Piotr LUDWIKOWSKI
2008/2009 Fizyka	27 maja 2009
Środa, 17:15	dr I. Mróz

pomiar lepkości cieczy

Metoda

Poiseuille’a:

Lp.	Ciecz	Czas 1/s	Czas 2/s	Czas 2/s
1	Woda destylowana	48,3	46,5	46,8
2	Aceton	38,0	38,6	40,0
3	Alkohol	95,6	106,0	114,2

Metoda Stokesa:

Lp.	Średnica kulki 1/mm	Średnica kulki 2/mm	Średnica kulki 3/mm
1	10,02	15,06	17,46
2	10,02	15,06	17,46
3	10,02	15,06	17,48
4	10,02	15,07	17,47
5	10,03	15,06	17,46

Czasy przelotu kulek:

Odległość między pierścieniami m-n	Kulka 1	Kulka 2	Kulka 3
Numer pomiaru
1-2	t/s	t/s	t/s
1	2,3	1,4	1,1
2	2,2	1,3	1,2
3	2,1	1,5	1,3
2-3	t/s	t/s	t/s
1	2,5	1,6	1,4
2	2,5	1,5	1,4
3	2,6	1,4	1,3
1-3	t/s	t/s	t/s
1	4,7	3,0	2,4
2	4,6	3,0	2,6
3	4,8	2,8	2,5

TEORIA:

Pierwsza zasada dynamiki Newtona:

Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że jeśli wypadkowa sił działających na ciało jest równa 0, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Prawo Bernoulliego:

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych:

$$p + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^{2} = const.$$

gdzie: p – ciśnienie atmosferyczne, ρ – gęstość płynu, h – różnica wysokości, v – prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu, g – przyspieszenie ziemskie.

Prawo Stokesa:

Prawo określające siłę oporu ciała w kształcie kuli poruszającego się w płynie (cieczy lub gazie). Zostało odkryte w roku 1851 przez Sir George'a Stokesa. Prawo to wyraża się wzorem:

$$\overrightarrow{F} = - 6\pi\eta r\overrightarrow{v}$$

gdzie:

$\overrightarrow{F} -$ siła oporu, η− lepkość dynamiczna płynu, r− promień kuli, $\overrightarrow{v} - \ $ prędkość kuli względem płynu.

Definicja Puaza:

Puaz (P) (fr. poise) - jednostka lepkości dynamicznej w układzie jednostek miar CGS, nazwana na cześć francuskiego fizyka i lekarza Jeana L. M. Poiseuille'a.

1 P = 1 dyn·s/cm² = 1 g·cm⁻¹·s⁻¹

W układzie SI analogiczną jednostką jest Pa·s

1 Pa·s = 10 P

W praktyce często wygodniej od puazów jest stosować jednostki sto razy mniejsze - centypuazy (cP)

1 P = 100 cP

Wyprowadzenie wzoru na wyznaczanie bezwzględnego współczynnika lepkości:

Warunek równowagi sił stanowiący zarazem warunek ruchu jednostajnego kulki:

mg = 6πηrv + V𝜚_cg

gdzie; V – objętość kulki, 𝜚_c, gęstość ośrodka, v – prędkość kulki, r – promień kulki, m – masa kulki.

Z powyższego wzoru możemy wyznaczyć współczynnik lepkości:

$$\eta = \frac{\left( m - V\varrho_{c} \right)g}{6\pi rv}$$

Jeżeli kulka spada w rurze cylindrycznej o promieniu R, występujące wówczas wpływy ścianek zmniejszają prędkość spadania i do powyższego wzoru należy wprowadzić współczynnik korekcyjny zależny od
stosunku r/R:

$$\eta = \frac{\left( m - V\varrho_{c} \right)g}{6\pi rv\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)}$$

Tekst na podstawie T. Dryński, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki.

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW:

Metoda Poiseuille’a:

Wyznaczamy ze wzoru współczynnik lepkości ze wzoru:

$$\frac{\eta}{\eta_{0}} = \frac{\text{ρt}}{\rho_{0}t_{0}}$$

gdzie ρ –gestość cieczy badanej, ρ₀ – gęstość wody, t – czas przepływu cieczy badanej, t₀ – czas przepływu wody.

Dla acetonu otrzymujemy:

$$\frac{\eta}{\eta_{0}} = \frac{0,792\ g/\text{cm}^{3} \cdot 38,9\ s}{0,998\ g/\text{cm}^{3} \bullet 47,2\ s} \approx 65,40\%$$

Dla badanego alkoholu otrzymujemy:

$$\frac{\eta}{\eta_{0}} = \frac{0,785\ g/\text{cm}^{3} \cdot 105,3s}{0,998\ g/\text{cm}^{3} \bullet 47,2\ s} \approx 175,48\%$$

W powyższych podstawieniach przyjąłem gęstość wody dla temp. 20 °C, oraz uśrednione czasy przepływu obu cieczy (dane z tabeli na pierwszej stronie).

Obliczmy niepewność naszego wyniku (zakładam, ze dane tablicowe nie są obarczone żadnym błędem). Niepewność tę obliczymy metodą różniczki zupełnej. Da powyższego wzoru przyjmuje on postać:

$$u_{c}\left( \frac{\eta}{\eta_{0}} \right) = \left| \frac{t}{t} \right| + \left| \frac{t_{0}}{t_{0}} \right|$$

gdzie Δt = Δt₀ = 0,2 s.

