Zadania na egzamin w terminie „zerowym”
Inżynieria Finansowa, Sygnatura 222250-0291, Prowadzący dr Zbigniew Krysiak
Zadanie 1.
Wycenić opcję call na akcję w oparciu o pięciookresowy model dwumianowy. Cena początkowa akcji wynosi V0 = M*50, zmienność cen akcji wynosi σ=(M+20)%, jeden okres równy jest jeden rok, M=numer miesiąca urodzenia studenta, cena wykonania na koniec piątego roku wynosi K=V0 +30. Stopa wolna od ryzyka równa jest r = M %. (Proszę podać datę urodzin.)
Przedstawić „drzewo” zmian wartości instrumentu bazowego.
Przedstawić drzewo zmian wartości opcji we wszystkich węzłach drzewa.
Przedstawić rozkład prawdopodobieństwa wartości akcji na koniec piątego roku w formie tabeli i wykresu.
Zadanie 2.
Przedstaw równanie różniczkowe Blacka Scholesa dla portfela instrumentów pochodnych. Objaśnij znaczenie pochodnych cząstkowych w tym równaniu.
Przedstaw formułę i wyjaśnij znaczenie: delta, gamma, vega, teta, rho dla opcji call wystawionej na akcję niewypłacającej dywidendy.
Zadanie 3.
Inwestor podjął strategię, której realizacja polegała na: zajęciu długiej pozycji w opcji kupna na akcję i krótkiej pozycji w opcji sprzedaży na akcję. Terminy wygaśnięcia i ceny wykonania(K=M+50) obu opcji są równe. Cena opcji kupna wynosi 8+M, zaś cena opcji sprzedaży wynosi 4+M. (gdzie M=miesiąc urodzin studenta)
Zaprezentuj tabelę przedstawiającą: zysk/strata długiej pozycji w opcji kupna, zysk/strata krótkiej pozycji w opcji sprzedaży, zysk/strata całej strategii, w zależności od ceny akcji.
Przedstawić wykresy wypłat w zależności od ceny akcji na rynku dla poszczególnych pozycji i całej strategii.
Jaki instrument syntetyczny imituje podjęta strategia inwestycyjna.
Zadanie 4.
a/Które z podanych równań różniczkowych reprezentuje równanie Black’a Scholesa a które Lemat Ito
;
b/ Cena aktywa zmienia się według następującego procesu stochastycznego:. Wykorzystując lemat Ito przedstaw postać procesu stochastycznego funkcji . Jeśli wiadomo, że ; gdzie , to przedstaw ile wynosi wartość oczekiwana (średnia, trend) a ile wariancja dla procesu stochastycznego funkcji .
c/ Podaj wzór na wartość kontraktu pochodnego forward na akcję nie wypłacającej dywidendy i sprawdź czy spełnia on równanie różniczkowe Black’a-Scholes’a.
Zadanie 5.
Co to jest i na czym polega delta hedging? Zilustruj to na przykładzie poprzez zaprezentowanie jak się wylicza deltę przy której powstaje portfel bez ryzyka w krótkim okresie.
Zadanie 6.
Proszę przedstawić model GARCH, oraz formułę z której wylicza się zmienność w kolejnym okresie w przyszłości. Proszę omówić poszczególne składniki ich znaczenie i wpływ na zmienność w przyszłości.
Zadanie 7.
Mamy dany portfela o następujących parametrach: Delta= 0; Gamma = -(R+3000);Vega = -(R+6000), gdzie: R=rok urodzenia studenta. Uwaga! Gamma i Vega jest ujemna. Mamy do dyspozycji dwie opcje o następujących parametrach:
Opcja1: Delta= 0,6 Gamma = 0,5 Vega = 2,0
Opcja 2: Delta= 0,5 Gamma = 0,8 Vega = 1,2
Ile sztuk opcji typu 1 i opcji typu 2 trzeba dodać do portfela aby portfel był Gamma i Vega neutralny, a także co trzeba ponadto zrobić aby portfel był ostatecznie także delta neutralny.
Uwaga !!!
Rozwiązane zadania należy przedstawić na piśmie, odręcznie, bez wykorzystywania wydrukowanego opracowania z komputera,
Rozwiązania muszą być przedstawione kolejno od zadania1 do zadania 7,
Kartki należy spiąć zszywaczem (nie spinaczem) w lewym górnym rogu – nie bindować,
Nie wkładać kartek z rozwiązaniami do jakichkolwiek folii tzw. koszulek.
Na pierwszej stronie u góry należy czytelnie podpisać imieniem i nazwiskiem z podaniem numeru albumu oraz daty urodzenia – czytelnie.
Wiele zadań jest personalizowanych więc proszę zwracać uwagę na dokładność wykorzystywanych danych do obliczeń.
Zadania będą zbierane na najbliższym terminie wykładu zgodnie z planem