Sprawdzenie zasady zachowania energii całkowitej

1. Cel ćwiczenia

• Obserwacja zmian energii caÅ‚kowitej i jej skÅ‚adowych przy użyciu przyrzÄ…du do badania ruchu obrotowego.

1. Przebieg ćwiczenia

• Wyznaczono masÄ™ ciężarka m.

• Na tarczy umieszczono obciążniki.

• Do jednego z koÅ„ców linki podwieszono ciężarek. LinkÄ™ przewieszono przez bloczek i zaczepiono jej drugi koniec do uchwytu znajdujÄ…cego siÄ™ przy szpuli o promieniu r.

• NawiniÄ™to linkÄ™ na szpulÄ™.

• Zmierzyć wysokość h₀ na jakiej znajduje siÄ™ ciężarek nad podÅ‚ogÄ….

• Dokonać pomiaru wysokoÅ›ci h_n na jakiej znajduje siÄ™ ciężarek nad podÅ‚ogÄ…, gdy tarcza obróci siÄ™ o kÄ…t α = 2π • n     (n=1,2,3,4).

• Ponownie nawiniÄ™to linkÄ™ na szpulÄ™. I trzykrotnie dokonano pomiaru czasu, w którym tarcza obróciÅ‚a siÄ™ o kÄ…t α = 2Ï€.

• Obliczono wartość Å›redniÄ… czasu obrotu tarczy $\overset{\overline{}}{t}$.

• Powtórzono pomiary dla obrotów tarczy o kÄ…t α = 2π • n     (n=2,3,4).

• Pomiary powtórzono dla dwóch innych wartoÅ›ci masy ciężarka oraz promienia bÄ™bna.

• Dla każdego pomiaru obliczono:

  • Przyspieszenie kÄ…towe ε

  • SiÅ‚Ä™ naprężenia linki N

  • Moment siÅ‚y naprężenia linki M_N

  • PrÄ™dkość kÄ…towÄ… tarczy ω

  • PrÄ™dkość liniowÄ… ciężarka v

• Przedstawiono na wykresie zależność wartoÅ›ci przyspieszenia kÄ…towego ε od przyÅ‚ożonego momentu siÅ‚y M_N dla wszystkich badanych przypadków. MetodÄ… regresji liniowej wyznaczyć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci tarczy wraz z obciążnikami I:

$$\varepsilon = \frac{1}{I}M_{N} + \frac{M_{T}}{I}$$

y = ax + b

• Dla każdego badanego przypadku w chwili poczÄ…tkowej oraz po każdym obrocie tarczy obliczono:

  • energiÄ™ potencjalnÄ… ciężarka:

U_c = mgh

• energiÄ™ kinetycznÄ… ciężarka:

$$K_{c} = \frac{mv^{2}}{2}$$

• energiÄ™ kinetycznÄ… tarczy:

$$K_{\text{tar}} = \frac{I\omega^{2}}{2}$$

• energiÄ™ caÅ‚kowitÄ…:

U_n = U_c + K_c + K_tar

• zmianÄ™ energii wewnÄ™trznej ukÅ‚adu:

U = U₀ − U_n

• Przedstawiono przemiany energetyczne na wykresie, osobno dla każdego z trzech przypadków.

1. Tabela pomiarów

[kg]	[m]		[m]	[m]	[rad]	[s]	[s]	[radâ‹…s^-2]	[N]	[Nm]	[radâ‹…s^-1]	[mâ‹…s^-1]
0,0474	0,0172	1	0,7096	0,6087	6,28	4,81	4,77	0,552	0,465	0,0080	2,634	0,045
						4,72
						4,78
0,0474	0,0172	2	0,7096	0,5078	12,57	6,90	6,86	0,534	0,465	0,0080	3,662	0,063
						6,85
						6,84
0,0474	0,0172	3	0,7096	0,4074	18,85	8,46	8,42	0,531	0,465	0,0080	4,476	0,077
						8,38
						8,43
0,0474	0,0172	4	0,7096	0,3065	25,13	9,88	9,89	0,514	0,465	0,0080	5,081	0,087
						9,94
						9,86
0,0474	0,0115	1	0,7096	0,6373	6,28	5,97	5,94	0,356	0,465	0,0053	2,116	0,024
						5,91
						5,94
0,0474	0,0115	2	0,7096	0,5651	12,57	8,31	8,33	0,362	0,465	0,0053	3,017	0,035
						8,28
						8,40
0,0474	0,0115	3	0,7096	0,4928	18,85	10,25	10,30	0,355	0,465	0,0053	3,660	0,042
						10,34
						10,31
0,0474	0,0115	4	0,7096	0,4206	25,13	11,62	11,68	0,368	0,465	0,0053	4,302	0,049
						11,68
						11,75
0,0948	0,0115	1	0,7096	0,6373	6,28	3,90	3,95	0,807	0,929	0,0107	3,184	0,037
						3,94
						4,00
0,0948	0,0115	2	0,7096	0,5651	12,57	5,81	5,82	0,741	0,929	0,0107	4,316	0,050
						5,85
						5,81
0,0948	0,0115	3	0,7096	0,4928	18,85	7,12	7,10	0,748	0,929	0,0107	5,310	0,061
						7,12
						7,06
0,0948	0,0115	4	0,7096	0,4206	25,13	8,39	8,33	0,724	0,929	0,0107	6,034	0,069
						8,32
						8,28

