Nr Ćwiczenia	Data	Imię i Nazwisko	Wydział	Semestr	Grupa Nr lab.
Prowadzący	Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Wyznaczenie modułu Younga metodą ugięcia

1. Podstawy teoretyczne

Gdy na podłóżny pręt działa siła prostopadle do jego długości ugina on się, a wartość ugięcia jest proporcjolana do siły jaka napiera na pręt, a także zależna jest od wymiarów geometrycznych, metody zamocowania pręta i materiału z którego jest wykonany. Jest to prawo Hooke’a w odniesieniu do ugięcia. Rozpatrując bardziej szczegółowo ugięcie pręta, który jest zamocowany jednostronnie poziomi a na drugi koniec działa siła zauważamy, że górne warstwy pręta są rozciągane, dolne ściskane a w środku wykokości występuje warstwa której długość nie ulega zmianie. Przekroje prostopadłe pręta są równoległe gdy nie ma obciążenia, lecz po przyłożeniu siły tworzą pewien kąt ϕ.

Biorąc pod uwagę element pręta o długości Δx, grubości Δy i szerkości b znajdujący się w odległości x od krawędzi zamocowanej na wysokości y powyżej warstwy środkowej, na skutek ugięcia belki warstwa badana ulega wydłużeniu o yϕ, tak jakby była rozciągana przez siłę przyłożoną do przekroju powierzchni Δyb. Zgodnie z prawem Hooke’a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju.

$y\varphi = \frac{F_{n}x}{Eby}$

Gdzie E- Moduł Younga, F_n-siła rozciągająca warstwę elementarną.

Taka sama sił, przeciwnie skierowana działa na warstwę symetrycznie położoną poniżej warstwy N. Moment siły względem warstwy neutralnej N:

$$M = E\frac{\varphi}{x}\int_{- h_{2}}^{+ h_{2}}{y^{2}\text{bdy}}$$

Po wykonaniu karkołomnych obliczeń, które wymagają umiejętności nie objętych państwowym programem nauczania, dojdziemy do równania

$$S = \frac{l^{3}}{4Ebh^{3}}*F$$

Które stanowi wartość strzałki odchylenia, gdzie wszystkie wymiary są łatwe do zmierzenia.

Podczas doświadczenia używamy katetometru, urządzenia do mierzenia odchyleń prętu. Mierzymy pręt, jego wymiary w kilku miejscach i bierzemy wartość średnią. Pomiary wykonywane są dla różnych obciążeń. Można łatwo zauważyć, że wartość odchylenia jest zależnością liniową wobec obciążenia. Jej współczynnik nachylenia jest równy:

$a = \frac{l^{3}}{4Ebh^{3}}$ Lub $a = \frac{l^{3}}{12\pi Er^{4}}$

Wyniki pomiarów

Pręt aluminiowy o przekróju poprzecznym w kształcie kwadratu (7,8x7,8x648 mm):

Odchylenie [mm]	Ciężar [N]
0,5	1,89
0,96	3,74
1,02	4,71
1,48	6,54
2	8,45
2,28	9,44
2,59	11,34
3,12	13,19

Współczynnik nachylenia a wynosi 0,00229188 a współczynnik korelacji 0,99646. Niepewnośc nachylenia wynosi 7,89318*10^-5

Pręt miedziany o przekroju poprzecznym koła (r=7,9mm l=648mm)

Odchylenie [mm]	Ciężar [N]
0,11	1,89
0,69	3,74
0,97	4,71
1,55	6,54
2,01	8,45
2,31	9,44
2,83	1,134
3,3	1,319

Współczynnik nachylenia wynosi 0,00278591. Współczynnik korelacji wynosi 0,99905 a niepewność nachylenia wynosi 4,9637*10^-5

1. Obliczenia

Mając powyższe dane, możemy je zastosować we wzorach podanych w punkcie pierwszym. Wyznaczając z tych wzorów E otrzymamy postać:

$E = \frac{l^{3}}{4abh^{3}}$ oraz $E = \frac{l^{3}}{12\pi ar^{4}}$

Podstawiając wszystkie posiadane dane otrzymamy:

1. Pręt aluminiowy:

$$E = \frac{{0,648}^{3}}{4*2,29188*10^{- 4}*{(7,8{*10}^{- 3})}^{4}} = \frac{0,272097792}{3,3933626618112*10^{- 12}} = (8,0185 \pm 0,28)*10^{10}$$

1. Pręt miedziany:

$$E = \frac{{0,648}^{3}}{12*\pi*0,000278591*\left( 7,9{*10}^{- 3} \right)^{4}} = \frac{0,272097792}{1,2374\pi*10^{- 11}} = (2,1989 \pm 0,0604)*10^{10}$$

1. Dyskusja błędów

Niepewność współczynnika nachylenia została podana przy wynikach pomiarów. Wyznaczyć błąd modułu pomoże nam regresja liniowa.

Dla pręta aluminiowego:

$$\frac{E}{E} = \frac{a}{a} + 3\frac{l}{l} + \frac{b}{b} + 3\frac{h}{h} = \frac{7,89318*10^{- 5}}{0,00229188} + 3*\frac{0,001}{0,648} + \frac{0,00001}{0,0078} + 3\frac{0,00001}{0,0078}$$

$$\frac{E}{E} = 0,3443 + 0,00462 + 0,0012658 + 0,0037974683 = 0,34526854683$$

E = 0, 34526854683 * 8, 0185 * 10¹⁰ = 0, 28 * 10¹⁰

Dla pręta miedzianego:

$$\frac{E}{E} = \frac{a}{a} + 3\frac{l}{l} + 4\frac{r}{r} = \frac{4,9637*10^{- 5}}{\ 0,00278591} + 3*\frac{0,001}{0,648} + 4*\frac{0,00001}{0,0079}$$

$$\frac{E}{E} = 0,01781 + 0,00462 + 0,0050632 = 0,0274932$$

E = 0, 0274932 * 2, 1989 * 10¹⁰ = 0, 0604 * 10¹⁰

1. Wnioski.

Dyskusja błędów pokazuje jak wielkie znaczenie miały pomiary udchylenia dla danej siły, względem pomiarów długości, grubości czy promienia. Błędy tych pomiarów są spowodowane w głównej mierze błędem ludzkim, to jest niepewności podczas kalibrowania katetometru, czy nierówności materiału podczas pomiarów rozmiarów. To głównie one wpłynęły na zaburzenia wyniku.

Można również zaobserwować, że kształt wpływa na wartość odchylenia. Pręt o kolistym przekroju (co można wywnioskować ze wzoru) lepiej znosi obciążenie mniej się odkształcając.

Moduł Younga powinien zostać wyznaczony w sposób poprawny, lecz nie można wystrzedz się ewentualnych błędów (np. pomiarowych, rachunkowych).