5 [kW]
e = 0, 025 [m]	nN = 1415 [obr]
b = 1, 5 [m]	n0 = 1500 [obr]
a = 0, 45[m] $$l = \frac{b}{2} = 0,75\left\lbrack m \right\rbrack$$ $$h = \frac{a}{2} = 0,225\left\lbrack m \right\rbrack$$	przeciazalnosc p = 3
M = 112 [kg]	n = 2 lb. okresow drgan
ml = 15, 2 [kg]	T = 0, 12 [s] okres drgan
mw = 7 [kg]	A1 = 7, 6 [mm]
J = 22, 89 [kg * m^2]	A3 = 1, 2 [mm]
Jl = 0, 3 [kg * m^2]
JwA = 0, 0285 [kg * m^2]
Jw = JwA + e^2 * mw  = 0, 033[kg * m^2]

1. Współrzędne uogólnione

Przyjęte współrzędne uogólnione: {x,y,φ,β,α}
Założenia:
sinβ = β sinφ = φ cosβ = 1 cosφ = 1

1. Współrzędne wierzchołków

xA = x − lsinφ xB = x − lsinφ xC = x + lsinφ xD = x + lsinφ	yA = y + hsinφ yB = y − hsinφ yC = y − hsinφ yD = y + hsinφ

xA = x − lφ xB = x − lφ xC = x + lφ xD = x + lφ	yA = y + hφ yB = y − hφ yC = y − hφ yD = y + hφ

1. Równania więzów

$$\left\{ \begin{matrix} x_{w} = ecos \propto + fcos\beta + x + lcos\varphi \\ y_{w} = esin\alpha + fsin\beta + y + lsin\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{w} = ecos\alpha + f + x + l \\ y_{w} = esin\alpha + f\beta + y + l\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{w} = - e\dot{\alpha}sin\alpha + \dot{x} \\ {\dot{y}}_{w} = e\dot{\alpha}cos\alpha + f\dot{\beta} + \dot{y} + l\dot{\varphi} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{l} = fcos\beta + x + lcos\varphi \\ y_{l} = fsin\beta + y + lsin\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{l} = f + x + l \\ y_{l} = f\beta + y + l\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{l} = \dot{x} \\ {\dot{y}}_{l} = f\dot{\beta} + \dot{y} + l\dot{\varphi} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Obliczanie

• Moment elektryczny silnika

$$M_{n} = 9550*\frac{N}{n_{N}} = 10,12\ \text{Nm}$$

$$\omega_{N} = \frac{\pi n_{N}}{30} = 148,2\ \frac{1}{s}$$

M_ut = p * M_n = 3 * 10 = 30, 36 Nm

$$\omega_{s} = \frac{\pi n_{s}}{30} = 157,1\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$s_{N} = \frac{\omega_{s} - \omega_{N}}{\omega_{s}} = \frac{157,1 - 148,2}{157,1} = 0,057$$

$$s_{\text{ut}} = s_{N}\left( p + \sqrt{p^{2} - 1} \right) = 0,057*\left( 3 + \sqrt{3^{2} - 1} \right) = 0,33$$

$$\omega_{\text{ut}} = \omega_{s}\left( 1 - s_{\text{ut}} \right) = 105,3\frac{\text{rad}}{s}$$

$$M_{\text{el}} = \frac{2M_{\text{ut}}(\omega_{s} - \omega_{\text{ut}})(\omega_{s} - \omega_{\alpha})}{\left( \omega_{s} - \omega_{\text{ut}} \right)^{2} + {(\omega_{s} - \omega_{\alpha})}^{2}} = \frac{2*30,36*(157,1 - 105,3)(157,1 - \omega_{\alpha})}{{(157,1 - 105,3)}^{2} + {(157,1 - \omega_{\alpha})}^{2}} = \frac{3145,3*(157,1 - \omega_{\alpha})}{2683,2*{(157,1 - \omega_{\alpha})}^{2}}$$

$$\omega_{\alpha} = \dot{\alpha}$$

• Współczynnik tłumienia

$$b = \frac{2\text{mδ}}{\text{nT}}\ \left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