1. Przykładowe wyliczenia dla pierwszego przypadku

Åšredni czas:

$$\overset{\overline{}}{t_{1}} = \frac{4,81s + 4,72s + 4,78s}{3} = 4,77s$$

$$\overset{\overline{}}{t_{2}} = \frac{6,90s + 6,85s + 6,84s}{3} = 6,86s$$

$$\overset{\overline{}}{t_{3}} = \frac{8,46s + 8,38s + 8,43s}{3} = 8,42s$$

$$\overset{\overline{}}{t_{4}} = \frac{9,88s + 9,94s + 9,86s}{3} = 9,89s$$

Przyspieszenie kÄ…towe:

$$\varepsilon = \frac{2\alpha}{{\overset{\overline{}}{t}}^{2}}$$

$$\varepsilon_{1} = \frac{2\alpha_{1}}{{\overset{\overline{}}{t_{1}}}^{2}} = \frac{2 \bullet 6,28rad}{\left( 4,77s \right)^{2}} = 0,552\frac{\text{rad}}{s^{2}}$$

$$\varepsilon_{2} = \frac{2\alpha_{2}}{{\overset{\overline{}}{t_{2}}}^{2}} = \frac{2 \bullet 12,57rad}{\left( 6,86s \right)^{2}} = 0,534\frac{\text{rad}}{s^{2}}$$

$$\varepsilon_{3} = \frac{2\alpha_{3}}{{\overset{\overline{}}{t_{3}}}^{2}} = \frac{2 \bullet 18,85rad}{\left( 8,42s \right)^{2}} = 0,531\frac{\text{rad}}{s^{2}}$$

$$\varepsilon_{4} = \frac{2\alpha_{4}}{{\overset{\overline{}}{t_{4}}}^{2}} = \frac{2 \bullet 25,13rad}{\left( 9,89s \right)^{2}} = 0,514\frac{\text{rad}}{s^{2}}$$

Naprężenie linki:

N = m(g−εr)

$$N_{1} = m\left( g - \varepsilon_{1}r \right) = 0,0474kg \bullet \left( 9,81\frac{m}{s^{2}} - 0,552\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 0,0172m \right) = 0,465N$$

$$N_{2} = m\left( g - \varepsilon_{2}r \right) = 0,0474kg \bullet \left( 9,81\frac{m}{s^{2}} - 0,534\frac{r\text{ad}}{s^{2}} \bullet 0,0172m \right) = 0,465N$$

$$N_{3} = m\left( g - \varepsilon_{1}r \right) = 0,0474kg \bullet \left( 9,81\frac{m}{s^{2}} - 0,531\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 0,0172m \right) = 0,465N$$

$$N_{4} = m\left( g - \varepsilon_{1}r \right) = 0,0474kg \bullet \left( 9,81\frac{m}{s^{2}} - 0,514\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 0,0172m \right) = 0,465N$$

Moment naprężenia linki:

M_N = Nr

M_N1 = N₁r = 0, 465N • 0, 0172m = 0, 0080Nm

M_N2 = N₂r = 0, 465N • 0, 0172m = 0, 0080Nm

M_N3 = N₃r = 0, 465N • 0, 0172m = 0, 0080Nm

M_N4 = N₄r = 0, 465N • 0, 0172m = 0, 0080Nm

Prędkość kątowa tarczy:

$$\omega = \varepsilon\overset{\overline{}}{t}$$

$$\omega_{1} = \varepsilon_{1}\overset{\overline{}}{t_{1}} = 0,552\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 4,77s = 2,634\frac{\text{rad}}{s}$$

$$\omega_{2} = \varepsilon_{2}\overset{\overline{}}{t_{2}} = 0,534\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 6,86s = 3,662\frac{\text{rad}}{s}$$

$$\omega_{3} = \varepsilon_{3}\overset{\overline{}}{t_{3}} = 0,531\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 8,42s = 4,476\frac{\text{rad}}{s}$$

$$\omega_{4} = \varepsilon_{4}\overset{\overline{}}{t_{4}} = 0,514\frac{\text{rad}}{s^{2}} \bullet 9,89s = 5,081\frac{\text{rad}}{s}$$

