Akademia Techniczno-Humanistyczna

Wydział: Nauk o Materiałach i Środowisku

Kierunek: Inżynieria Środowiska

Ćwiczenie 13

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wykonały:

Paulina Caputa

Monika Suchoń

Marzena Kurek

Grupa nr. 107

1.Wiadomości teoretyczne.

Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy dowolną bryłę sztywną, która może wykonywać drgania w jednej płaszczyźnie względem osi zawieszenia. Odchylając wahadło o mały kąt powodujemy, że będzie wykonywało drgania harmoniczne.

Ruchem harmonicznym prostym nazywamy taki ruch periodyczny, w którym położenie ciała zmienia się w funkcji czasu sinusoidalnie.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego jest następujący :

gdzie : I –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt

O zawieszenia wahadła;

d – odległość punktu zaczepienia wahadła od środka ciężkości wahadła.

Wyprowadzenie wzoru:

Na wahadło odchylone o kąt α działa moment siły ciężkości równy M=mgx, który

nadaje mu przyspieszenie kątowe ε. Wiemy, że dla ruchu obrotowego bryły sztywnej

M=Iε. Zatem uwzględniając znak minus mamy:

mgx= - Iε.

x=d sinα. Dla małych kątów sinα≈α , więc mgx=mgdα. Ponadto przyspieszenie kątowe

można wyrazić za pomocą drugiej pochodnej kąta po czasie: . Zatem

; Równanie to ma postać różniczkowego oscylatora harmonicznego, gdzie: i T=2π/ω

więc .

Wahadło rewersyjne, rodzaj wahadła fizycznego (wahadło) o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy (przesuwny obciążnik). Dzięki temu możliwe jest osiągnięcie identyczności okresu drgań przy obu sposobach zawieszenia.

Wiemy, że , a z zgodnie z twierdzeniem Steinera:

I=I₀+md­²

gdzie I₀-jest to moment bezwładności wahadła względem osi równoległej do osi O lecz przechodzącej przez środek ciężkości wahadła.

Zatem:

Jednak istnieje inna oś P, która leży po przeciwnej stronie środka ciężkości, o takiej własności, że okres drgań wahadła wokół niej jest taki sam jak dla osi O.

Zatem:

Z porównania tych obu równań wynika , że równość okresów będzie miała miejsce wówczas gdy:

(I₀ + mr²)mgd = (I₀ + md²)mgr

zatem

I₀(d - r) = mdr(d –r)

I_o =mdr

Gdzie r jest to odległość od osi P do środka ciężkości wahadła . Okres drgań wahadła można przedstawić w inny sposób jeżeli podstawiając moment bezwładności wyrażony za pomocą odległości r .Wówczas otrzymujemy:

Gdzie l jest odległością między osiami O i P , dla których okres drgań wahadła jest taki sam. Ponieważ jak widać jest to wzór na okres drgań wahadła matematycznego o długości l .Długość tę nazywamy długością zredukowaną wahadła.

Jeśłi dla danego wahadła fizycznego wyznaczona zostanie długość l , to wówczas możliwe jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego zgodnie z przekształconym wzorem na okres drgań:

b) Charakterystyka pola grawiatycyjnego.

Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek siły grawitacji, działającej w tym punkcie na umieszczone tam ciało próbne, do masy tego ciała.

Potencjałem pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek energii potencjalnej, jaką ma umieszczone w tym punkcie ciało, do masy tego ciała

c) Wpływ kształtu i ruchu obrotowego Ziemi na przyspieszenie ziemskie g.

Przyspieszenie ziemskie to przyspieszenie jakiego doznaje ciało swobodnie spadające pod wpływem własnego ciężaru Q. Zatem, z II zasady dynamiki mamy:

Przyspieszenie ziemskie zmienia się w niewielkim zakresie w różnych punktach powierzchni Ziemi ze względu na zmienność ciężaru, gdyż jest on wypadkową siły grawitacji i odśrodkowej siły bezwładności spowodowanej ruchem obrotowym Ziemi:

,

gdzie

ω - prędkość kątowa Ziemi, T – okres obiegu Ziemi wokół własnej osi, r – promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Kierunek siły bezwładności jest równoległy do równika, a jej wartość zależna jest od szerokości geograficznej tzn. od długości promienia r. Zatem minimalną wartość przyjmuje dla r=0 (na biegunach), a maksymalną dla r=R_z (na równiku).

Innym czynnikiem wpływającymi na zmienność ciężaru ciała jest spłaszczenie powierzchni Ziemi na biegunach.

Biorąc pod uwagę wszystkie czynniki wyznaczono:

g_min =9.750 [m/s²] , g_max =9.832 [m/s²] .

Gdyby zaniedbać ruch obrotowy Ziemi i zmienność jej promienia można przyjąć, że :

G – stała grawitacji, r – średni promień Ziemi, h – wysokość nad pow. Ziemi, M – masa Ziemi.

