Dynamika maszyn roboczych i pojazdów

Temat laboratorium: Eksperymentalne wyznaczanie momentów bezwładności maszyn i ich elementów

Czapnik Mateusz 195841

Kłosowski Mateusz 194566

MBM, II stopień

Gr. wt 18.55-20.35 TN

1. Wstęp teoretyczny

1.1 Metoda wahadła fizycznego

Rys. 1 Metoda wahadła fizycznego

Wyznaczenie wzoru na moment bezwładności wahadła fizycznego:

$$- \text{mgdsin}\varphi = J\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}$$

$$\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}} + \frac{\text{mgd}}{J}\varphi = 0$$

φ = Asin(ωt)

$$- A\omega^{2}\sin\left( \omega t \right) + \frac{\text{mgd}}{J}\text{Asin}\left( \omega t \right) = 0$$

$$- \text{Asin}\left( \omega t \right)(\omega^{2} - \frac{\text{mgd}}{J}) = 0$$

$$\omega^{2} - \frac{\text{mgd}}{J} = 0$$

$$\omega = \sqrt{\frac{\text{mgd}}{J}}$$

$$\omega = \frac{2\pi}{T};\ \ \ \ \ \ \ \ T = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\text{mgd}}{J}}} = 2\pi\sqrt{\frac{J}{\text{mgd}}}$$

$$J = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}}\ \ \ (*)$$

J – moment bezwładności

m – masa

g – przyspieszenie ziemskie

d – odległość środka ciężkości od osi obrotu

T- czas trwania jednego okresu ruchu

1.2 Metoda wahadła trójnitkowego

Rys.2 Metoda wahadła trójnitkowego

$$J = \frac{T^{2}\text{mg}a^{2}}{12\pi^{2}l} = \frac{T^{2}\text{mg}r^{2}}{4\pi^{2}l}\ \ (**)$$

T – czas trwania jednego okresu ruchu,

m – masa badanego elementu,

g – przyspieszenie ziemskie,

a – odległość pomiędzy nićmi wahadła,

l – długość wahadła,

r- odległość od nici do osi symetrii koła

2. Przebieg ćwiczenia

2.1 Wyznaczenie momentu bezwładności koła oponowego

Bezwładność koła J została wyznaczona za pomocą metody trójnitkowej. Koło zostało zawieszone na trzech nitkach zgodnie ze schematem pokazanym na rys. 2, następnie zostało wychylone z położenia równowagi za pomocą obrotu wokół własnej osi o pewien kąt, po czym mogło swobodnie zacząć drgać. Został zmierzony czas trwania 20 pełnych okresów ruchu. Pomiar przeprowadzono trzykrotnie.

Zmierzone wartości:

-odległości między nitkami: a = 340 mm

-długość nitek: l = 1100 mm

-czas dla 20 okresów drgań (20T)

-masa koła: m = 18,9 kg

Lp.	20T [s]	T [s]
1	51,45	2,57
2	49,8	2,49
3	53,14	2,66

$$T = \frac{2,57s + 2,49s + 2,66s}{3} = 2,57s$$

Wartość bezwładności wyznaczona na podstawie wzoru (*):

$$J = \frac{T^{2} \bullet m \bullet g \bullet a^{2}}{12 \bullet \pi^{2} \bullet l}$$

$$J = \frac{{(2,57s)}^{2} \bullet 18,9kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet {(0,34m)}^{2}}{12 \bullet \pi^{2} \bullet 1,1m} = 1,09\ \text{kg} \bullet m^{2}\backslash n$$

2.2 Wyznaczenie momentu bezwładności płyty aluminiowej za pomocą wahadła fizycznego

-ciężar płyty zmierzony czujnikiem dynamometrycznym wyniosła: 0,01398 $\frac{\text{mV}}{V}$

-zakres pracy miernika wynosi 1,5 $\frac{\text{mV}}{V}$ dla ciężaru 5kN,

-odległość środka ciężkości od osi obrotu: d = 325mm

Zmierzona wartość ciężaru płyty wynosi 0,01398mV. Przyrząd do pomiaru ciężaru podaje wartości w mV/V. Maksymalny zakres siłomierza wynosi 1,5 mV/V dla wartości wynoszącej 5kN, zatem korzystając z tej zależności masa płyty wynosi:

$$G^{'} = 0,01398\frac{\text{mV}}{V}$$

$$G = \frac{0,01398\frac{\text{mV}}{V} \bullet 5000N}{1,5\frac{\text{mV}}{V}} = 46,6\ N$$

$$m = \frac{G}{g} = \frac{46,6\ N}{9,81\frac{m}{s^{2}}} = 4,75\ kg$$

Płyta została wychylona z położenia równowagi, następnie zmierzono czas wykonania 10 pełnych okresów ruchu

