1.Definicja loksodromy – jest to linia krzywa, która na powierzchni kuli lub elipsoidy przecina południki pod jednakowym katem. Spiralnie zbliża się do biegunów lecz ich nie osiąga. Na mapie Merkatora jest to linia prosta. Nie jest najkrótsza droga po Ziemi ponieważ nie jest ona łukiem kola Wielkiego. W żegludze po loksodromie mamy do rozwiązania dwa podstawowe problemy. Pierwszy z nich polega na tym, że mając dane współrzędnych wyjścia, KDd i d obliczamy współrzędne punktu przeznaczenia. Drugi problem żeglugi po loksodromie polega na tym, że mając współrzędne punktu wyjścia i punktu docelowego musimy obliczyć KDd, d.

2.Trójkat loksodromiczny - trójkąt ABC utworzony na powierzchni kuli Ziemskiej utworzony w wyniku przecięcia się południka punktu A, równoleżnika punktu dojścia B i loksodromy przechodzącej przez punkty A i B. Elementami trójkąta loksodromicznego są: róznica szerokości, zboczenie nawigacyjne, odleglosc loksodromiczna, i kąt drogi nad dnem.

Trójkąt drogowy - jest to trojkat plaski z takimi samymi elementami co trojkat loksodromiczny. Tr.Drog: Δφ=dcosKdd a=d sin Kdd tgKDd=a/Δφ

3. Trójkąt Merkatora- trójkąt prostokątny o jednej przyprostokątnej równej różnicy długości geograficznej dwóch punktów leżących na mapie Merkatora i drugiej przyprostokątnej równej różnicy powiększonej szerokości geograficznej na takiej mapie. Odpowiednik trójkąta loksodromicznego na mapie Merkatora. Elementami trójkąta Merkatora są: różnica powiększonej szerokości, różnica długości, kat drogi nad dnem Tr.Mer: tg Kdd=Δλ/ΔV

4.Zliczenie matematyczne złożone nazywamy metodę obliczania współrzędnych pozycji końcowej przy częstych zmianach kursu, znając ich wartości, przebytą drogę oraz elementy prądu i wiatru.

5.Ortodroma- jest to krótszy łuk kola wielkiego przechodzącego przez dwa punkty lezące na powierzchni Ziemi. Ortodroma jest najmniejsza odlegloscia pomiędzy tymi dwoma punktami.

6.Koło wielkie – największe koło, jakie można wpisać w kulę. Jego średnica jest równa średnicy kuli. Na mapie Merkatora ortodroma jest linią krzywą wygiętą w kierunku bliższego bieguna ziemskiego, w przeciwieństwie do loksodromy, która przecina wszystkie południki pod tym samym kątem, a na mapie Merkatora jest linią prostą.

7. Odległość po ortodromie obliczamy posługując się dowolnym wzorem na długość boków trójkąta sferycznego, gdy dane są pozostałe jego boki i kąt miedzy nimi zawarty. Na rysunku przedstawiono trójkąt sferyczny w którym dane są nastepujace elementy (90*-fiA) ,(90*-fiB), delta lambda. Obliczamy z niego odległość po ortodromie D za pomocą następujących wzorów
Odległość orto: wz.cos: cosD=cos(90-φA)cos(90-φB)+sin(90-φA)sin(90-φB)cosΔλ wz do obliczeń: cosD=sinφAsinφB+cosφAcosφBcosΔλ wz sem semD=sem x+semΔφ sem x=cosφAcosφBsemΔφ

8.Początkowy kat drogi po ortodromie możemy obliczyć za pomocą wzorów:

-reguła cotangensowa: Jeżeli z sześciu elementów trójkąta sferycznego , wpisanych w obwodzie kola, weźmiemy pod uwagę leżace obok siebie kolejno cztery elementy to iloczyn ctg kata skrajnego cosec boku wewnatrznego jest równy iloczynowi ctg boku skrajnego i cosec kata wew, minus iloczyn ctg wewnętrznego kąta i ctg wewnętrznego boku.