Dla 4 tłumików

$$m = \frac{m_{s} + m_{l} + m_{w}}{4} = \frac{112 + 15,2 + 7}{4} = 33,55\ \lbrack\text{kg}\rbrack$$

$$\delta = \ln\left\lbrack \frac{x(t_{0})}{x(t_{0} + \text{nT})} \right\rbrack = \ln\frac{7,6}{1,2} = 1,8458$$

$$b = \frac{2\text{mδ}}{\text{nT}} = \frac{2*33,55*1,8458}{2*0,12} = 516,055\ \left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

• Współczynnik sztywności sprężyny

$$\omega_{tl} = \frac{2\pi}{T} = \frac{\sqrt{4\text{km} - b^{2}}}{2m}$$

$$k = \frac{4m\pi^{2}}{T^{2}} + \frac{b^{2}}{4m} = \frac{4*33,6*{3,14}^{2}}{{0,12}^{2}} + \frac{{516,83}^{2}}{4*33,6} = 92241\ \frac{N}{m}$$

1. Energia kinetyczna

$$E_{k} = \frac{1}{2}*M*{\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2}*M*{\dot{y}}^{2} + \frac{1}{2}*J*{\dot{\varphi}}^{2} + \frac{1}{2}m_{l}\ {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2}m_{l}\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right)^{2} + \frac{1}{2}J_{l}{\dot{\beta}}^{2} + \frac{1}{2}m_{w}\left( \dot{x} - e\dot{\alpha}\text{sinα} \right)^{2} + \frac{1}{2}m_{w}\left( \dot{y} + l\dot{\varphi} + f\dot{\beta} + e\dot{\alpha}\text{cosα} \right)^{2} + \frac{1}{2}J_{w}{\dot{\alpha}}^{2}$$

1. Energia potencjalna

$$E_{p} = \frac{1}{2}*k\left( 4x^{2} + 4l^{2}\varphi^{2} \right) + \frac{1}{2}*k\left( 4y^{2} + {4h}^{2}\varphi^{2} \right) = 2kx^{2} + 2kl^{2}\varphi^{2} + 2ky^{2} + {2kh}^{2}\alpha^{2}$$

1. Potencjał Lagrange’a

L = E_k − E_p

$$L = \frac{1}{2}M{\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2}M{\dot{y}}^{2} + \frac{1}{2}J{\dot{\varphi}}^{2} + \frac{1}{2}m_{l}\ {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2}m_{l}\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right)^{2} + \frac{1}{2}J_{l}{\dot{\beta}}^{2} + \frac{1}{2}m_{w}\left( \dot{x} - e\dot{\alpha}\text{sinα} \right)^{2} + \frac{1}{2}m_{w}\left( \dot{y} + l\dot{\varphi} + f\dot{\beta} + e\dot{\alpha}\text{cosα} \right)^{2} + \frac{1}{2}J_{w}{\dot{\alpha}}^{2} - (2kx^{2} + 2kl^{2}\varphi^{2} + 2ky^{2} + {2kh}^{2}\alpha^{2})$$

1. Moc strat (dyssypacja energii)

$$N = b{\dot{x}}^{2} + b{\dot{y}}^{2} = b\left( 4{\dot{x}}^{2} + {4l}^{2}{\dot{\varphi}}^{2} \right) + b\left( 4{\dot{y}}^{2} + {4h}^{2}{\dot{\varphi}}^{2} \right) = 4b{\dot{x}}^{2} + 4b{\dot{y}}^{2} + {\dot{\varphi}}^{2}\left( {4bl}^{2} + {4bh}^{2} \right)$$

