Określanie współczynnika filtracji na podstawie krzywej uziarnienia

Jakub Kolasa

Paweł Kłósko

Szymon Kozok

Wojciech Kurek

GiG WGiG Gr.V

1. Wstęp teoretyczny:

Współczynnik filtracji określa wartość wodnoprzepuszczalności, czyli zdolności skały do przepuszczania wody.

Współczynnik filtracji może być interpretowany jako prędkość filtracji przy jednostkowym spadku hydraulicznym. Współczynnik filtracji ma wymiar prędkości, a jego jednostką jest metr na sekundę (Rogóż, 2004). Współczynnik ten, wraz ze współczynnikiem przepuszczalności jest podstawową wielkością w większości obliczeń hydrogeologicznych (Wacławski, 2005).

Wartość współczynnika filtracji może być wyznaczona metodą wzorów empirycznych, badań laboratoryjnych lub badań polowych.

Ze wzorów empirycznych korzysta się przede wszystkim dla gruntów nieskalistych. Na ich podstawie można w sposób przybliżony oszacować wartość współczynnika filtracji. We wzorach tych wykorzystuje się stwierdzone empiryczne związki pomiędzy wartością współczynnika a cechami strukturalnymi gruntów takimi jak uziarnienie, porowatość oraz temperaturą wody. Zastosowanie konkretnego wzoru ograniczone jest do gruntu o określonych cechach uziarnienia. Na rzeczywistą wartość współczynnika filtracji mają wpływ liczne cechy strukturalne warstwy wodonośnej i ich zmienność w warunkach naturalnych, których wzory empiryczne nie uwzględniają, przez co należy pamiętać, że wyniki obliczenia tego współczynnika mogą być w pewnych przypadkach obarczone znacznym błędem. Istotne jest także to, że wyliczone wartości odnoszą się wyłącznie do rozpatrywanej próbki gruntu stanowiąc jedynie punktowe rozpoznanie współczynnika filtracji warstwy wodonośnej (Wacławski, 2005).

Tabela 1. Empiryczne wzory na współczynnik filtracji:

Wzór	Postać wzoru	Warunki stosowalności
Hazena	k = Cde^2(0, 70 + 0, 03t)	0,1 mm ≤ d10 ≤ 3,0 mm U < 5 t = 10˚C
amerykański	k = 0, 36 d20^2,  3	0,01 mm ≤ d20 ≤ 2,0 mm t = 10˚C
Krügera	$$k = 322\ \frac{n}{\left( 1 - n \right)^{2}}d_{e}^{2}$$	de = 0,06÷0,28 mm n = 0,3÷0,47 t = 10˚C
Drugi Slichtera	k = 496mde^2	0,01 mm ≤ de ≤ 5 mm

Dla powyższych wzorów:

C - empiryczny współczynnik zależny od nierównomierności uziarnienia

d_e – średnica miarodajna ziarna w mm

d₂₀ - średnica zastępcza (w mm) odpowiadająca zawartości 20% ziaren na krzywej sumowania

n – współczynnik porowatości w ułamku dziesiętnym

U - współczynnik nierównomierności uziarnienia gruntu

m - współczynnik liczbowy zależny od porowatości

t - temperatura wody

(Pazdro, 1990).

Porowatość skały związana jest z obecnością pomiędzy ziarnami lub kryształami próżni, zwanych porami, związanych zwykle z genezą skały. W aspekcie własności hydrogeologicznych skały najistotniejsze są trzy cechy porowatości: ilość, rozmiary i wzajemne połączenia porów. Dla ilościowego ujęcia porowatości uwzględnia się stosunek objętości porów do objętości skały, lub stosunek powierzchni zajętej przez pory do powierzchni skały w określonym przekroju. Objętościowy udział porów charakteryzowany jest przez współczynnik porowatości objętościowej n, określony zależnością:

$$n = \ \ \frac{V_{p}}{V}$$

Natomiast względny udział porów w budowie skały określa wskaźnik porowatości ε:

$$\varepsilon = \ \frac{V_{p}}{V_{s}}$$

Dla powyższych wzorów:

V_p - objętość porów w probówce skalnej

V_s - objętość szkieletu skalnego próbki

V - całkowita objętość próbki

Z rozmiarami porów związana jest postać wody zawartej w skale oraz jej zdolność do poruszania się pod wpływem siły grawitacyjnej. W porach dużych (nadkapilarnych) woda występuje w postaci wolnej i może się poruszać swobodnie. W porach o mniejszych rozmiarach (kapilarnych) o przemieszczaniu się wody decydują siły wzniosu kapilarnego. W porach bardzo małych (podkapilarnych) woda pojawia się pod postacią wody fizycznie związanej i nie przemieszcza się pod działaniem siły ciężkości.