Pocz kąt drogi:reg.ctg:ctgαcosec(90-φA)=ctg(90-ΔφB)cosecΔλ-ctgΔλctg(90-φA) wz do obliczeń: ctgαsecφA= –tgφActgΔλ+tgφBcosecΔλ kąt w sys.poł! WzNepera: (α+β)/2 + (α-β)/2 = α; β= (α+β)/2 - (α-β)/2; tg(α+β)/2=cos(φA-φB)/2 cosec(φA-φB)/2 ctgΔλ/2 tg(α+β)/2=sin(φA-φB)/2 sec(φA-φB)/2 ctgΔλ/2 WzSin:sinα/sin(90-φB)=sinΔλ/sinD sinα=sinΔλcosφBcosecD warunek α<90, α w sys.poł

-Wzór Neppera (dla dowolnego tr. Sferycznego) taki sam rysunek jak cotangensow

-wzór sinusów (w tr. Sferycznym wypukłym sinusy boków są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów

9.Końc kąt drogi: γ=180-β reg.ctg: ctgβsecφB=tgφBctgΔλ+tgφAcosecΔλ wz.sin: sinβ/sin(90-φA)=sinΔλ/sinD sinβ=sinΔλcosφAcosecD

-wzory Neppera ( takie jak przy obliczaniu początkowego kata drogi)

10. Wierzchołek koła wielkiego leżący najbardziej ortodromy lub na niej samej nazywamy wierzchołkiem ortodromy. Jego współrzędne geograficzne są niezbędne do obliczenia współrzędnych punktów zwrotu. Jeżeli kąty α i β są kątami ostrymi, wówczas wierzchołek leży na ortodromie. Jeżeli jeden z kątów jest rozwarty, to wierzchołek leży poza ortodromą. Koło wielkie przecina południk wierzchołka pod kątem prostym. Południk wierzchołka tworzy z pozostałymi bokami trójkąta ortodromicznego trójkąt prostokątny(ABnW), który rozwiązujemy stosując regułę Nepera dla trójkąta sferycznego prostokątnego.

Reguła Nepera: Jeżeli na obwodzie koła wypiszemy elementy trójkąta prostokątnego opuszczając kąt równy 90°, a boki będące przyprostokątnymi dopełnimy do 90°, to wówczas:

-cosinus dowolnego elementu równy jest iloczynowi cotangensów elementów przyległych,

-cosinus dowolnego elementu równy jest iloczynowi sinusów elementów przeciwległych.

WieOrt:cosφW=sin(90-φA)sinα cosφW=cosφAsinα cos(90-φA)=ctgΔλW ctgα sinφA=ctgΔλW ctgα ctgΔλW=sinφA tgα tgΔλW=cosecφA ctgα Znak φW jest jednoimienny z φA. O znaku ΔλW rozstrzyga odręczny rysunek lub reguła jeżeli α>90 to znak jest jednoimienny ze znakiemΔλ.

11. Punkty zwrotu na ortodromie. Punkty na ortodromie, w których następuje zmiana kata drogi nazywamy punktami zwrotu(ich liczba ma w miarę dokładnie opisywać kształt ortodromy). Droga pomiędzy punktami zwrotu odbywa się po loksodromie. Zmienną kata drogi zmieniamy po przebyciu pewnej różnicy długości. Punkty zwrotu ustala się na południkach o pewnych stopniach, przyjmując stałą różnicę długości pomiędzy nimi. Jest to równoczesne z wyznaczeniem ich długości geograficznych. Do obliczeń pozostają szerokości geograficzne tak ustalonych punktów zwrotu.

Współrzędne punktu zwrotu określamy:

- sposobem rachunkowym

- za pomocą mapy gnomonicznej.

Znając współrzędne punktów zwrotu nanosimy je na mapę Merkatora, najczęściej na arkusze zliczeniowe. Łączymy kolejne punkty odcinkami loksodromicznymi i odczytujemy kąt drogi oraz odległość pomiędzy poszczególnymi punktami zwrotu i jedziemy.
Pkt zwr: cosΔλ=ctg(90-φZ) ctg φW wz.obl: tgφZ=cosΔλZ tgφW

12. Zastosowanie mapy gnomonicznej przy żegludze po ortodromie. Mapy gnomoniczne wykorzystujemy bardzo często w praktyce do wyznaczania następujących elementów ortodromy:

- współrzędnych geograficznych punktu zwrotu

-współrzędnych geograficznych wierzchołka

- odległości po ortodromie
Jednoczenie na mapie gnomonicznej dostajemy obraz przebiegu całej ortodromy, co pozwala ustalić odległość do niebezpieczeństw nawigacyjnych (wysp, płycizn) oraz hydrometeorologicznych (granice lodów, obszary sztormowe itp.)

13.Zbieżność południków
Różnicę kątową miedzy początkowymi katami drogi w dwu punktach ortodromy nazywamy zbieżnościa południków, czyli konwergencją (k)
ZbiePoł:tg k/2=tg Δλ/2 sec Δφ/2 sin φŚR wzór pełny gdy Δφ<10: tg k/2=tg Δλ/2 sinφŚR gdy Δφ<10 Δλ<5: k°= Δλ° sinφŚR

K=gamma-alfa

14. Poprawka Loksodromiczna- stosujemy przy przeliczaniu radiowych namiarów ortodromicznych na loksodromie i przy przeliczaniu początkowego kąta drogi po ortodromie na loksodromiczny kąt drogi.