1. Równania różniczkowe dla współrzędnych uogólnionych

dla x

$$Q_{x} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{x}} = 0$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} = M\dot{x} + m_{l}\ \dot{x} + m_{w}\left( \dot{x} - e\dot{\alpha}\text{sinα} \right)\backslash n$$

$$\frac{\partial L}{\partial x} = - 4\text{kx}$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{x}} = 8b\dot{x}$$

$$Q_{x} = \ddot{x}\left( M + m_{l} + m_{w} \right) + m_{w}( - e\ddot{\alpha}sin\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}cos\alpha) + 4\text{kx} + 4b\dot{x} = 0$$

dla y

$$Q_{y} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{y}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{y}} = M\dot{y} + m_{l}\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right) + m_{w}(\dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} + e\dot{\alpha}cos\alpha)$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}} = M\ddot{y} + m_{l}\left( \ddot{y} + f\ddot{\beta} + l\ddot{\varphi} \right) + m_{w}\left( \ddot{y} + f\ddot{\beta} + l\ddot{\varphi} + e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}\text{sinα} \right) = \ddot{y}\left( M + m_{l} + m_{w} \right) + \ddot{\varphi}l\left( m_{l} + m_{w} \right) + \ddot{\beta}f\left( m_{l} + m_{w} \right) + m_{w}(e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}sin\alpha)$$

$$\frac{\partial L}{\partial y} = - 4\text{ky}$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{y}} = 8b\dot{y}$$

$$Q_{y} = \ddot{y}\left( M + m_{l} + m_{w} \right) + \left( \ddot{\varphi}l + \ddot{\beta}f \right)\left( m_{l} + m_{w} \right) + m_{w}\left( e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}\text{sinα} \right) + 4ky + 4b\dot{y}$$

dla φ

$$Q_{\varphi} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} - \frac{\partial L}{\partial\varphi} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{\varphi}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = J\dot{\varphi} + m_{l}l\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right) + m_{w}l(\dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} + e\dot{\alpha}cos\alpha)$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = J\ddot{\varphi} + m_{l}l\left( \ddot{y} + f\ddot{\beta} + l\ddot{\varphi} \right) + m_{w}l(\ddot{y} + f\ddot{\beta} + l\ddot{\varphi} + e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}sin\alpha)$$

$$\frac{\partial L}{\partial\varphi} = - 4kh^{2}\varphi - 4kl^{2}\varphi$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{\varphi}} = 8bh^{2}\dot{\varphi} + 8bl^{2}\dot{\varphi}$$

$$Q_{\varphi} = \ddot{\varphi}\ \left( J + m_{l}l^{2} + m_{w}l^{2} \right) + \left( \ddot{y} + f\ddot{\beta} \right)\left( m_{l}l + m_{w}l \right) + m_{w}l\left( e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}\text{sinα} \right) + 4kh^{2}\varphi + 4kl^{2}\varphi + 4bh^{2}\dot{\varphi} + 4bl^{2}\dot{\varphi}$$

dla β

$$Q_{\beta} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\beta}} - \frac{\partial L}{\partial\beta} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{\beta}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\beta}} = m_{l}f\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right) + J_{l}\dot{\beta} + m_{w}f(\dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} + e\dot{\alpha}cos\alpha)$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\beta}} = \ddot{\beta}\ \left( J_{l} + m_{l}f^{2} + m_{w}f^{2} \right) + \left( \ddot{y} + l\ddot{\varphi} \right)\left( m_{l}f + m_{w}f \right) + m_{w}f\left( e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}\text{sinα} \right)$$

$$\frac{\partial L}{\partial\beta} = 0$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{\beta}} = 0$$

$$Q_{\beta} = \ddot{\beta}\ \left( J_{l} + m_{l}f^{2} + m_{w}f^{2} \right) + \left( \ddot{y} + l\ddot{\varphi} \right)\left( m_{l}f + m_{w}f \right) + m_{w}f\left( e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}\text{sinα} \right) = 0$$