Lp.	10T [s]	T [s]
1	13,73	1,373
2	13,81	1,381
3	13,65	1,365

$$T = \frac{1,37s + 1,38s + 1,36s}{3} = 1,37s$$

Moment bezwładności wyznaczony zostanie na podstawie zależności (*)

$$J = \frac{T^{2} \bullet G \bullet d}{4 \bullet \pi^{2}} = \frac{\left( 1,37s \right)^{2} \bullet 46,6N \bullet 0,325m}{4 \bullet \pi^{2}} = 0,7208\ kg \bullet m^{2}$$

Moment obliczony z powyższego wzoru jest sumą momentów tarczy aluminiowej i oprawy, aby uzyskać moment tarczy aluminiowej trzeba odjąć moment bezwładności oprawy.

Rys. 3 Wymiary oprawy

Moment bezwładności oprawy składa się z momentów 3 walców o wymiarach:

1) ϕ90x10 mm

2) ϕ70x6 mm

3) ϕ44,4x16 mm

$$A = \frac{\pi \bullet d^{2}}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V = A \bullet h$$

$$A_{1} = \frac{\pi \bullet {0,090m}^{2}}{4} = 6,36 \bullet 10^{- 3}\text{\ m}^{2}$$

V₁ = 6, 36 • 10⁻³ m² • 10⁻²m = 6, 36 • 10⁻⁵m³

$$A_{2} = \frac{\pi \bullet {0,070m}^{2}}{4} = 3,85 \bullet 10^{- 3}\text{\ m}^{2}$$

V₂ = 3, 85 • 10⁻³ m² • 6 • 10⁻³m = 2, 31•10⁻⁵m³

$$A_{3} = \frac{\pi \bullet {0,044m}^{2}}{4} = 1,52 \bullet 10^{- 3}\text{\ m}^{2}$$

V₃ = 1, 52 • 10⁻³ m² • 1, 6 • 10⁻²m = 2, 43•10⁻⁵m³

m = ρ • V ρ_stali = 7800 kg/m³

$$m_{1} = \rho \bullet V_{z} = 7800\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet 6,36 \bullet 10^{- 5}m^{3} = 0,49\ kg$$

$$m_{2} = \rho \bullet V_{w} = 7800\frac{\text{kg}}{m^{3}}*2,31 \bullet 10^{- 5}m^{3} = 0,18\ kg$$

$$m_{3} = \rho \bullet V_{o} = 7800\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet 2,43{\bullet 10}^{- 5}m^{3} = 0,19\ kg$$

Moment bezwładności oprawy, na podstawie złożenia momentów w kształcie walców

$$J = \frac{1}{2} \bullet m \bullet r^{2} = \frac{m \bullet d^{2}}{8}$$

$$J_{1} = \frac{m \bullet d_{z}^{2}}{8} = \frac{0,49kg \bullet {(0,090m)}^{2}}{8} = 4,96 \bullet 10^{- 4}\text{kg} \bullet m^{2}$$

$$J_{2} = \frac{m \bullet d_{w}^{2}}{8} = \frac{0,18kg \bullet {(0,070m)}^{2}}{8} = 1,10 \bullet 10^{- 4}\text{kg} \bullet m^{2}$$

$$J_{3} = \frac{m \bullet d_{w}^{2}}{8} = \frac{0,19kg \bullet {(0,044m)}^{2}}{8} = 4,60 \bullet 10^{- 5}\text{kg} \bullet m^{2}$$

J_oprawy=J₁ + J₂ − J₃

J_oprawy = 4, 96 • 10⁻⁴kg • m² + 1, 10 • 10⁻⁴kg • m² − 4, 60 • 10⁻⁵kg • m²

J_oprawy = 5, 6•10⁻⁴kg • m²

Moment bezwładności tarczy zostanie wyznaczony na podstawie poniższej zależności:

J_tarczy = J − J_oprawy

J_tarczy = 0, 7208 kg • m² − 5, 6•10⁻⁴kg • m² = 0, 7202 kg • m²

2.3 Wyznaczenie momentu bezwładności siłownika hydraulicznego przy najmniejszej i największej długości ( wsunięty, wysunięty tłok).

Moment bezwładności siłowniku przy jego skrajnych położeniach (wsunięty, wysunięty tłok) został wyznaczony za pomocą metody wahadła fizycznego.