Ze względu na wzajemne połączenia pory w skałach mogą być otwarte lub zamknięte. Pory otwarte tworzą system nieregularnych kanalików umożliwiających poruszanie się wody w skale. Pory zamknięte nie łączą się ze sobą i z otoczeniem uniemożliwiając akumulację i przepuszczanie wody.

Ogólną zdolność do grawitacyjnego przepływu wody przez skałę zależącą od rozmiarów porów i udziałów porów otwartych wyraża porowatość efektywna (miarodajna). Jej miarą jest współczynnik efektywnej porowatości objętościowej n_e:

$$n_{e} = \ \frac{V_{e}}{V}$$

oraz współczynnik efektywnej porowatości powierzchniowej n_e^*:

$$n_{e}^{*} = \ \frac{F_{e}}{F}$$

Dla powyższych wzorów:

V_e - objętość porów zajętych w próbce skalnej przez wodę wolną

V - objętość próbki skalnej

F_e - sumaryczna powierzchnia przekroju porów zajętych przez wodę wolną w rozpatrywanym przekroju skały

F – powierzchnia całego przekroju skały

(Wacławski 2005)

Analiza granulometryczna polega na przesiewaniu skały sypkiej (np. piasku) przez zestaw sit o kolejno malejących wymiarach. Sita tworzą zablokowaną kolumnę z najgrubszym sitem u góry. Na górnym sicie umieszcza się wysuszoną i zważoną próbkę skały, a następnie kolumnę umieszcza się na wstrząsarce. W wyniku przesiewania następuje rozdział frakcji na poszczególnych sitach. Najdrobniejsza frakcja gromadzi się w misce na dole. Frakcje z poszczególnych sit waży się i oblicz się ich udział procentowy oraz zawartości skumulowane (sumy procentów kolejnych frakcji).

(Rogóż, 2004)

Średnica miarodajna to średnica ziaren kulistych skały fikcyjnej, idealnie jednorodnej, która wykazuje tę samą przepuszczalność co skała rzeczywista i stawia taki sam opór wodzie. Jest to Średnica ziaren, która wraz z ziarnami mniejszymi stanowi 10% ciężaru badanej próbki.

(Podstawy hydrogeologii stosowanej, 2006).

Niejednorodność uziarnienia próbki charakteryzuje wskaźnik niejednorodności uziarnienia, określony wzorem:

$$U = \frac{d_{60}}{d_{10}}$$

Gdzie:

d₆₀ - średnica ziaren, która wraz z mniejszymi stanowi 60% wagowych badanej próbki

d₁₀ - średnica ziaren, która wraz z mniejszymi stanowi 10% wagowych badanej próbki

(Rogóż, 2004)

Tabela 2. Klasyfikacja gruntów według normy PN-EN ISO 14688-1:

PN-EN ISO 14688-1
Grunty
BARDZO GRUBOZIARNISTE
GRUBOZIARNISTE
DROBNOZIARNISTE

(GEOINŻYNIERIA drogi mosty tunele 04/2006 (11) str. 50)

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie krzywej uziarnienia próbki gruntu metodą sitową oraz obliczenie współczynnika filtracji na podstawie uzyskanej krzywej uziarnienia.