Zatem przyspieszenie ziemskie zależy od wysokości ponad powierzchnią Ziemi. Jednak przy małych wysokościach (do kilku kilometrów) można je uważać z bardzo dobrą dokładnością za stałe.

2.Metoda i przebieg ćwiczenia.

Do pomiaru przyspieszenia ziemskiego użyjemy wahadła rewersyjnego, za pomocą którego będziemy mogli wyznaczyć przyspieszenie ziemskie, korzystając ze wzoru:

Mierzymy odległość pomiędzy osiami wahadła l = |O₁O₂| i szacujemy błąd tego pomiaru Δl. Następnie wykonujemy serię m=10 pomiarów czasu t dziesięciu drgań (n=10), wahadła zawieszonego na osi O₁, bez zmiany położenia środka ciężkości. Wartości t uśredniamy i obliczamy średni błąd kwadratowy St pojedynczego pomiaru korygując go przez odpowiedni współczynnik Studenta-Fishera.

Następnie przesuwamy masę M₂ aż do O₂ i wykonujemy serię pomiarów czasów t’ dziesięciu drgań przesuwając masę M₂ w kierunku O₂ co 5 cm. Czynności powtarzamy dla wahadła zawieszonego na osi O₂ mierząc czasy t’’. Na podstawie wyników sporządzamy wykresy t’=f(k) i t’’=f(k) (gdzie k – kolejne położenie masy M₂) w jednym układzie współrzędnych, nanosimy słupki błędów wysokości 2S_t na punkty pomiarowe i rysujemy gładkie krzywe. Następnie odczytujemy punkty t’₀ i t’’₀ przecięcia się krzywych i obliczamy średni czas dziesięciu drgań t₀ i szacujemy błąd Δt₀. Na podstawie czasu t₀ obliczamy okres drgań wahadła T₀, a następnie wyznaczamy przyspieszenie ziemskie g oraz błąd bezwzględny Δg.

3. Obliczenia

W celu zbadania średniego błędu kwadratowego pojedynczego pomiaru przeprowadziliśmy kilka pomiarów czasu 10 wahnięć. Wyniki pomiarów przedstawia tabela I.

t1 [s]	t2 [s]	T3 [s]	T4 [s]	T5 [s]	T6 [s]	T7 [s]	T8 [s]	T9 [s]	T10 [s]	St’[s]	tα	St[s]
18,93	18,43	18,78	18,50	18,65	18,56	18,65	18,50	18,62	18,63	0,086	1,1	0,095

Średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru obliczamy ze wzoru:

S’_t==0,1921

[s] Czas średni – t[s]=18,62

=1,1*0,1921[s]=0,211[s]

Poniższa tabela zawiera wyniki czasów wahnięć dla dwóch pomiarów. Pomiar I jest wykonywany w ten sposób, że wahadło zawieszamy w punkcie O₁ i w każdej pozycji krążka M₂, przy przesuwaniu go co 5 cm w stronę osi O₂, wykonujemy wahnięcie mierząc czas jego trwania. Pomiar II jest wykonywany w ten sam sposób, ale wahadło zawieszamy w punkcie O₂. Pozostałe czynności wykonujemy identycznie.

Wyniki przedstawia poniższa tabela. t’ – czas w pomiarze I, t’’ – czas w pomiarze II.

t’0= 20,30[s]	t’’0= 20,20[s]	t0= 20,25 [s]	Δt’0= 0,05 [s]	Δt0= 0,22[s]
T0= 2,02 [s]	l= 1 [m]	Δl= 0,005[m]	g= 9,67[m/s^2]	Δg= 0,16[m/s^2

t₀= (t’₀+ t’’₀)/2 =(20,30[s]+20,20[s])/2=20,25[s]

Δt’₀=| t’₀- t’’₀|/2=(20,30[s]-20,20[s])/2=0,05 [s]

Δt₀=[ S_t²+( Δt’₀)²]^1/2=[(0,211[s])²+(0,05[s])²]^(1/2)= 0,22 [s]

T₀= t₀/n=20,25[s]/10=2,02[s]

g = l= [m] =9,62[m/s²]

Δg = g{Δl/l + 2|Δt/t|}=9,62[m/s²]{0,005[m]/1[m]+2|0,22 [s]/20,25[s]}=0,26 [m/s²]

4. Wnioski

Wartość przyspieszenia ziemskiego, które udało nam się zmierzyć wynosi g=9,62[m/s²]. Nie odbiega ono bardzo od przyjętego dla naszej szerokości geograficznej przyspieszenia wynoszącego g = 9,81[m/s²].

Pewne nasze niedokładności mogą być spowodowane zbyt wczesnym lub zbyt późnym naciskaniem przycisku stopera. Powodem może być również odchylanie się wahadła rewersyjnego na boki.