Metody dowodowe dla KRZ

W naukach formalnych takich jak matematyka czy logika, zagadnienie metod dowodowych jest zagadnieniem fundamentalnym. Bez dowodów nie można byłoby stwierdzić czy dane twierdzenie w ogóle istnieje (jest twierdzeniem).

SYSTEM FORMALNY

Jest to takie narzędzie które w każdym przypadku pozwala rozstrzygnąć o tym czy jakaś formuła na gruncie pewnego rachunku jest twierdzeniem czy nie. System formalny składa się z :

1. Aksjomatów – takie zdania których prawdziwość przyjmujemy bez dowodu (traktujemy jako oczywiste). Liczba aksjomatów ma być dobrana w taki sposób aby system f. był niesprzeczny¹ i pełny².

2. Reguł dowodzenia (inferencji) – są to takie zasady które pozwalają na przeprowadzenie procedury dowodowej w sposób prawomocny. Sposób prawomocny polega na przekształcaniu aksjomatów w tautologie.

Teza: jest to takie zdanie, którego prawdziwość należy udowodnić.

Twierdzenie: jest to zdanie dla którego istnieje dowód formalny.

Dowód formalny: dowodem twierdzenia A w systemie formalnym S jest taki skończony ciąg, że powstają z aksjomatów przy zastosowaniu reguł dowodzenia w taki sposób, że ostatnim wyrazem tego ciągu jest twierdzenie A.

Ilustracja:

T: (pv~p)

A₁: (p→p)

A₂: ~(p^~p)

A₃: (p→q)→(~pvq)

1.(p→p)

2.

3.

4.

…

9. (p v ~p)

METODY DOWODZENIA KRZ:

1.Metoda założeniowa

a. wprost

b. nie wprost

2.Metoda aksjomatyczna

METODA ZAŁOŻENIOWA

Z syntaktycznego punktu widzenia jest mocna, związana ze spójnikiem implikacji. Jest tak ze względu na pojęcie tzw. schematów pierwotnych. Czyli takich schematów wnioskowań, których prawdziwość przyjmujemy jako oczywiste . Natomiast zdania które wynikają z tych schematów nazywane są regułami pierwotnymi. Dla metod założeniowych KRZ istnieje dokładnie 7 reguł pierwotnych.

1. Reguła odrywania (RO)

p→q

p

q

Jeżeli jest prawdziwe zdanie implikacyjne i jest prawdziwy tego zdania poprzednik to następnik musi być prawdziwy.

Jeżeli temperatura jest większa lub równa 100° to woda wrze.

(p) (q)

p=1

q=1

2. Reguła dołączania koniunkcji (DK)

p

q

p^q

Z prawdziwego zdania p i prawdziwego zdania q wynika prawdziwa konunkcja tych zdań.

Kartezjusz był filozofem = 1

Kartezjusz był matematykiem = 1

Kartezjusz był filozofem i matematykiem = 1

3. Reguła opuszczania koniunkcji (OK)

p^q p^q

p ; q

Z prawdziwej koniunkcji wynika prawdziwość każdego z jej czynników.

4. Reguła dołączania alternatywy (DA)

p q

pvq ; pvq

Z każdego prawdziwego członu alternatywy wynika prawdziwość tej alternatywy.

p = studenci są zdolni = 1

q = studenci są leniwi = 1

pvq = 1

5. Reguła opuszczania alternatywy (OA)

pvq pvq

~p ~q

q ; p

Z prawdziwości zdania alternatywnego i negacji jednego z jej członów wynika prawdziwość jednego z jej członów.

6. Dołączanie równoważności (DE)

p→q

q→p

p↔q

Z prawdziwej implikacji i prawdziwej implikacji odwrotnej wynika prawdziwość równoważności.

7. Reguła opuszczania równoważności (OE)

p↔q p↔q

p→q q→p

Z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość implikacji i implikacji odwrotnej.

---

1. Przykład pełnego sytemu formalnego : (c²=a²+b²)v  ∼ (c² = a² + b²)↩

2. Niesprzeczność systemu : NIE można udowodnić zarazem prawdziwości zdania α i jego negacji. Przykład:

   
   ∼[(c²=a²+b²)v ∼ (c² = a² + b²)]
   ↩