1. Przebieg ćwiczenia:

Użyty sprzęt:

- zestaw sit o średnicach oczek od 6,3 do 0,071 mm

- wstrząsarka

- waga elektroniczna

- pojemnik do ważenia

Przebieg ćwiczenia:

W pierwszym kroku zważono próbkę gruntu. Masa próbki wyniosła 1196,5 g. Następnie przygotowano zestaw sit o kolejno malejących oczkach. Próbkę gruntu wysypano na górne sito, sita przeniesiono na wstrząsarkę. Po uruchomieniu wstrząsarki próbka gruntu przesiewana była przez około 5 min. Po zakończeniu przesiewania wyłączono wstrząsarkę i rozpoczęto ważenie frakcji pozostawionych na poszczególnych sitach. Wyniki, przedstawiono w tabeli 1. Pierwsza wartość oczek sitka, to średnica największego ziarna próbki, czyli najmniejszy rozmiar oczek, przez które przeszłyby wszystkie ziarna próbki.

Tabela 3. Wyniki analizy sitowej.

Oczka [mm]	Masa [g]	Masa wyrównana [g]	Procentowy udział w próbce [%]	Suma udziałów wraz z większymi [%]
>20,0	0,0	0,0	0,0	0,0
6,3-20	95,5	95,5	8,0	8,0
1,6-6,3	76,4	76,4	6,4	14,4
0,8-1,6	51,0	51,0	4,3	18,7
0,6-0,8	73,4	73,4	6,1	24,8
0,3-0,6	425,0	425,0	35,5	60,3
0,2-0,3	345,4	345,4	28,9	89,2
0,1-0,2	100,9	100,9	8,4	97,6
0,071-0,1	11,8	11,8	1,0	98,6
<0,071	17,1	17,1	1,4	100,0
	Ʃ=1196,5

Na podstawie powyższych danych sporządzono krzywą uziarnienia badanej próbki.

Wykres 1. Krzywa uziarnienia badanej próbki.

Na podstawie zebranych danych obliczono średnicę miarodajną próbki gruntu oraz nierównomierność uziarnienia w celu obliczenia współczynnika filtracji ze wzorów empirycznych. Dane zestawiono w tabeli 5.

Obliczenia:

Średnica miarodajna:$\text{\ d}_{e} = \frac{100}{\sum_{i}^{N}\frac{a_{i}}{d_{i}}}$

a_i – procentowy udział frakcji w składzie granulometrycznym

$d_{i} = \frac{d_{y} + d_{x}}{2}$ d_y i d_x - dolna i górna średnica;

Oczka [mm]	di	ai	ai/di
0-0,071	0,0355	1,4	39,4
0,071-0,1	0,0855	1,0	11,7
0,1-0,2	0,15	8,4	56,0
0,2-0,3	0,25	28,9	115,6
0,3-0,6	0,45	35,5	78,9
0,6-0,8	0,7	6,1	8,7
0,8-1,6	1,2	4,3	3,6
1,6-6,3	3,95	6,4	1,6
6,3-20	13,15	8,0	0,6
	$$\sum_{}^{}{\frac{a_{i}}{d_{i}} = 316,1}$$

d_e = $\frac{100}{316,1}$ = 0,316

Nierównomierność uziarnienia: $U = \frac{0,26}{0,2} = 1,3$

Wzór Hazena: k = 800 * 0, 316² * (0,70+0,03*10) = 79, 88

Wzór amerykański: k = 0, 36 * 0, 25^2, 3 = 0, 01484

Wzór Krügera: $k = 322*\frac{0,42}{{(1 - 0,42)}^{2}}*{0,316}^{2} = 40,1442$

Drugi wzór Slichtera: k = 496 * 0, 05789 * 0, 316² = 2, 8672

Tabela 5. Obliczenie współczynnika filtracji.

Nazwa	Wynik	Jednostka
Średnica miarodajna
d10	0,2	mm
Obliczona	0,316	mm
Nierównomierność uziarnienia	1,3
Współczynnik filtracji
Wzór Hazena	79,88	$$\frac{m}{d}$$
Wzór Krügera	40,1442	$$\frac{m}{d}$$
Wzór amerykański	0,01484	$$\frac{\text{cm}}{s}$$
Drugi wzór Slichtera	2,8672	$$\frac{m}{d}$$

1. Podsumowanie:

Na podstawie przeprowadzonego badania próbkę ziemi można według normy PN-EN ISO 14688-1 zakwalifikować jako … . Dla badanej próbki współczynnik filtracji najlepiej przybliża wzór … .