Piotr LUDWIKOWSKI
2008/2009 Fizyka	20 maja 2009
Środa, 17:15	dr I. Mróz

Wyznaczanie ciepła właściwego ciał stałych
zmodyfikowaną metodą nernsta

Pomiary dla próbki grafitowej:

Zmierzone napiecie U1 = 7 V

Zmierzone natężenie I1 = 0,17 A

Lp.	Czas t /min	Temperatura T/^oC
1	0,0	23,5
2	0,5	24,6
3	1,0	25,9
4	1,5	27,2
5	2,0	28,5
6	2,5	29,7
7	3,0	30,9
8	3,5	32,1
9	4,0	33,3
10	4,5	34,4
11	5,0	35,3
12	5,5	35,4
13	6,0	35,2
14	6,5	35,0
15	7,0	34,8
16	7,5	34,4
17	8,0	34,2
18	8,5	33,9
19	9,0	33,7
20	9,5	33,5
21	10,0	33,2
22	10,5	33,0
23	11,0	32,8
24	11,5	32,6
25	12,0	32,3

Niepewność pomiaru czasu: 1s

Niepewność pomiaru napięcia: 0,1 V

Niepewność pomiaru natężenia: 0,01 A

Pomiary natężenia i napięcia wykonano miernikiem cyfrowym.

Pomiary dla próbki mosiężnej:

Zmierzone napięcie U2 = 7,0 V

Zmierzone natężenie I2 = 017 A

Lp.	Czas t/min	Temperatura T/^oC	Lp.	Czas t/min	Temperatura T/^oC
1	0,0	23,7	35	17,0	32,9
2	0,5	24,4	36	17,5	32,8
3	1,0	24,9	37	18,0	32,7
4	1,5	25,5	38	18,5	32,6
5	2,0	26,0	39	19,0	32,5
6	2,5	26,6	40	19,5	32,4
7	3,0	27,1	41	20,0	32,4
8	3,5	27,7	42	20,5	32,3
9	4,0	28,2	43	21,0	32,2
10	4,5	28,7	44	21,5	32,1
11	5,0	29,2	45	22,0	32,1
12	5,5	29,7	46	22,5	32,0
13	6,0	30,2	47	23,0	31,9
14	6,5	30,8	48	23,5	31,8
15	7,0	31,3	49	24,0	31,8
16	7,5	31,7	50	24,5	31,7
17	8,0	32,3	51	25,0	31,6
18	8,5	32,7	52	25,5	31,6
19	9,0	33,2	53	26,0	31,5
20	9,5	33,7	54	26,5	31,4
21	10,0	34,0	55	27,0	31,3
22	10,5	34,0	56	27,5	31,3
23	11,0	33,9	57	28,0	31,2
24	11,5	33,9	58	28,5	31,1
25	12,0	33,8	59	29,0	31,1
26	12,5	33,7	60	29,5	31,0
27	13,0	33,6
28	13,5	33,5
29	14,0	33,4
30	14,5	33,3
31	15,0	33,2
32	15,5	33,1
33	16,0	33,1
34	16,5	33,0

TEORIA:

Ciepło właściwe.

W celu wyznaczenia ciepła właściwego ciał stałych zmodyfikowaną metodą Nersta konieczna jest znajomość pojęcia ciepła właściwego, w literaturze oznaczanego przez c. Ciepło właściwe wyraża liczbową ilość ciepła potrzebną do ogrzania 1kg ciała o 1K. Definiujemy je następująco:

,

gdzie: δQ jest ilością ciepła pobraną przez ciało, m masą ciała, a dT przyrostem temperatury, który nastąpił w wyniku pobrania przez ciało ciepła δQ. Jednostką ciepła właściwego jest J/kg*K. Warto zaznaczyć, że w zależności od fazy skupienia jego wartość jest różna.

Ciepło molowe.

Niejednokrotnie jesteśmy zainteresowani porównaniem ciepła różnych ciał, ale mających identyczną ilość molekuł. W tym celu wprowadza się ciepło molowe (C_m), którego wzór jest podobny do ciepła właściwego:

,

gdzie: n jest liczbą moli, a µ jest masą 1 mola badanej substancji. Ciepło molowe określa, ile ciepła należy dostarczyć 1 molowi substancji, aby jej temperatura wzrosła o 1K.

Prawo Dulong’a - Petita.