dla α

$$Q_{\alpha} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial\alpha} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{\alpha}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} = - m_{w}\text{esin}\alpha\left( \dot{x} - e\dot{\alpha}\sin\alpha \right){+ m}_{w}\text{ecos}\alpha\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} + e\dot{\alpha}\text{cosα} \right) + J_{w}\dot{\alpha} = m_{w}e^{2}\dot{\dot{\alpha}(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)} + J_{w}\dot{\alpha} - m_{w}\text{esinα}\dot{x} + m_{w}\text{ecos}\alpha\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right) = \dot{\alpha}(m_{w}e^{2} + J_{w}) - m_{w}e\dot{x}\text{sinα} + m_{w}\text{ecos}\alpha\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} \right)$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} = \ddot{\alpha}(m_{w}e^{2} + J_{w}) - m_{w}e(\ddot{x}sin\alpha + \dot{x}\dot{\alpha}\cos\alpha - \ddot{y}\cos\alpha + \dot{y}\dot{\alpha}cos\alpha - f\ddot{\beta}\cos\alpha + f\dot{\beta}\dot{\alpha}\sin\alpha - l\ddot{\varphi}cos\alpha + l\dot{\varphi}\dot{\alpha}sin\alpha)$$

$$\frac{\partial L}{\partial\alpha} = m_{w}e\dot{\alpha}\cos\alpha\left( \dot{x} - e\dot{\alpha}\sin\alpha \right){- m}_{w}e\dot{\alpha}\sin\alpha\left( \dot{y} + f\dot{\beta} + l\dot{\varphi} + e\dot{\alpha}\text{cosα} \right) = m_{w}e\dot{\alpha}(\dot{x}\cos\alpha - \dot{y}\sin\alpha - f\dot{\beta}\sin\alpha - l\dot{\varphi}\sin\alpha)$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{\varphi}} = 0$$

$$Q_{\alpha} = \ddot{\alpha}(m_{w}e^{2} + J_{w}) - m_{w}e(\ddot{x}sin\alpha + \dot{x}\dot{\alpha}\cos\alpha - \ddot{y}\cos\alpha + \dot{y}\dot{\alpha}cos\alpha - f\ddot{\beta}\cos\alpha + f\dot{\beta}\dot{\alpha}\sin\alpha - l\ddot{\varphi}cos\alpha + l\dot{\varphi}\dot{\alpha}sin\alpha) - m_{w}e\dot{\alpha}(\dot{x}\cos\alpha - \dot{y}\sin\alpha - f\dot{\beta}\sin\alpha - l\dot{\varphi}\sin\alpha) = M_{\text{el}}$$

Macierz

$$\begin{bmatrix} M + m_{l} + m_{w} & 0 & 0 & 0 & - m_{w}\text{esinα} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M + m_{l} + m_{w} & l(m_{l} + m_{w}) & {f(m}_{l} + m_{w}) & m_{w}\text{ecosα} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & l(m_{l} + m_{w}) & l^{2}{(m}_{l} + m_{w}) + J & {\text{fl}(m}_{l} + m_{w}) & \text{el}m_{w}\text{cosα} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {f(m}_{l} + m_{w}) & {\text{fl}(m}_{l} + m_{w}) & f^{2}{(m}_{l} + m_{w}) + J_{l} & m_{w}\text{efcosα} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - m_{w}\text{esinα} & m_{w}\text{ecosα} & m_{w}\text{elcosα} & m_{w}\text{efcosα} & m_{w}e^{2} + J_{w} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

 

$\frac{d}{\text{dt}}\text{\ \ }$ $\begin{bmatrix} v_{x} \\ v_{y} \\ \omega_{\varphi} \\ \omega_{\beta} \\ \omega_{\alpha} \\ x \\ y \\ \varphi \\ \beta \\ \alpha \\ \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} m_{w}e{\omega_{\alpha}}^{2}\text{cosα} - 4\text{kx} - 4bv_{x} \\ m_{w}e{\omega_{\alpha}}^{2}sin\alpha - 4ky - 4bv_{y} \\ m_{w}le{\omega_{\alpha}}^{2}sin\alpha - 4kh^{2}\varphi - 4kl^{2}\varphi - 4bh^{2}\omega_{\varphi} - 4bl^{2}\omega_{\varphi} \\ m_{w}fe{\omega_{\alpha}}^{2}\text{sinα} \\ \text{Mel} \\ v_{x} \\ v_{y} \\ \omega_{\varphi} \\ \omega_{\beta} \\ \omega_{\alpha} \\ \end{bmatrix}$