Prędkość liniowa ciężarka:

v = ωr

$$v_{1} = \omega_{1}r = 2,634\frac{\text{rad}}{s} \bullet 0,0172m = 0,045\frac{m}{s}$$

$$v_{2} = \omega_{2}r = 3,662\frac{\text{rad}}{s} \bullet 0,0172m = 0,063\frac{m}{s}$$

$$v_{3} = \omega_{3}r = 4,476\frac{\text{rad}}{s} \bullet 0,0172m = 0,077\frac{m}{s}$$

$$v_{4} = \omega_{4}r = 5,081\frac{\text{rad}}{s} \bullet 0,0172m = 0,087\frac{m}{s}$$

Na podstawie wykresu ε(M_N) określono współczynnik liniowy a, a na jego podstawie moment bezwładności I.

$$\varepsilon = \frac{1}{I}M_{N} + \frac{M_{T}}{I}$$

y = ax + b

$$a = 73,91\frac{1}{kg \bullet m^{2}}$$

$$I = \frac{1}{a} = \frac{1}{73,91\frac{1}{kg \bullet m^{2}}} = 0,01353kg \bullet m^{2}$$

Obliczono wartości energii w poszczególnych etapach ruchu (Przykładowe obliczenia):

Energia potencjalna ciężarka:

U_c = mgh

$$U_{c0} = mgh_{0} = 0,0474kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet 0,7096m = 0,330J$$

$$U_{c1} = mgh_{1} = 0,0474kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet 0,6087m = 0,283J$$

$$U_{c2} = mgh_{2} = 0,0474kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet 0,5078m = 0,236J$$

Energia kinetyczna ciężarka:

$$K_{c} = \frac{mv^{2}}{2}$$

K_c0 = 0

$$K_{c1} = \frac{m{v_{1}}^{2}}{2} = \frac{0,0474kg \bullet \left( 0,045\frac{m}{s} \right)^{2}}{2} = 4,87 \bullet 10^{- 5}J$$

$$K_{c2} = \frac{m{v_{2}}^{2}}{2} = \frac{0,0474kg \bullet \left( 0,063\frac{m}{s} \right)^{2}}{2} = 9,40 \bullet 10^{- 5}J$$

Energia kinetyczna tarczy:

$$K_{\text{tar}} = \frac{I\omega^{2}}{2}$$

K_tar0 = 0

$$K_{tar1} = \frac{I{\omega_{1}}^{2}}{2} = \frac{0,01353kgm^{2} \bullet \left( 2,634\frac{\text{rad}}{s} \right)^{2}}{2} = 0,047J$$

$$K_{tar2} = \frac{I{\omega_{2}}^{2}}{2} = \frac{0,01353kgm^{2} \bullet \left( 3,662\frac{\text{rad}}{s} \right)^{2}}{2} = 0,091J$$

Energia całkowita:

U_n = U_c + K_c + K_tar

U₀ = U_c0 + K_c0 + K_tar0 = 0, 330J + 0J + 0J = 0, 330J

U₁ = U_c1 + K_c1 + K_tar1 = 0, 283J + 0J + 0, 047J = 0, 330J

U₂ = U_c2 + K_c2 + K_tar2 = 0, 236J + 0J + 0, 091J = 0, 327J

1. Zestawienie wyników

Układ 1

n	Uc [J]	Kc [J]	Ktar [J]	U [J]	U [J]
0	0,330	0,000	0,000	0,330	0,000
1	0,283	0,000	0,047	0,330	0,000
2	0,236	0,000	0,091	0,327	0,003
3	0,189	0,000	0,136	0,325	0,005
4	0,143	0,000	0,175	0,317	0,013

Układ 2

n	Uc [J]	Kc [J]	Ktar [J]	U [J]	U [J]
0	0,330	0,000	0,000	0,330	0,000
1	0,296	0,000	0,030	0,327	0,003
2	0,263	0,000	0,062	0,324	0,006
3	0,229	0,000	0,091	0,320	0,010
4	0,196	0,000	0,125	0,321	0,009

Układ 3

n	Uc [J]	Kc [J]	Ktar [J]	U [J]	U [J]
0	0,660	0,000	0,000	0,660	0,000
1	0,593	0,000	0,069	0,661	-0,001
2	0,526	0,000	0,126	0,652	0,008
3	0,458	0,000	0,191	0,649	0,011
4	0,391	0,000	0,246	0,638	0,022