W 1819 roku Dulong i Petit dokonali ciekawego odkrycia, a mianowicie udowodnili że ciepła molowe substancji w wysokich temperaturach mają wartość ok. 25 J/mol*K, są niezależne od temperatury i niemalże równe dla wszystkich substancji. Po zajrzeniu do tabeli z ciepłami molowymi substancji łatwo zauważyć, że ilość ciepła potrzebna do podgrzania jednego mola ciała stałego o jeden stopień jest, w przybliżeniu, taka sama dla prawie wszystkich materiałów. W rzeczywistości ciepło właściwe zmienia się z temperaturą, dążąc do zera dla T → 0K, a do wartości podanej przez Dulonga i Petita dla T → ∞. Prawo Dulong’a i Petita załamuje się dla niskich temperatur, a jest to związane z odchyleniem od przyjętego modelu (atomy w krysztale zachowują się jak oscylatory harmoniczne).

Zasada ekwipartyzacji energii.

Istotne informacje o energii całkowitej układu złożonego z wielu cząstek o strukturze wewnętrznej przynosi nam tak zwana zasada ekwipartyzacji energii, która mówi, że gdy liczba punktów materialnych jest bardzo duża i obowiązuje mechanika newtonoska, wówczas wyrazy składające się na energię całkowitą: kinetyczna energia ruchu postępowego (wyrazy typu 0.5mv²), kinetyczna energia rotacji (0.5Iω²), kinetyczna energia drgań atomów (0.5µv², µ masa zredukowana) oraz energia potencjalna drgań atomów tworzących cząstkę (0.5kx²) mają taką samą wartość średnią i ta średnia zależy włącznie od temperatury. A więc dostępna energia zależy jedynie od temperatury i rozkłada się równo na wszystkie sposoby, w jakie cząstki mogą absorbować.

Prawo Roule’a –Lenza.

Podczas przepływu prądu przez rezystor zawsze wydziela się ciepło, a zatem wynika z tego, że na elementach posiadających rezystancję, energia elektryczna zamienia się w cieplną. Zjawisko to opisuję prawo Roule’a-Lenza, które formułuje się następująco: Ilość ciepła wydzielanego w czasie przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik elektryczny jest wprost proporcjonalna do iloczynu oporu elektrycznego przewodnika, kwadratu natężenia prądu i czasu jego przepływu. A zatem:

Q=I²Rt.

Równanie to można wyprowadzić z definicji pracy (W=UIt), gdzie z prawa Ohma za U podstawiamy iloczyn IR. Ponieważ energia elektryczna dostarczona przewodnikowi podczas przepływu prądu przemienia się w ciepło, to W = Q.

Metody wyznaczania ciepła właściwego, opis metody Nernsta.

Dopóki Nernst nie opracował swojej metody do wyznaczania ciepła właściwego, korzystano z tak zwanej metody kalorymetrycznej, polegającej na bezpośrednim pomiarze. Niestety metoda ta nie była precyzyjna, a na dodatek dzięki niej otrzymywało się jedynie średnią wartość ciepła właściwego w dużym zakresie temperatur. Później zaczęto stosować wspomnianą metodę Nernsta, która wyglądała następująco. Materiał, który miał być zbadany miał kształt cylindryczny, a na jego dnie umieszczano grzejnik elektryczny. Musiał on być bardzo lekki i mieć bardzo małą pojemność cieplną, gdyż w przeciwnym wypadku nie można by zaniedbywać energii zużytej do ogrzania samego grzejnika. Przy samym grzejniku montowano czujnik temperatury – termoparę. Czujnik ten odznacza się dużą dokładnością, małą pojemnością cieplną i niewielkimi rozmiarami, co jest bardzo istotne. W ten sposób możemy kontrolować temperaturę podczas przepływu prądu przez grzejnik. Próbka znajduję się w osłonie adiabatycznej, aby uniknąć strat ciepła. Niestety nie jest możliwe uniknięcie ich zupełnie. Z tego powodu podstawowa wersja metody Nernsta jest modyfikowana, w celu uwzględnia strat ciepła. Podstawowym założeniem jest warunek, iż moc dostarczona przez grzejnik rozdziela się na część powodującą wzrost temperatury próbki oraz część przekazywaną do otoczenia. Przy tych założeniach możemy napisać, wzór na moc w sposób następujący:

,

gdzie: pierwszy człon jest ciepłem pobranym przez próbkę w czasie dt, a drugi człon szybkością oddawania ciepła do otoczenia. Drugi człon można obliczyć, gdyż kiedy grzejnik zostanie wyłączony dojdzie do strat ciepła. Szybkość oddawania ciepła jest zależna od temperatury ciała i otoczenia, zakłada się iż straty ciepła przy ogrzewaniu i chłodzeniu są identyczne przy określonej temperaturze. Dzięki tym zależnością otrzymujemy wzór na drugą część zdefiniowaną następująco: . Podstawiając powyższy wzór do równania mocy uzyskujemy równanie:

,

następnie przekształcamy je tak, aby otrzymać c.