1. Wyznaczenie reakcji

• wyznaczenie sił reakcji w punkcie A

$$\left\{ \begin{matrix} x_{w} = ecos\alpha + f + x + l \\ y_{w} = esin\alpha + f\beta + y + l\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{w} = - e\dot{\alpha}sin\alpha + \dot{x} \\ {\dot{y}}_{w} = e\dot{\alpha}cos\alpha + f\dot{\beta} + \dot{y} + l\dot{\varphi} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\ddot{x}}_{w} = - e\ddot{\alpha}sin\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}cos\alpha + \ddot{x} \\ {\ddot{y}}_{w} = e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}sin\alpha + f\ddot{\beta} + \ddot{y} + l\ddot{\varphi} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$R_{x_{w}} = m_{w}*{\ddot{x}}_{w}$$

$$R_{y_{w}} = m_{w}*{\ddot{y}}_{w}$$

$$R_{x_{w}} = m_{w}\left( - e\ddot{\alpha}sin\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}cos\alpha + \ddot{x} \right)$$

$$R_{y_{w}} = m_{w}*\left( e\ddot{\alpha}cos\alpha - e{\dot{\alpha}}^{2}sin\alpha + f\ddot{\beta} + \ddot{y} + l\ddot{\varphi} \right)$$

• wyznaczenie sił działających na fundament

$$\left\{ \begin{matrix} x_{l} = f + x + l \\ y_{l} = f\beta + y + l\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{l} = \dot{x} \\ {\dot{y}}_{l} = f\dot{\beta} + \dot{y} + l\dot{\varphi} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$R_{x_{l}} = b*{\dot{x}}_{l} + k*x_{l}$$

$$R_{y_{l}} = b*{\dot{y}}_{l} + k*y_{l}$$

$$R_{x_{l}} = b*\dot{x} + k*(f + x + l)$$

$$R_{y_{l}} = b*(f\dot{\beta} + \dot{y} + l\dot{\varphi}) + k*(f\beta + y + l\varphi)$$

1. Kod programu Matlab

• Plik funkcyjny do rozwiązania równania różniczkowego

% Funkcja do rozwiazania rownania rozniczkowego

function dxdt=stol(t,x)

%Parametry ukladu

%Masa

M=112; %masa stolu [kg]

m_l=15.2; %masa lacznika [kg]

m_w=7; %masa wibratora [kg]

g=9.81; %przyspieszenie ziemskie [m/s^2]

%Moment bezwladnosci

J=22.89; %moment bezwladnosci stolu [kg*m^2]

J_l=0.3; %moment bezwladnosci lacznika [kg*m^2]

J_w = 0.033 ;%moment bezwladnosci wibratora [kg*m^2]

%Wymiary stolu

a = 0.45; %szerokosc stolu [m]

b = 1.5; %wysokosc stolu [m]

f = 0.23; %mimosrod lacznika [m]

e = 0.025; %mimosrod wibratora [m]

l = b/2; %polowa wysokosci stolu [m]

h = a/2; %polowa szerokosci stolu [m]

%Parametry silnika

N_el = 1500; %moc nominalna silnika [W]

P = 3; %przeciazalnosc silnika

n_N = 1415; %nominalna predkosc obrotowa [obr/min]

omega_N = 2*pi*n_N/60; %nominalna predkosc katowa [rad/s]

n_o = 1500; %predkosc synchroniczna silnika [obr/min]

omega_o = 2*pi*n_o/60; %synchroniczna predkosc katowa silnika [rad/s]

%Pozostale parametry napedu

M_z = (N_el)/(omega_N); %moment znamionowy silnika [Nm]

M_elmax = P * M_z; %moment maksymalny silnika [Nm]

s_N = (omega_o - omega_N)/omega_o; %poslizg nominalny silnika

s_K = s_N * (P + sqrt(P^2 -1)); %poslizg krytyczny silnika

omega_K = omega_o * (1-s_K); %predkosc katowa silnika dla maksymalnego poslizgu [rad/s]