Po wykonaniu odpowiednich podstawień otrzymujemy:

dla acetonu:

$$u_{c}\left( \frac{\eta}{\eta_{0}} \right) \approx 0,94\%$$

dla alkoholu:

$$u_{c}\left( \frac{\eta}{\eta_{0}} \right) \approx 0,61\%$$

Metoda Stokesa:

Najpierw obliczymy promień, objętość i masę poszczególnych kulek wykorzystanych w eksperymencie:

Kulka 1:

średnica kulki (średnia danych z tabeli na 1 stronie): 10,02 mm, a zatem promień wynosi r₁ = 5,01 mm (0,501 cm),
a objętość V₁ ≈ 0,527 cm³. Masa kulki m₁ = 1,423 g.

Kulka 2:

średnica kulki (średnia danych z tabeli na 1 stronie): 15,06 mm, a zatem promień wynosi r₂ = 7,53 mm(0,753cm),
a objętość V₂ ≈ 1,788 cm³. Masa kulki m₂ = 4,828 g.

Kulka 3:

średnica kulki (średnia danych z tabeli na 1 stronie): 17,47 mm, a zatem promień wynosi r₃ = 8,74 mm(0,874 cm),
a objętość V₃ ≈ 2,797cm³. Masa kulki m₂ = 7,552 g.

W powyższych obliczeniach przyjmujemy gęstość aluminium, z którego wykonane są kulki ρ = 2,7 g/cm³.

Możemy teraz policzyć współczynnik lepkości, wiedząc, że gęstość gliceryny wynosi 1,263 g/cm³.

Dla kulki pierwszej mamy:

$$\overset{\overline{}}{\eta_{1}} = \frac{\left( m_{1} - V_{1}\varrho_{c} \right)g}{6\pi r_{1}v_{1}\left( 1 + 2,4\frac{r_{1}}{R} \right)} \approx 3,172P = 0,3172\ Pa \bullet s$$

wielkość $\overset{\overline{}}{\eta_{1}}$ oznacza średnią wartość współczynnika η₁ liczoną jako średnią z obliczeń dla przelotów między cylindrami 1-2, 2-3 oraz 1-3. Każdą wartość liczymy z powyższego wzoru, a następnie wyciągamy wartość średnią $\overset{\overline{}}{\eta_{1}}$.

Analogicznie dla kulki drugiej:

$$\overset{\overline{}}{\eta_{2}} = \frac{\left( m_{2} - V_{2}\varrho_{c} \right)g}{6\pi r_{2}v_{2}\left( 1 + 2,4\frac{r_{2}}{R} \right)} \approx 1,977\ P = 0,1977\ Pa \bullet s$$

Oraz dla trzeciej kulki:

$$\overset{\overline{}}{\eta_{3}} = \frac{\left( m_{3} - V_{3}\varrho_{c} \right)g}{6\pi r_{3}v_{3}\left( 1 + 2,4\frac{r_{3}}{R} \right)} \approx 1,614\ P = 0,1614Pa \bullet s$$

Średnie arytmetyczne obliczonych współczynników (wyrażonych w Puazach i w Paskalosekundach) wynoszą odpowiednio:

W Puazach:

$$\overset{\overline{}}{\eta} = 2,25\ P$$

W Paskalosekundach:

$$\overset{\overline{}}{\eta} = 0,225\ Pa \bullet s$$

Obliczymy złożoną niepewność standardową:

Dla współczynnika lepkości wyrażonego w Puazach:

$$u_{c}\left( \eta \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(\eta_{i} - \overset{\overline{}}{\eta})}^{2}} \approx 0,45\ P$$

Analogiczny wynik otrzymujemy dla współczynnika wyrażonego w Paskalosekundach:

$$u_{c}\left( \eta \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(\eta_{i} - \overset{\overline{}}{\eta})}^{2}} \approx 0,045\ Pa \bullet s$$

WNIOSKI:

W przeprowadzonym eksperymencie wyznaczyliśmy najpierw względny współczynnik lepkości acetonu i alkoholu propylowego. Wyniosły one odpowiednio 65,40%, u(η/η₀) = 0.94%, oraz 175,48%, u(η/η₀) = 0,61%. W temperaturze 20°C woda ma lepkość η₀ ≈ 0,01 P, co oznacza że dla acetonu otrzymaliśmy wartość η ≈ 0,007 P, a dla alkoholu propylowego η ≈ 0,02 P. Wartości te odbiegają od tablicowych (T.Dryński) odpowiednio o 0,004 P i 0,01P. Są to różnice niezadowalające. Powodem może być niedokładne przyjęcie temperatury panującej w pomieszczeniu, oraz znaczne błędy w pomiarze czasu.

W drugiej części doświadczenia wyznaczyliśmy współczynnik lepkości gliceryny. Wyniósł on
η = 2,25 P, u(η) = 0,45 P. Wg wartości tablicowych dla gliceryny (w temp. 20°C) mamy η = 4,94. Wartość wyliczona różni się znacznie od wartości tablicowej. Myślę, że powodem tego może być nieumiejętnie przeprowadzony pomiar czasu, oraz błędy wynikające z mierzenia odległości między pierścieniami cylindra oraz średnicy kulek. Przyczy uważam, że większy wpływ na wynik miał pomiar czasu.