Zmierzone wartości:

- długość siłownika przy wsuniętym tłoku: l1= 880 mm

- długość siłownika przy wysuniętym tłoku: l1= 1500 mm

-ciężar cylindra zmierzony czujnikiem dynamometrycznym wyniosła: 0,04659 $\frac{\text{mV}}{V}$

-zakres pracy miernika wynosi 1,5 $\frac{\text{mV}}{V}$ dla ciężaru 5kN,

Wartość bezwładności wyznaczona na podstawie wzoru (*):

Moment bezwładności wyznaczony zostanie na podstawie zależności (*)

$$J = \frac{T^{2} \bullet m \bullet g \bullet d}{4 \bullet \pi^{2}} = \frac{T^{2} \bullet G \bullet d}{4 \bullet \pi^{2}}$$

Gdzie:

J – moment bezwładności

m – masa siłownika (cylindra i tłoka)

g – przyspieszenie ziemskie

d – odległość środka ciężkości od osi obrotu

G– ciężar siłownika (cylindra i tłoka)

$$G = 0,04659\frac{\text{mV}}{V} = \frac{0,04659\frac{\text{mV}}{V} \bullet 5000N}{1,5\frac{\text{mV}}{V}} = 155,3\ N$$

$$m = \frac{G}{g} = \frac{155,3\ N}{9,81\frac{m}{s^{2}}} = 15,83\ kg$$

2.3.1 Tłok maksymalnie wsunięty:

Zmierzyliśmy w trzech próbach czas dla dziesięciu okresów (10T) drgań cylindra z maksymalnie wsuniętym tłokiem.

Lp.	10T [s]
1	15,35
2	15,35
3	15,11

Uśredniając: T =1,54 s

Rys. 4 Schemat cylindra z maksymalne wsuniętym tłokiem

Gdzie:

l₁ - ramie na jakim działa mierzona siła F₁

d₁ – ramię na jakim działa siła ciężkości cylindra z tłokiem G

Momenty sił od F1 i G się równoważą, dzięki czemu z zasady dźwigni możemy wyznaczyć następujące wartości:

$$F_{1} = 0,02253\frac{\text{mV}}{V} = \frac{0,02253\frac{\text{mV}}{V} \bullet 5000N}{1,5\frac{\text{mV}}{V}} = 75,1\ N$$

F₁ • l₁ − G • d₁ = 0

$$d_{1} = \frac{F_{1} \bullet l_{1}}{G} = \frac{75,1\ N \bullet 0,88m\ }{155,3\ N} = 0,43\ m\backslash n$$

Moment bezwładności J₁ dla cylindra z maksymalnie wsuniętym tłokiem.

$$J_{1} = \frac{T^{2} \bullet G \bullet d_{1}}{4 \bullet \pi^{2}} = \frac{\left( 1,54s \right)^{2} \bullet 155,3\ N \bullet 0,43m}{4 \bullet \pi^{2}} = 4,02\ kg \bullet m^{2}$$

2.3.2 Tłok maksymalnie wysunięty:

Tak samo postąpiliśmy dla cylindra z maksymalnie wysuniętym tłokiem.

Lp.	10T [s]
1	20,70
2	20,20
3	20,35

Uśredniając T = 2,04

Rys. 5 Schemat cylindra z maksymalnie wysuniętym tłokiem

Gdzie:

l₂ - ramie na jakim działa mierzona siła F₂

d₂ – ramię na jakim działa siła ciężkości cylindra z tłokiem G

Momenty sił od F2 i G się równoważą, dzięki czemu z zasady dźwigni możemy wyznaczyć następujące wartości:

$$F_{2} = 0,02689\frac{\text{mV}}{V} = \frac{0,02689\frac{\text{mV}}{V} \bullet 5000N}{1,5\frac{\text{mV}}{V}} = 89,6\ N$$

F₂ • l₂ − G • d₂ = 0

$$d_{2} = \frac{F_{2} \bullet l_{2}}{G} = \frac{89,6\ N \bullet 1,5m\ }{155,3\ N} = 0,865\ m$$

Moment bezwładności J₂ dla cylindra z maksymalnie wysuniętym tłokiem.

$$J_{2} = \frac{T^{2} \bullet G \bullet d_{2}}{4 \bullet \pi^{2}} = \frac{\left( 2,04s \right)^{2} \bullet 155,3N \bullet 0,865m}{4 \bullet \pi^{2}} = 13,99\ kg \bullet m^{2}$$

2.4 Wyznaczenie osobno masy tłoka oraz cylindra:

Masa cylindra wraz z tłokiem została obliczona w poprzednim punkcie i wynosi 15,83 kg. Osobnę masę elementów siłownika wyznaczę na podstawię zasady dźwigni.