%Wyznaczanie tlumienia(b_tl) i sprezystosci(k)

A_1 = 7.6*10^(-3); %pierwsza amplituda [m]

A_3 = 1.2*10^(-3); %trzecia amplituda [m]

T = 0.12; %okres [sek]

delta = log(A_1/A_3); %obliczenie delty

b_t = (2*(M + m_l + m_w)*delta)/(2*T); %obliczenie wartości wspolczynnika tlumienia b_tl

b_tl = b_t/4;

k = ((4*(pi^2)*(M + m_l + m_w)/(T^2))+(((b_tl)^2)/(4*(M + m_l + m_w)))); %obliczenie wartosci wspolczynnika sprezystoci k [N/m]

k1=k/4;

%Deklaracja macierzy stanu

vx = x(1);

vy = x(2);

omega_fi = x(3);

omega_beta = x(4);

omega_alfa = x(5);

x1 = x(6);

y = x(7);

fi = x(8);

beta = x(9);

alfa= x(10);

M_el=2*M_elmax*(omega_o-omega_K)*(omega_o-omega_alfa)/((omega_o-omega_K)^2+(omega_o-omega_alfa)^2);

%Deklaracja elementow maciery stanu (WIERSZ, KOLUMNA)

M1=zeros(10,10);

M1(1,1) = M + m_l + m_w;

M1(1,5) = -1*e*m_w*sin(alfa);

M1(2,2) = M + m_l + m_w;

M1(2,3) = l*(m_l + m_w);

M1(2,4) = f*(m_l + m_w);

M1(2,5) = m_w*e*cos(alfa);

M1(3,2) = l*(m_l + m_w);

M1(3,3) = J + (l^2)*(m_l + m_w);

M1(3,4) = l*f*(m_l+m_w);

M1(3,5) = l*e*m_w*cos(alfa);

M1(4,2) = f*(m_l+m_w);

M1(4,3) = l*f*(m_l+m_w);

M1(4,4) = f^2*(m_w+m_l)+J_l;

M1(4,5) = m_w*f*e*cos(alfa);

M1(5,1) = -1*m_w*e*sin(alfa);

M1(5,2) = m_w*e*cos(alfa);

M1(5,3) = l*e*m_w*cos(alfa);

M1(5,4) = f*e*m_w*cos(alfa);

M1(5,5) = m_w*(e^2) + J_w;

M1(6,6) = 1;

M1(7,7) = 1;

M1(8,8) = 1;

M1(9,9) = 1;

M1(10,10) = 1;

%Deklaracja macierzy wyrazow wolnych

Q(1) = m_w*e*((omega_alfa)^2)*cos(alfa) - 4*k1*x1-4*b_tl*vx;

Q(2) = m_w*e*((omega_alfa)^2)*sin(alfa) - 4*k1*y - 4*b_tl*vy;

Q(3) = m_w*l*e*((omega_alfa)^2)*sin(alfa)-4*k1*h^2*fi-4*k1*l^2*fi-4*b_tl*h^2*omega_fi-4*b_tl*l^2*omega_fi;

Q(4) = m_w*f*e*((omega_alfa)^2)*sin(alfa);

Q(5) = M_el;

Q(6) = vx;

Q(7) = vy;

Q(8) = omega_fi;

Q(9) = omega_beta;

Q(10) = omega_alfa;

dxdt = inv(M1)*Q';

• Program służący do wykreślania charakterystyk stołu wibracyjnego

% Poczatek programu i wczytanie danych

clear all;

close all;

clc;

x0=zeros(10,1);

t=0:0.01:600;

[t,x]=ode45('stol1',t,x0);

% Rysowanie wykresu predkosci Vx od czasu

figure(1)

plot(t,x(:,1))

title('Wykres predkosci liniowej stolu V_x');

xlabel('czas [s]')

ylabel('Predkosc V_x [m/s]')

axis([0,4,-0.4,0.4])

