Mechanika 2

1. Jaki układ nazywamy środkowym układem sił?

Środkowy układ sił (płaski i przestrzenny) - układ, w którym proste działania sił  przecinają sie w  jednym punkcie.Taki układ sił można zastąpić jedna siłą (wypadkową tego układu), albo sprowadzić
do dwójki zerowej (układ sił jest wtedy w równowadze).

1. Definicja wypadkowej układu sił.

Wypadkowa - jest to układ równoważny zlożony tylko z jednej siły, który zastępuje dany układ sił.

1. Twierdzenie o trzech siłach.

Trzy siły są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie, leżą w jednej płaszczyźnie i trójkąt sił jest trójkątem zamkniętym.

1. Trzecia zasada dynamiki.

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F_AB, to ciało B działa na ciało A siłą F_BA, o takim samym kierunku i wartości jak F_AB, ale przeciwnym zwrocie.

1. Definicja momentu siły względem bieguna.

Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O – iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

1. Definicja momentu siły względem osi.

moment siły względem osi Oz  można okrelić jako moment rzutu siły P na płaszcyznę prostopadłą  do osi Oz względem punktu przebicia tej płaszczyzny przez os. Rzut siły P na płaszcyznę prostopadłą do osi oznaczony jest przez Pxy,  a punkt przebicia płaszczyzny Oxy przez os Oz  oznaczony symbolem O.
Z powyższego okrelenia momentu siły względem osi wynika, że moment siły względem osi jest zerem, gdy siła i os leżą w jednej płaszczyźnie (gdy siła jest równoległa do osi lub gdy prosta działania siły przecina os.

1. Warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest, aby sumy algebraiczne rzutów wszystkich sił na każdą z dwóch nierównolgłych osi równały się zeru i suma momentów wszystkich sił względem dowolnie obranego bieguna na płaszczyźnie działania tych sił była równa zeru

1. Warunki równowagi przestrzennego dowolnego układu sił.

9. Wskaż poprawną postać równania ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Ruch jednostajnie przyspieszony – ruch, w którym prędkość ciała zwiększa się o jednakową wartość w jednakowych odstępach czasu. Ciało takie ma przyspieszenie o stałej wartości, a jego kierunek i zwrot są równe kierunkowi i zwrotowi prędkości tego ciała.

Droga, a także wartość przesunięcia, wynosi w tym ruchu

gdzie:

• – droga, pokonana przez ciało

• – droga początkowa ciała

• – wartość prędkości ciała

• – wartość prędkości początkowej ciała

• – czas trwania ruchu jednostajnie przyspieszonego

• – wartość przyspieszenia.

Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ( – położenie początkowe, ‒ prędkość początkowa, – przyspieszenie)

10. Od czego zależy składowa styczna prędkości punktu w ruchu obrotowym po okręgu?

W tym ruchu wektor prędkości kątowej jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

- zależy od promienia koła

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

10. Od czego zależy składowa normalna prędkości punktu w ruchu obrotowym po okręgu?

W tym ruchu wektor prędkości kątowej jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

- zależy od kąta

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

10. Co nazywamy chwilowym środkiem obrotu?

Jeżeli figura płaska porusza się w swej płaszczyźnie, to z każdego położenia w inne położenie daje się przesunąć przez obrót dokoła punktu leżącego w tej płaszczyźnie, zwanego środkiem obrotu skończonego (przesunięcie równolegle można uważać za obrót punktu leżącego w nieskończoności).

10. Przyspieszenie Coriolisa.

Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości kątowej i prędkości względnej

10. Pierwsza zasada dynamiki.

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

10. Moment statyczny figury płaskiej.

Momentem statycznym figury płaskiej względem dowolnej osi nazywamy iloczyn pola tej figury i współrzędnej środka ciężkości tej figury względem tej samej osi.

10. Moment bezwładności figury płaskiej.

10. Moment bezwładności bryły sztywnej.

Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

10. Twierdzenie Steinera.

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner.

Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

gdzie:

• – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

• – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,

• – odległość między osiami,

• – masa bryły.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

10. Współczynnik tarcia tocznego.

Tarcie toczne (nazywane również oporem toczenia) - opór ruchu występujący przy toczeniu jednego ciała po drugim. Występuje np. pomiędzy elementami łożyska tocznego, między oponą a nawierzchnią drogi. Zwykle tarcie toczne jest znacznie mniejsze od tarcia ślizgowego występującego między ciałami stałymi, dlatego toczenie jest częstym rodzajem ruchu w technice.

f - współczynnik tarcia tocznego, jednostką jego jest metr,

Z powyższego wzoru wynika, że współczynnik tarcia jest zdefiniowany jako iloraz momentu tarcia tocznego () do siły nacisku (N):

Graficzna interpretacja współczynnika tarcia tocznego f została przedstawiona na rys.3. i rys.4.

Współczynnik tarcia tocznego ma następujące interpretacje fizyczne:

• Gdy ciało spoczywa i nie działa na nie siła ciągnąca, siła reakcji podłoża leży na tej samej prostej co siła nacisku na podłoże. Gdy ciało toczy się, z warunków równowagi wynika, że składowa prostopadła do podłoża siły reakcji podłoża jest siłą równoległą do siły nacisku, ale nie pokrywa się z nią. Współczynnik tarcia tocznego jest równy odległości między prostymi, wzdłuż których działają siła nacisku i składowa pionowa reakcji podłoża (rys. 4).

• Toczące ciało można traktować jako obracające się względem chwilowej osi obrotu (rys.4 -punkt zaczepienia wektora ), która dla idealnie sztywnych materiałów jest punktem leżącym na prostej przechodzącej przez środek koła i prostopadłej do podłoża. Dla ciał z rzeczywistych materiałów, punkt chwilowego obrotu jest przesunięty w kierunku toczenia się ciała o odległość równą współczynnikowi tarcia.

10. Druga zasada dynamiki.

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

10. Definicja pędu.

Wzór na pęd

Pęd definiujemy jako iloczyn masy i prędkości ciała.

Pęd jest wielkością wektorową.
Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora prędkości.

  

 

Jednostka pędu

Jednostką pędu w układzie SI jest: kilogram razy metr na sekundę.

[p] = kg • m/s

10. Definicja krętu.

Moment pędu punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa

gdzie θ oznacza kąt między wektorami r i p.

Dla ciała o momencie bezwładności I obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem

10. Zasada zachowania pędu.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała

co można wyrazić wzorami

Układ izolowany to taki układ, na który nie działają siły zewnętrzne lub siły te się równoważą. Oddziaływanie między elementami układu siłami wewnętrznymi nie zmienia pędu układu.

Gdy na układ ciał działa niezrównoważona siła zewnętrzna, wówczas pęd wypadkowy układu zmienia się. Zasada zachowania pędu wynika wprost z II zasady dynamiki w postaci uogólnionej. Można ją również wywieść z niezmienniczości lagranżjanu (hamiltonianu) względem przesunięć w przestrzeni (jeśli wszystkie punkty zostaną przesunięte w przestrzeni o , to nowy układ będzie identyczny z pierwotnym). Sytuacji takiej odpowiada brak członu potencjalnego w lagranżjanie (hamiltonianie).

Zasada ta jest zawsze spełniona (dla dowolnego układu izolowanego) w każdym procesie fizycznym, tylko w niektórych zjawiskach opisywanych przez mechanikę kwantową możliwe jest krótkotrwałe jej złamanie (w czasie zajścia oddziaływania), jednak już po bardzo krótkim czasie (potrzebnym światłu na przebycie odległości międzycząstkowych) zasada ta jest spełniona. Zasadę zachowania momentu pędu można wraz z zasadą zachowania materii-energii połączyć w zasadę zachowania czteropędu.