Rys. 6 Rozkład sił ciężkości od tłoka oraz cylindra dla maksymalnie wsuniętego siłownika

Rys. 7 Rozkład sił ciężkości od tłoka oraz cylindra dla maksymalnie wysuniętego siłownika

Gdzie:

- Gt – Siła ciężkości tłoka z tłoczyskiem (m_t•g)

- Gc – siła ciężkości cylindra (m_c•)

- rt – ramię na jakim działa siła Gt

- rc1 – ramię na jakim działa siła Gc przy maksymalnie wsuniętym tłoku

- rc2 – ramię na jakim działa siła Gc przy maksymalnie wysuniętym tłoku

- l₁ - ramie na jakim działa mierzona siła F₁

- l₂ - ramie na jakim działa mierzona siła F₂

G_t • r_t + G_c • r_c1 − F₁ • l₁ = 0

G_t • r_t + G_c • r_c2 − F₂ • l₂ = 0

Z tego wynika, gdzie wyrażenie (r_c2−r_c1) jest równe skokowi tłoka - Δr

G_c • (r_c2 − r_c1)=F₂ • l₂ − F₁ • l₁

r = (r_c2−r_c1) = l₂ − l₁ = 1, 5m − 0, 88m = 0, 62m

$$G_{c} = \frac{F_{2} \bullet l_{2} - F_{1} \bullet l_{1}}{r}$$

$$m_{c} = \frac{F_{2} \bullet l_{2} - F_{1} \bullet l_{1}}{r \bullet g} = \frac{89,5\ N \bullet 1,5m - 75,1\ N \bullet 0,88m}{0,62m \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}}} = 11,21kg$$

m_t = m − m_c = 15, 83kg − 11, 21kg = 4, 62kg

2.5 Wyznaczenie wzoru na moment bezwładności dla dowolnego skoku siłownika:

Do rozwiązania zagadnienia posłużę się Twierdzeniem Steinera

I = I_o + mr²

Gdzie:

- I_o– moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

- I - moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,

- d - odległość między osiami,

- m - masa bryły.

Oraz wzorem na moment bezwładności wyznaczonym metodą wahadła fizycznego podanego w pkt. 2.

$$J = \frac{T^{2} \bullet m \bullet g \bullet d}{4 \bullet \pi^{2}} = \frac{T^{2} \bullet G \bullet d}{4 \bullet \pi^{2}}$$

Rozbije wyliczone wcześniej momenty bezwładności dla skrajnych przypadków położenie tłoka w cylindrze na osobne momenty pochodzące od tłoka oraz cylindra, posłużę się tutaj tw. Steinera.

$$J_{1} = \frac{T_{1}^{2} \bullet G \bullet d_{1}}{4 \bullet \pi^{2}} = I_{T} + m_{t}r_{t}^{2} + I_{C} + m_{c}r_{c1}^{2}$$

$$J_{2} = \frac{T_{2}^{2} \bullet G \bullet d_{2}}{4 \bullet \pi^{2}} = I_{T} + m_{t}r_{t}^{2} + I_{C} + m_{c}{(r_{c1} + r)}^{2}$$

Gdzie:

I_t – moment bezwładności tłoka względem jego środka ciężkości

I_c – moment bezwładności cylindra względem jego środka ciężkości

Odejmując od siebie powyższe równania otrzymam zależność ΔJ= f(Δr)

$$J_{2} - J_{1} = \frac{T_{2}^{2} \bullet G \bullet {(d}_{2} - d_{1})}{4 \bullet \pi^{2}} = m_{c}\left( r_{c1} + r \right)^{2} - m_{c}r_{c1}^{2}$$

$$J = \frac{T_{2}^{2} \bullet G \bullet (d)}{4 \bullet \pi^{2}} = m_{c}(2 \bullet r_{c1} \bullet r + {r}^{2})$$

Dla dowolnego skoku Δr wzór na moment bezwładności przybiera następującą postać.

$$J_{r} = J_{1} + J = \frac{T_{1}^{2} \bullet G \bullet d_{1}}{4 \bullet \pi^{2}} + m_{c}(2 \bullet r_{c1} \bullet r + {r}^{2})$$

Gdzie :

r_c1 – wyliczymy z warunków brzegowych dzięki wcześniej obliczonych wartości momentów bezwładności, masy cylindra oraz skoku siłownika :  J₁ = 4, 02 kg • m², m_c = 11, 21kg, r = 0, 62m

3. Wnioski

Metoda wahadła matematycznego, jak pokazały powyższe doświadczenia ma stosunkowo duże zastosowanie. W szczególności wykorzystuję się ją do wyznaczania momentu bezwładności.