% Rysowanie wykresu predkosci Vy od czasu

figure(2)

plot(t,x(:,2))

title('Wykres predkodci liniowej stolu V_y');

xlabel('czas [s]')

ylabel('Predkosc V_y [m/s]')

axis([0,4,-0.1,0.1])

% Rysowanie wykresu predkosci obrotowej omega_fi od czasu

figure(3)

plot(t,x(:,3))

title('Wykres predkodci obrotowej stolu \omega_\phi')

xlabel('czas [s]')

ylabel('Predkosc \omega_\phi [rad/s]')

axis([0,4,-0.5,0.5])

% Rysowanie wykresu predkosci obrotowej omega_beta od czasu

figure(4)

plot(t,x(:,4))

title('Wykres predkosci obrotowej lacznika \omega_\beta')

xlabel('czas [s]')

ylabel('Predkosc \omega_\beta [rad/s]')

axis([0,4,-5,5])

% Rysowanie wykresu predkosci obrotowej omega_alfa od czasu

figure(5)

plot(t,x(:,5))

title('Wykres predkosci obrotowej wibratora \omega_\alpha')

xlabel('czas [s]')

ylabel('Predkosc \omega_\alpha [rad/s]')

axis([0,4,0,170])

% Rysowanie wykresu przemieszczenia x od czasu

figure(6)

plot(t,x(:,6))

title('Wykres przemieszczenia stolu x');

xlabel('czas [s]');

ylabel('przemieszczenie x [m]')

axis([0,4,-3*10^(-3),4*10^(-3)])

% Rysowanie wykresu przeszmieszczenia y od czasu

figure(7)

plot(t,x(:,7))

title('Wykres przemieszczenia stolu y');

xlabel('czas [s]');

ylabel('przemieszczenie y [m]')

axis([0,4,-1*10^(-3),1*10^(-3)])

% Rysowanie wykresu obrotu kata fi od czasu

figure(8)

plot(t,x(:,8))

title('Wykres obrotu stolu \phi');

xlabel('czas [s]');

ylabel('obrót \phi [rad]');

axis([0,4,-0.003,0.003])

% Rysowanie wykresu obrotu katu beta od czasu

figure(9)

plot(t,x(:,9))

title('Wykres obrotu lacznika \beta');

xlabel('czas [s]');

ylabel('obrót \beta [rad]');

axis([0,5,-0.035,0.035])

% Rysowanie wykresu obrotu kata alfa od czasu

figure(10)

plot(t,x(:,10))

title('Wykres obrotu wibratora \alpha');

xlabel('czas [s]');

ylabel('obrót \alpha [rad]');

% Obliczanie przyspieszen

N=length(x);

t1=0.01:0.01:600;

ax=diff(x(:,1));

ay=diff(x(:,2));

omega_alfa = 0:0.1:157.1;

Mo=2*30.36*(157.1-105.3)*(157.1-omega_alfa)./((157.1-105.3)^2+(157.1-omega_alfa).^2);

% Wykreslanie charakterystyki momentu obrotowego silnika od kata obrotu alfa

figure(11)

plot(omega_alfa,Mo)

title('Charakterystyka zmian momentu obrotowego silnika Mo(\omega_\alpha)');

xlabel('\omega_\alpha [rad/s]');

ylabel('Mo [Nm]');

% Obliczanie reakcji w puncie A

epsilon_alfa=diff(x(:,5));

epsilon_fi=diff(x(:,3));

epsilon_beta=diff(x(:,4));

% Obliczanie poszczegolnych wyrazow wyrazenia na sile reakcji

rr=0.45/2*epsilon_fi;

tt=0.23*epsilon_beta;

uu=sin(x(1:N-1,10));

pp=0.025*(x(1:N-1,5)).^2;

jj=0.025*epsilon_alfa;

zz=cos(x(1:N-1,10));