10. Zasada zachowania krętu.

10. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

,

gdzie:

- prędkość kątowa,

- tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

,

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

10. Energia kinetyczna w ruchu płaskim.

Rozpatrzmy ruch płaski ciała, jako złożony z ruchu postępowego z prędkością środka masy   i ruchu obrotowego z prędkością kątową ω dookoła prostej przechodzącej przez środek masy S prostopadłej do płaszczyzny kierowniczej π (rys.24.13).  Energię kinetyczną oblicza się według twierdzenia Koeniga (24.41):

gdzie J_s, jest momentem bezwładności ciała względem prostej przechodzącej przez środek masy ⊥ do π.

Energia kinetyczna w ruchu płaskim jest równa sumie energii kinetycznej ciała w ruchu postępowym i energii kinetycznej ciała w ruchu obrotowym dookoła prostej, przechodzącej   przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny kierowniczej.

10. Energia potencjalna.

Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych^[1], wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero^[2]. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

Energia potencjalna a siła

Znając rozkład przestrzenny energii potencjalnej pewnego ciała umieszczonego w polu sił można wyznaczyć siłę działającą na to ciało obliczając gradient

Jeżeli w pewnym punkcie przestrzeni energia osiąga lokalne ekstremum, wówczas, jak widać z powyższego wzoru, znikają siły działające na ciało. Punkt ten określa położenie równowagi. Jeśli jest to minimum – równowaga jest trwała, jeżeli maksimum – nietrwała.

Gdy znane są natomiast siły działające na ciało w każdym punkcie przestrzeni, można znaleźć różnicę energii potencjalnych ciała w punktach A i B obliczając całkę z siły

Jeżeli w położeniu r_A ustali się arbitralnie Ep = 0, wówczas wartość tej całki określa energię potencjalną w położeniu r_B.

Przykłady

W polu grawitacyjnym

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia rozpatruje się pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.

W pobliżu powierzchni Ziemi

Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi, w rozpatrywanym obszarze, jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Wówczas za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wszystkie punkty na tej samej wysokości mają energię równą zero, powierzchnię tę nazywa się powierzchnią Ziemi. Przyrost energii potencjalnej grawitacji ciała jest równy pracy siły zewnętrznej, wykonanej przy jego podnoszeniu na wysokość h.

Energia potencjalna grawitacji ciała o masie m umieszczonego na wysokość h nad poziom odniesienia (poziom ziemi) jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na wysokość h

gdzie siła F jest równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy m i przyspieszenia ziemskiego.

W centralnym polu grawitacyjnym

W zagadnieniach, w których trzeba rozpatrywać zmiany energii grawitacyjnej w skali porównywalnej do odległości od źródeł grawitacji (np. w lotach kosmicznych, oddziaływaniach międzyplanetarnych), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego. Za poziom odniesienia najwygodniej jest wówczas przyjąć nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Wyrażenie na pracę potrzebną do przeniesienia obiektu z pewnego punktu odległego o r od środka masy M do nieskończoności można wyznaczyć obliczając całkę

gdzie:

r – odległość od środka masy źródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu [m],

G – stała grawitacyjna [N·m²·kg^–2],

M – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],

m – masa przenoszonego ciała [kg].

Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym, dlatego pracę przeniesienia ciała z punktu A do punktu B można wyrazić poprzez energię potencjalną w punkcie A i B

Porównując ten wzór ze wzorem (1) można zauważyć, że energia potencjalna w punkcie odległym o r od centrum masy M może być wyrażona wzorem

Wzór ten jest prawdziwy dla sytuacji, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Pozostaje prawdziwy również dla kuli o symetrycznym rozkładzie masy, ale tylko na zewnątrz tej kuli.

W środku jednorodnej kuli o masie M i promieniu R energia potencjalna osiąga wartość

Przyjmując za poziom odniesienia powierzchnię kuli (E_p = 0) energia potencjalna w środku przyjmuje wartość

Energia potencjalna sprężystości

Energia potencjalna sprężystości jest energią określaną dla ciała odkształcanego sprężyście. Energia ta jest proporcjonalna do kwadratu odkształcenia od położenia równowagi. W przypadku odkształconej sprężyny energię tę opisuje wzór

gdzie:

k – współczynnik sprężystości [N/m],

x – odkształcenie, czyli odległość od położenia równowagi [m].