Poprawka loksodromiczna ε-różnica kątowa między ortodromicznym a loksodromicznym kątem drogi PoprLoks: α=Ψ1-ε1 β=Ψ2-ε2 czyli Ψ1= α+ε1 Ψ2= β+ε2 popr.loksodrom przecina południki pod tym samym kątem Ψ1+Ψ2=180 α+ε1+ β+ε2=180 ponieważ β=180-(α+k) więc α+ε1+180-α-k+ε2=180 czyli ε1+ε2=k Gdy d<500Mm pomiędzy A i B to ε1= ε2 2ε=k ε=k/2

15.żegluga mieszana-droga statku która przebiega częściowo po ortodromie a częściowo po loksodromie

ŻegMiesz: cosΔλW1=ctg(90-φA)ctgφG cosΔλW1=tgφActgφG cos(90-φA)=sin(90-D1)sinφG cosD1=sinφAcosecφG █ cosΔλW2=tgφBctgφG cosD2=sinφBcosecφG D=D1+D2+d d=Δλ1cosφ

16. Trójkąt sferyczny- Figurę sferyczną nazywamy taką figurę, której wszystkie punkty leża na powierzchni kuli. Dział geometrii traktujący o własnościach figur sferycznych nazywamy geometrią sferyczną. Podstawową figurą geometrii sferycznej jest trójkąt sferyczny którego podstawowymi elementami są:- boki(a,b,c) i kąty(A,B,C)

17.Związki między podstawowymi elementami trójkąta sferycznego: - w t.s. naprzeciw równych boków leżą równe kąty, - w t.s. naprzeciw równych kątów leżą równe boki, - w t.s. naprzeciw większego kąta leży większy bok, -w t.s. naprzeciw większego boku leży większy kąt.

18.Kąty sferyczne w trójkącie ABC: - każdy kąt wypukłego trójkąta sferycznego jest mniejszy od kąta półpełnego: 0<A<180 0<B<180 0<C<180. – suma kątów w t.s. jest większa od kąta półpełnego i mniejsza od trzech kątów półpełnych 180<A+B+C<540. – w t.s. suma dwóch kątów zmniejszona o kąt trzeci jest mniejsza od kąta półpełnego: A+B-C<180, A+C-B<180, B+C-A<180

19. Wzory cosinusów: cosinus boku t.s. równa się iloczynowi cosinusów boków pozostałych plus iloczyn sinusów tych boków przez cosinus kąta zawartego między nimi: cos a=cos b cos c+sin bsin c cosA, cos b=cos acos c+sin asin ccos B, cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Cosinus kąta t.s. rowna się iloczynowi sinusów kątów pozostałych przez cosinus boku przylegającego do nich minus iloczyn cosinusów tychże kątów.

20. Wzory sinusów: w t.s. sinusy boków są proporcjonalne do sinusów przeciwległych im kątów:

$\frac{\sin a}{\sin A}$=$\frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$

21. Wzory cotangensów: sinus boku środkowego razy cotangens boku skrajnego minus sinus kąta środkowego razy cotangens kąta skrajnego równa się iloczynowi cosinusów elementów środkowych.

sin c ctg a – sin BctgA=cosBcos c, sin c ctg b – sin ActgB=cosAcos c, sin b ctg c – sin ActgC=cosAcos b, sin b ctg a – sin CctgA=cosbcos C, sin a ctg b – sin CctgB=cosacos C, sin a ctg c – sin BctgC=cosacos B

22.Analogie Nepera- wzór podstawowy:

$$\text{tg}\frac{A + B}{2} = tg\left( \frac{A}{2} + \frac{B}{2} \right) = \frac{\text{tg}\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2}}{1 - tg\frac{A}{2}\text{tg}\frac{B}{2}}$$

Analogie Nepera stosuje się na ogół w przypadkach, gdy są dwa boki trójkąta sferycznego i kąt między nimi zawarty lub dwa kąty i bok do nich przylegający.

23. Wzory w trójkącie prostokątnym sferycznym: - sferyczny wzór pitagorasa: cos a= cos b cos c Cosinus przeciwprostokątnej równa się iloczynowi cosinusów przyprostokątnych.

- reguła Nepera dla t.s. prostokątnego: Cosinus elementu t.s.p. równa się iloczynowi cotangensów elementów przyległych lub iloczynowi sinusów elementów przeciwległych, przy tym obie przyprostokątne zastępuje się ich dopełnieniami do 90’ i kąta prostego nie uważa się za element rozdzielający. cos c = ctg BctgC, cosB=sin(90’-b)sinC=cos BsinC