1. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba

   1. n⁵ + 4n jest podzielna przez 5.

   2. n⁵ − n jest podzielna przez 30.

2. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba

   1. 3p + 1,

   2. p² + 2 (wskazówka: zbadaj najpierw, jakie reszty z dzielenia przez 3 dają kwadraty liczb naturalnych)

jest pierwsza.

1. Liczby a, b, c, d są dowolnymi liczbami nieujemnymi. Udowodnij:

   1. $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\text{ab}}$,

   2. (a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc,

   3. $\frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{\text{abcd}}$.

2. Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych, których iloczyn jest o 1000 większy niż ich suma.

3. Paweł i Gaweł chodzą do klasy, w której dziewczęta stanowią nie mniej niż 93% i nie więcej niż 94% ogółu uczniów klasy. Ile osób liczy ta klasa, jeżeli wiadomo, że dziewcząt jest mniej niż 38, a różnica między liczbami dziewcząt i chłopców jest liczbą pierwszą.

4. Wyznacz wszystkie wartości parametru a tak, aby przedziały A = (12,  2a − 30>, $B = (\frac{3a - 45}{a},\ 18 >$ były niepuste oraz rozłączne.

5. Uzasadnij, że jeśli 5n² + 1 jest liczbą naturalną podzielną przez 6, to ułamki $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{3}$ są nieskracalne.