Grupa, gdy:

1. Działanie☻ jest wykonywalne w danym zbiorze

2. Działanie☻ jest łączne

3. W działaniu☻ istnieje element neutralny (e)

4. W działaniu☻ dla każdego elementu a istnieje taki element -a (nazywany odwrotnym), gdzie

a☻-a=e

Grupa jest przemienna, jeżeli działanie☻ poza spełnieniem 4 ww. warunków jest dodatkowo przemienne.

Pierścień, gdy dla zbioru G i działań☻ i ☺:

1. Działanie☻w zbiorze G jest grupą przemienną (inaczej zwaną abelową)

2. Działanie ☺ jest łączne w zbiorze G

3. Działanie☺jest obustronnie rozdzielne względem działania, czyli

a☺(b☻c)= a☺b☻a☺c

(b☻c)☺a= b☺a☻c☺a

Gdy dodatkowo działanie☺jest przemienne, pierścień jest pierścieniem przemiennym.

Ciało, gdy dla zbioru G i działań☻ i ☺jest to pierścień przemienny, i dodatkowo dla każdego elementu a istnieje element 1/a (jeden dzielone przez a), który należy do zbioru G.