RxA=7.2*(ax+rr+tt-jj.*uu-pp.*zz); % Reakcja w puncie A w kier. X

RyA=7.2*(ay+jj.*zz-pp.*uu); % Reakcja w punkcie A w kierunku Y

RA=sqrt(RxA.^2+RyA.^2); % Wypadkowa sila reakcji w puncie A

% Wykreslanie wielkosci reakcji w puncie A od czasu

figure(12)

subplot(3,1,1)

plot(t1,RA) % Wykres wypadkowej sily reakcji

title('Reakcja wypadkowa w punkcie A')

xlabel('czas [s]');

ylabel('sila[N]');

axis([0,4,0,5000])

hold on

subplot(3,1,2)

plot(t1,RxA,'r') % Wykres sily reakcji w kierunku X

title('Reakcja w osi x w punkcie A')

xlabel('czas [s]');

ylabel('sila[N]');

axis([0,4,-5500,5500])

hold on

subplot(3,1,3)

plot(t1,RyA,'g') % Wykres sily reakcji w kierunku Y

title('Reakcja w osi y w punkcie A')

xlabel('czas [s]');

ylabel('sila[N]');

axis([0,4,-5500,5500])

% Obliczanie sily reakcja w wierzcholku c3 stolu

% Obliczanie wartosci skladowych sil w kierunkach X oraz Y

Rxc3=516.8315*((x(1:N-1,1))-0.45/2*(x(1:N-1,3)))+92441*((x(1:N-1,6)-0.45/2*(x(1:N-1,8))));

Ryc3=516.8315*((x(1:N-1,2))+1.5/2*(x(1:N-1,3)))+92441*((x(1:N-1,7)+1.5/2*(x(1:N-1,8))));

% Obliczanie wypadkowej sily reakcji

Rc3=sqrt(Rxc3.^2+Ryc3.^2);

% Wykreslanie wielkosci reakcji w wierzcholku C3 od czasu

figure(13)

subplot(3,1,1)

plot(t1,Rc3) % Wykres zaleznosci wypadkowej sily od czasu

title('sila wypadkowa przekazywana na fundament')

xlabel('czas [s]');

ylabel('sila[N]');

axis([0,4,0,400])

hold on

subplot(3,1,2)

plot(t1,Rxc3,'r') % Wykres skladowej X od czasu

title('sila przekazywana na fundament w osi x')

xlabel('czas [s]');

ylabel('sila[N]');

axis([0,4,-500,500])

hold on

subplot(3,1,3)

plot(t1,Ryc3,'g') % Wykres skladowej Y od czasu

title('sila przekazywana na fundament w osi y')

xlabel('czas [s]');

ylabel('sila[N]');

axis([0,4,-500,500])

13. Otrzymane wykresy przebiegów czasowych:

- przemieszczenia i prędkości współrzędnych uogólnionych:

Moment obrotowy silnika:

Siły reakcji w punkcie A (łącznik)

Siły przekazywane na fundament

14. Wnioski:

Przy użyciu równań Lagrage’a oraz programu Matlab wyznaczono przewidywany ruch stołu. W celu weryfikacji wyników należałoby porównać je z danymi empirycznymi w celu określenia poprawności metody. Przy pomocy równań Lagrage’a II-go rzędu możemy wyznaczać równania ruchu nawet bardzo złożonych maszyn, mających wiele stopni swobody.

Wnioski z przeprowadzonej analizy:

• Opracowywany stół wibracyjny bardzo szybko osiąga okres pracy ustalonej, już po upływie 0,5 sekundy jego praca się stabilizuje, przypomina wykres funkcji okresowej,

• Dla powyższych danych nie zachodzi zjawisko rezonansu, początkowo wykresy nieznacznie wykraczają poza zakres pracy ustalonej potem się stabilizują,

• Wykresy prędkości i przemieszczeń podczas wybiegu zmierzają asymptotycznie do zera. Powodem takiego zachowania jest pominięcie oporów tarcia i uwzględnienie wyłącznie tłumików jako miejsc dyssypacji energii,

• Bardzo duże siły reakcji występuje w połączeniu wibrator-łącznik i wynoszą około 4, 5kN co jest najprawdopodobniej efektem działania masy niewyrównoważonej,

• Siła reakcji przekazywana na fundament ustala się po upływie 0,5 sekundy i osiąga wartości w zakresie od 200 do 600N.