Wzór na energię potencjalną odkształconej sprężyny można wyprowadzić wykorzystując wzór na siłę sprężystości

gdzie F_s – siła sprężystości [N].

Praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny o x jest to praca przeciwko sile sprężystości (o przeciwnym znaku). Można ją zatem zapisać:

Ponieważ praca ta jest różnicą energii końcowej i początkowej, a w położeniu równowagi energia potencjalna jest równa 0. Stąd wynika wzór na energię potencjalną.

10. Jaka zasada jest zachowana w przypadku zderzenia sprężystego?

􀀹spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej

􀀹spełniona jest zasada zachowania pędu

10. Współczynnik restytucji.

Współczynnik restytucji mówi nam o ilości energii mechanicznej straconej podczas zderzenia (na odkształcenia trwałe, ogrzanie się ciał, falę akustyczną itp.). Myślę, że dobrym przykładem, aby go "zrozumieć" jest doświadczenie ze swobodnie spadającą kulką, która odbija się od nieruchomego podłoża, wtedy równy jest on stosunkowi prędkości kulki - tuż przed uderzeniem i tuż po nim, czyli,

gdzie h oznacza wysokość, na jaką po odbiciu wzniesie się ciało, początkowo spadające z wysokości H.

Co do dokładniejszego sformułowania podajmy wzór:

gdzie:
- u odnosi się do prędkości ciał przed, zaś v - po zderzeniu;
- A i B to indeksy odpowiadające poszczególnym ciałom.

10. Zasada równoważności energii i pracy.

Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy dla punktu materialnego.

Przyrost energii kinetycznej w pewnym przedziale czasu jest równy sumie sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) działających w tym czasie.

Gdy praca sił działających jest równa zeru L = 0, wówczas na podstawie (24.36)  E₂ – E₁ = 0, czyli E₂ = E₁, więc zgodnie z (24.35)  E ₂ =E₁. Punkt ma prędkość stałą co do wartości. Jeżeli więc siła jest na przykład prostopadła do toru, to punkt porusza się ruchem jednostajnym. Przykładem  jest ruch jednostajny punktu materialnego po okręgu koła pod wpływem siły stałej co do wartości i skierowanej do środka koła.

10. Zasada zachowania energii mechanicznej.

W układzie izolowanym całkowita energia mechaniczna pozostaje stała, mogą zmieniać się jej rodzaje.

Podstawową jednostką energii jest 1 dżul [J]

10. Siła sprężystości odkształconej sprężyny.

Siła sprężystości – siła, która powoduje powrót odkształconego ciała do pierwotnego kształtu lub objętości. Dla małych odkształceń siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia, co wyraża prawo Hooke'a, które dla odkształcenia liniowego można przedstawić wzorem:

gdzie

   – zmiana długości (wydłużenie lub skrócenie) ciała,

        – współczynnik sprężystości sprężyny wyrażany w N/m,

      – siła sprężystości.

Minus we wzorze oznacza, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do zwrotu zmiany długości ciała. Dlatego powoduje jej powrót do pierwotnego kształtu.

W ogólnym przypadku dowolnej bryły o dowolnej strukturze, siły sprężystości ciała mają bardziej skomplikowany charakter, zarówno przestrzenny, jak i co do kierunku, a zamiast współczynnika sprężystości stosuje się tensor sztywności. Jest to spowodowane tym, że różne siły (np. ściskające, ścinające) i momenty sił (np. skręcające) działające na ciało mogą powodować różne odkształcenia, przy czym nie zawsze kierunek działania siły pokrywa się z kierunkiem odkształcenia.

10. Równanie ruchu drgającego bez tłumienia.

równanie ruchu:

                                              

10. Równanie ruchu drgającego z tłumieniem.

równanie różniczkowe ruchu dla drgań swobodnych ma postać:

                                        

10. Okres drgań wahadła matematycznego.

Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.