Ostatecznie wzór na ciepło właściwe wyznaczane z metody Nernsta osiągnie postać:

Tekst na podstawie H. Szydłowski, Pracownia fizyczna oraz wiedzy własnej.

OPRACOWANIE WYNIKÓW:

Najpierw, na podstawie pomiarów sporządzimy wykresy dla próbki grafitowej:

Wartości współczynników kierunkowych oraz współczynników b prostych regresji wyliczyłem z wzorów zawartych w pliku ONP. Wszystkie kolejne etapy obliczeń zostały wykonane w programie MS Excel. Ponieważ gotowe funkcje w nim zawarte nie do końca odpowiadały moim potrzebom, postanowiłem ręcznie wprowadzić dane i wpisać formuły (odpowiadające wzorom z pliku ONP):

gdzie x_i – kolejne wartości t, a y_i = kolejne wartości T.

Ostatecznie dla próbki grafitowej otrzymujemy:

Wartość współczynnika kierunkowego dla wykresu przedstawiającego ogrzewanie:

a₁ ≈ 2, 30,  u(a₁)≈0, 07

Wartość współczynnika b dla tej funkcji:

b₁ ≈ 23, 74,  u(b₁)≈0, 22

Wartość współczynnika kierunkowego dla wykresu przedstawiającego ochładzanie:

a₂ ≈ −0, 48 u(a₁)≈0, 01

Wartość współczynnika b dla tej funkcji:

b₁ ≈ 38, 08 u(b₁)≈0, 09

Wiemy, że napięcie podczas ogrzewania próbki przez cały czas wynosiło 7 V, a natężenie 0,17 A. Możemy zatem obliczyć moc dostarczaną do próbki:

P = UI = 7 V • 0, 17 A = 1, 19 W

Obliczymy teraz wartość ciepła właściwego korzystając z wzoru:

$$c = \frac{\text{UI}}{m\left( \frac{\text{dT}}{\text{dt}} + \left| \frac{\text{dT}}{\text{dt}} \right| \right)} = \frac{1,19}{0,031\left( 0,0325 + 0,00818 \right)} = 1578,54\frac{J}{\text{kgK}}$$

a jeśli nie uwzględnimy strat ciepła na chłodzenie próbki $c = 1181,14\frac{J}{\text{kgK}}$.

Niepewność wartości c policzymy metodą różniczki zupełnej, korzystając z ogólnego wzoru:

,

czyli obliczamy kolejne pochodne po mierzonych wielkościach, a następnie sumujemy ich moduły.

Po wykonaniu odpowiednich podstawień otrzymujemy: $u\left( c \right) \approx 85,13\frac{J}{\text{kgK}}.$

Obliczymy jeszcze ciepło molowe. Z układu okresowego odczytujemy wartość masy molowej węgla. Wynosi ona M_c = 0, 01201 kg/mol. Korzystając z wzoru

C = M_cc

otrzymujemy wartość ciepła molowego $C = 18,96\frac{J}{\text{molK}}$.

Niepewność wartości C podobnie jak poprzednio policzymy metodą różniczki zupełnej. Po wykonaniu odpowiednich podstawień otrzymujemy: $u\left( c \right) \approx 1,02\frac{J}{\text{kgK}}$ .

Zajmiemy się teraz drugą próbką - mosiężną. Najpierw narysujemy wykresy:

Wartości współczynników kierunkowych oraz współczynników b prostych regresji ponownie wyliczyłem z wzorów zawartych w pliku ONP. Wszystkie kolejne etapy obliczeń zostały wykonane w programie MS Excel. Ponieważ gotowe funkcje w nim zawarte nie do końca odpowiadały moim potrzebom, postanowiłem znów ręcznie wprowadzić dane i wpisać formuły (odpowiadające wzorom z pliku ONP).Analogicznie do poprzedniego przykładu: x_i – kolejne wartości t, a y_i = kolejne wartości T.

