KF PŚk	Imię i Nazwisko: Ewa Tkaczewska, Martyna Wykrota, Joanna Pardela, Anna Rek	WZiMK gr. 101 B
Symbol ćwiczenia: M- 1	Temat: Badanie ruchu jednostajnego zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.
Data wykonania:	Data oddania poprawy:	Ocena

1. Wstęp teoretyczny.

Kinematyka ruchu:

• postępowego

- Przyspieszenie - wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie.

Gdzie, v - prędkość

t – czas

- Prędkość - wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.

v = $\frac{\text{ds}}{\text{dt}}$ Gdzie, s - droga

t – czas

• obrotowego

- Przyspieszenie -  jest wielkością opisującą ruch krzywoliniowy wyrażoną w wielkościach kątowych.

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a ω oznacza prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego ε określa wzór:

- Prędkość - wielkość opisująca ruch obrotowy. Jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt θ to wartość prędkości kątowej ω jest równa:

I zasada dynamiki Newtona-  jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada Newtona- jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym, w którym przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do wartości siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała.

III zasada dynamiki Newtona- Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą (siłą akcji), to ciało B działa na ciało A siłą (siłą reakcji) o takiej samej wartości, takim samym kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.

Tarcie - to całość zjawisk fizycznych towarzyszących przemieszczaniu się względem siebie dwóch ciał fizycznych (tarcie zewnętrzne) lub elementów tego samego ciała (tarcie wewnętrzne) i powodujących rozpraszanie energii podczas ruchu.

Współczynnik tarcia- (oznaczany μ, k lub f ) jest wielkością charakteryzującą siłę tarcia. W zależności od rodzaju tarcia, wyróżnia się odpowiednie współczynniki tarcia.

• tarcie suwne μ$\ = \frac{T}{\text{\ Fn}}$ gdzie, T – siła tarcia

F_n – siła nacisku

- tarcie kinetyczne

- tarcie statyczne

• tarcie toczne f = $\frac{\text{Mt}}{N}$ gdzie, M_t – moment tarcia tocznego

N – siła nacisku

I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego- bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym, gdy nie działają na nią żadne momenty siły lub, gdy momenty działające równoważą się wzajemnie.

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego- moment siły jest równy stosunkowi przyrostu momentu pędu do czasu, w jakim ten przyrost nastąpił, czyli jest równy szybkości zmian momentu pędu.

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym, zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor F i promień wodzący r.

Cel doświadczenia: badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.

Przyrządy: Maszyna Atwooda, elektromagnes, obciążniki, waga, sekundomierz.

Maszyna Atwooda- została skonstruowana w 1784 przez George'a Atwooda w celu wykonania eksperymentu laboratoryjnego mającego zweryfikować prawa, które rządzą ruchem jednostajnie przyspieszonym. Zbudowana jest z bloczka, na którym poprzez nić zawieszone są dwa identyczne obciążniki. Masa obciążników może być zmieniana dzięki zamocowaniu dodatkowych ciężarków. Przy analizie ruchu w idealnej maszynie Atwooda, przyjmuje się, że nić jest nieważkim cięgnem doskonale elastycznym poprzecznie i nierozciągliwym wzdłużnie, zaś bloczek jest nieważki, idealnie płaski, porusza się bez oporów i zapewnia stałą odległość nici od osi obrotu krążka. Dobierając odpowiednio masę obciążników można uzyskać dowolnie małe przyspieszenie ich ruchu.

Opracowanie wyników

	Masa [g]	t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	t4 [s]	t5 [s]	t6 [s]	t7 [s]	t8 [s]	t9 [s]	t10 [s]	t śr [s]
S1 = 0,706 m	3,11	5,41	5,71	5,59	5,62	5,56	5,50	5,56	5,59	5,44	5,25	5,523
	3,48	4,47	4,68	4,47	4,66	4,47	4,41	4,40	4,44	4,47	4,40	4,487
	4,23	3,94	4,07	4,16	4,03	3,97	3,97	3,85	3,94	3,97	4,03	3,993
	5,02	3,56	3,63	3,47	3,38	3,41	3,41	3,44	3,53	3,53	3,50	3,486
	5,56	3,09	3,19	3,29	3,23	3,38	3,34	3,38	3,31	3,21	3,22	3,264
S2 = 0,49 m	3,11	4,51	4,53	4,40	4,41	4,41	4,57	4,55	4,53	4,50	4,56	4,497
	3,48	4,12	4,00	4,09	4,06	4,10	4,09	4,00	4,18	3,97	3,96	4,057
	4,23	3,22	3,35	3,34	3,31	3,25	3,28	3,31	3,34	3,47	3,34	3,321
	5,02	3,03	2,97	2,97	3,09	3,12	3,04	3,00	3,12	2,92	2,84	3,01
	5,56	2,84	2,81	2,82	2,72	2,72	2,81	2,75	2,78	2,72	2,72	2,769

1. Obliczenia

t_śr = $\frac{t1 + t2 + \ldots + tn}{n}$

Wyznaczamy średni błąd kwadratowy każdego średniego czasu ruchu:

Dla S_1:

Δt₁ =$\sqrt{\frac{0,151}{90}}$ ≈ 0,041 [s]

Δt₂ = $\sqrt{\frac{0,097}{90}}$ ≈ 0,033 [s]

Δt₃ = $\sqrt{\frac{0,064}{90}}$ ≈ 0,027 [s]

Δt₄ = $\sqrt{\frac{0,055}{90}}$ ≈ 0,025 [s]

Δt₅ = $\sqrt{\frac{0,077}{90}}$ ≈ 0,029 [s]

Dla S₂:

Δt₁ = $\sqrt{\frac{0,457}{90}}$ ≈ 0,073 [s]

Δt₂ = $\sqrt{\frac{0,306}{90}}$ ≈ 0,058 [s]

Δt₃ = $\sqrt{\frac{0,857}{90}}$ ≈ 0,098 [s]

Δt₄ =$\sqrt{\frac{0,072}{90}}$ ≈ 0,028 [s]

Δt₅ = $\sqrt{\frac{0,021}{90}}$ ≈ 0,015 [s]

Wyznaczamy przyspieszenie dla każdego średniego czasu ruchu

a = $\frac{2\ \bullet \ s}{t^{2}}$ [a] = $\frac{m}{s^{2}}$

Dla S₁= 0,706 m

a₁ = $\frac{2\ \bullet \ 0,706}{{5,523}^{2}}\ $≈ 0,046 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₂ = $\frac{2\ \bullet \ 0,706}{{4,487}^{2}}$ ≈ 0,070 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₃ = $\frac{2\ \bullet \ 0,706}{{3,993}^{2}}$ ≈ 0,089 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₄ =$\ \frac{2\ \bullet \ 0,706}{{3,486}^{2}}$ ≈ 0,116 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₅ =$\ \frac{2\ \bullet \ 0,706}{{3,264}^{2}}$ ≈ 0,133 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Dla S₂= 0,49 m $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₁ =$\ \frac{2\ \bullet \ 0,49}{{4,497}^{2}}$ ≈ 0,048 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₂ =$\ \frac{2\ \bullet \ 0,49}{{4,057}^{2}}$ ≈ 0,059 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₃ = $\frac{2\ \bullet \ 0,49}{{3,321}^{2}}$ ≈ 0,089 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₄ = $\frac{2\ \bullet \ 0,49}{{3,01}^{2}}$ ≈ 0,108 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

a₅ = $\frac{2\ \bullet \ 0,49}{{2,769}^{2}}$ ≈ 0,128 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Określamy błąd przyspieszenia metodą różniczki zupełnej dla każdej masy i każdej drogi:

∆a = $|\frac{2}{t^{2}}|$ ∙ ∆s + $|\frac{- 4\ \bullet \ s}{t^{3}}|$ ∙ ∆t

Dla drogi S₁ i ∆s = 0,004

∆a₁ = $\frac{2}{{5,523}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,706\ }{{5,523}^{3}}$ ∙ 0,041 ≈ 0,0009 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₂ = $\frac{2}{{4,487}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,706\ }{{4,487}^{3}}$ ∙ 0,033 ≈ 0,0014 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₃ = $\frac{2}{{3,993}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,706\ }{{3,993}^{3}}$ ∙ 0,027 ≈ 0,0017 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₄ = $\frac{2}{{3,486}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,706\ }{{3,486}^{3}}$ ∙ 0,025 ≈ 0,0023 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₅ = $\frac{2}{{3,264}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,706\ }{{3,264}^{3}}$ ∙ 0,029 ≈ 0,0031 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Dla S₂ i ∆s = 0,004

∆a₁ = $\frac{2}{{4,497}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,49\ }{{4,497}^{3}}$ ∙ 0,073 ≈ 0,0019 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₂ = $\frac{2}{{4,057}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,49\ }{{4,057}^{3}}$ ∙ 0,058 ≈ 0,0038 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₃ = $\frac{2}{{3,321}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,49\ }{{3,321}^{3}}$ ∙ 0,098 ≈ 0,0059 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₄ = $\frac{2}{{3,01}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,49\ }{{3,01}^{3}}$ ∙ 0,028 ≈ 0,0029 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

∆a₅ = $\frac{2}{{2,769}^{2}}$ ∙ 0,004 + $\frac{4\ \bullet \ 0,49\ }{{2,769}^{3}}$ ∙ 0,015 ≈ 0,0024 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

	S1	S2
m	3,11	3,48
a [$\frac{m}{s^{2}}\rbrack$	0,046	0,070
Δa$\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$	0,0009	0,0014
Δt [s]	0,041	0,033

Obliczamy średnią arytmetyczną uzyskanych przyspieszeń dla danych mas:

Dla m₁: a_śr = $\frac{0,046 + 0,048}{2}$ = 0,047 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Dla m₂: a_śr = $\frac{0,070 + 0,059}{2}$ = 0,065 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Dla m₃: a_śr = $\frac{0,089 + 0,089}{2}$ = 0,089 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Dla m₄: a_śr = $\frac{0,116 + 0,108}{2}$ = 0,112 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Dla m₅: a_śr = $\frac{0,133 + 0,128}{2}$ = 0,131 [ $\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

	m1 [g]	m2 [g]	m3 [g]	m4 [g]	m5 [g]
aśr $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$	0,047	0,065	0,089	0,112	0,131
(Δa)max $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$	0,0019	0,0038	0,0059	0,0029	0,0031

Na podstawie powyższej tabeli wykonujemy wykres zależności a = f(m) oraz nanosimy błędy (a)_max.

Za pomocą metody najmniejszych kwadratów dla równania prostej

a = A · m + B

Otrzymujemy:

A≈ 0,033144

B ≈ -0,053056

m₀= 1,60 g

δA = 0,000053786

δB = 0,000051521

δm_o = 0,96 g

Na podstawie wzoru M_t=m_ogR, oraz podanej wartości promienia krążka R=0,063m obliczam wartość momentu tarcia sił M_t.

M_t= 0,00160 g ∙ 9,81[$\frac{m}{s^{2}}\rbrack$ ∙ 0,063 m = 0,000989 N ∙ m

Błąd momentu siły tarcia ma postać:

ΔM_t= Δm₀gR

ΔM_t=0,00096 kg · 9,81 · 0,063 = 0,000593 N · m

Wynik końcowy ma postać:

M_t ± ΔM_t = (0,00098 ± 0,000593) N · m

Wnioski

Cel ćwiczenia został zrealizowany. Dokonując pomiarów czasu ruchu obciążników możliwe było wyznaczenie średniego czasu ruchu oraz odpowiadającego mu przyspieszenia dla każdej masy. Wartość błędu przyspieszenia dla każdego obciążnika i dróg s=0,706 m i s=0,49 m. Wartość momentu siły tarcia wraz z błędem wynosi:

M_t ± ΔM_t = (0,00098 +-0,000593) N · m.

Błąd wielkości: m₀= 0,96 g.