Ostatecznie dla próbki mosiężnej otrzymujemy:

Wartość współczynnika kierunkowego dla wykresu przedstawiającego ogrzewanie:

a₁ ≈ 1, 03,  u(a₁)≈0, 01

Wartość współczynnika b dla tej funkcji:

b₁ ≈ 23, 96,  u(b₁)≈0, 05

Wartość współczynnika kierunkowego dla wykresu przedstawiającego ochładzanie:

a₂ ≈ −0, 160 u(a₁)≈0, 001

Wartość współczynnika b dla tej funkcji:

b₁ ≈ 35, 634 u(b₁)≈0, 018

Wiemy, że napięcie podczas ogrzewania próbki przez cały czas wynosiło 7 V, a natężenie 0,17 A. Możemy zatem obliczyć moc dostarczaną do próbki:

P = UI = 7 V • 0, 17 A = 1, 19 W

Obliczymy teraz wartość ciepła właściwego korzystając z wzoru:

$$c = \frac{\text{UI}}{m\left( \frac{\text{dT}}{\text{dt}} + \left| \frac{\text{dT}}{dt} \right| \right)} = \frac{1,19}{0,148\left( 0,0018 + 0,009 \right)} = 292,92\frac{J}{\text{kgK}}$$

a jeśli nie uwzględnimy strat ciepła na chłodzenie próbki $c = 445,32\frac{J}{\text{kgK}}$.

Niepewność wartości c policzymy metodą różniczki zupełnej, korzystając z ogólnego wzoru:

,

czyli obliczamy kolejne pochodne po mierzonych wielkościach, a następnie sumujemy ich moduły.

Po wykonaniu odpowiednich podstawień otrzymujemy: $u\left( c \right) \approx 132,44\frac{J}{\text{kgK}}.$

Obliczymy jeszcze ciepło molowe. Z układu okresowego odczytujemy wartość masy molowej cyny i cynku. Wynoszą one $M_{\text{Sn}} = 0,11869\frac{\text{kg}}{\text{mol}},\ M_{\text{Zn}} = 0,06538\frac{\text{kg}}{\text{mol}}.$ Korzystając z wzoru

C = M_cc

gdzie M_c – suma mas molowych cyny i cynku otrzymujemy wartość ciepła molowego $C = 53,92\frac{J}{\text{molK}}$.

Niepewność wartości C podobnie jak poprzednio policzymy metodą różniczki zupełnej. Po wykonaniu odpowiednich podstawień otrzymujemy: $u\left( c \right) \approx 24,37\frac{J}{\text{molK}}$ .

WNIOSKI:

W wykonanym doświadczeniu wyznaczyliśmy ciepło właściwe i ciepło molowe grafitu oraz mosiądzu. Dla próbki grafitowej obliczone wartości wyniosły odpowiednio: $\mathbf{c}\mathbf{= 1578,54}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}}$, $\mathbf{u}\left( \mathbf{c} \right)\mathbf{\approx 85,13}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}}\mathbf{.}$ Z tablic fizycznych: Tablice fizyczne; Witold Mizerski Piotr Żmijewski , Jacek Litwin , Andrzej Okołów Wojciech Nowaczek; Wyd. Adamantan 2002), można odczytać, że ciepło właściwe węgla wynosi $\mathbf{507}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}}$,
a ciepło molowe $\mathbf{6,11}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{molK}}}$. Ponadto odwołując się do prawa Dulonga i Petita wynika, że ciepło molowe substancji w wysokich temperaturach wynosi ok. $\mathbf{25\ }\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{molK}}}\mathbf{.}\ $ Niestety. W wykonanym eksperymencie wyznaczone wartości znacznie odbiegają od tablicowych. Myślę, że jest to spowodowane nieszczelnością pojemnika, w którym zamknięte były próbki. Podczas wykonywania doświadczenia nie zaobserwowałem innych możliwych powodów. Węgiel jest pierwiastkiem niemetalicznym, co powoduje, że wartość wyliczonego ciepła molowego nie jest zbliżona do wartości wyznaczonej przez Dulonga i Petita najprawdopodobniej dlatego, że atomy węgla nie zachowują się jak oscylatory harmoniczne oraz wiązania chemiczne węgla są nie równoważne.

Podobnie wyznaczone wartości ciepła właściwego i ciepła molowego dla próbki mosiężnej ($\mathbf{c = 292,92}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}}\mathbf{,}\mathbf{\text{\ \ u}}\left( \mathbf{c} \right)\mathbf{\approx 132,44}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}}\mathbf{;}$ $\mathbf{C = 53,92}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{molK}}}\mathbf{,}$ $\mathbf{u}\left( \mathbf{c} \right)\mathbf{\approx 24,37}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{molK}}}$), odbiegają od wartości tablicowych. Te bowiem wynoszą odpowiednio: $\mathbf{386}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}}$, 71$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{molK}}}$. W tym przypadku odchylenia są mniejsze niż dla grafitu. Myślę, że wpływ na to ma metaliczność cyny i cynku (z których składa się mosiądz). Metoda Nernsta pozwala lepiej wyznaczyć wartości ciepła właściwego i ciepła molowego dla takich właśnie substancji.