Akademia Techniczno-Humanistyczna

Wydział: Nauk o Materiałach i Środowisku

Kierunek: Inżynieria Środowiska

Ćwiczenie nr 72

Temat: Wyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu.

Wykonały:

Agentki

Grupa nr. 107

1. Wiadomości teoretyczne.

1. Bezwzględny współczynnik załamania światła

Bezwzględny współczynnik załamania światła dany jest wzorem 

v – prędkość światła w danym ośrodku
c – prędkość światła w próżni (c = 299 792 458 m/s)
n – bezwzględny współczynnik załamania

Znajomość bezwzględnych współczynników załamania umożliwia szybkie obliczenie prędkości światła w danych ośrodku, wg wzoru:

  

Względny współczynnik załamania światła

Mając bezwzględne współczynniki załamania ośrodka z którego pada światło i ośrodka do którego załamuje się światło, można obliczyć względny współczynnik załamania (patrz prawo załamania światła):

 n_{21 =} $\frac{n_{2}}{n_{1}}$

n₁ - bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 1 (z którego wychodzi światło)

n₂ – bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 2 
(do którego przechodzi światło)

n₂₁ – współczynnik załamania (względny) ośrodka 2 względem ośrodka 1

Względny współczynnik załamania decyduje o tym jak bardzo światło ma tendencję do skręcania swego kierunku podczas przechodzenia do innego ośrodka. Inaczej mówiąc -  przy dużym względnym współczynniku załamania światło będzie się silniej załamywać.

W przypadku, gdy nie ma dokładnego stwierdzenia o jaki współczynnik chodzi, najczęściej samo wyrażenie "współczynnik załamania" należy rozumieć jako "bezwzględny współczynnik załamania".

Prawo załamania światła

Zmiana kierunku promieni świetlnych podczas załamania nie jest przypadkowa. Opisuje to prawo załamania światła nazywane niekiedy prawem Snelliusa (patrz - biografie: Snell van Royen).

Prawo załamania światła łączy ze sobą dwa kąty - kąt padania na powierzchnię rozgraniczającą dwa ośrodki i kąt załamania powstający gdy promień przejdzie granicę i zacznie się rozchodzić w drugim ośrodku (patrz rysunek niżej).

Warto zwrócić uwagę na fakt, że kąty padania i załamania są liczone od normalnej do powierzchni, a nie od samej powierzchni.

Prawo załamania – postać 1 - podstawowa

	α – kąt padania β – kąt załamania v1 – prędkość światła w ośrodku 1 v2 – prędkość światła w ośrodku 2
Słownie prawo załamania można sformułować następująco: Stosunek sinusa kąta padania, do sinusa kąta załamania jest dla danych ośrodków stały i równy stosunkowi prędkości fali w ośrodku pierwszym, do prędkości fali w ośrodku drugim. Kąty padania i załamania leżą w tej samej płaszczyźnie.

Wzór prawa załamania – postać 2    Ta wersja prawa załamania wiąże kąty padania i załamania z bezwzględnymi współczynnikami załamania w obu ośrodkach. Sformułowanie słowne: Stosunek sinusa kąta padania, do sinusa kąta załamania jest równy stosunkowi bezwzględnego współczynnika załamania ośrodka do którego przechodzi fala, do bezwzględnego współczynnika załamania ośrodka, z którego fala pada na powierzchnię rozgraniczającą oba ośrodki. Wzór prawa załamania – postać 3 Jest jeszcze trzecia postać prawa załamania. Powstaje ona po zdefiniowaniu kolejnej wielkości zwanej względnym współczynnikiem załamania:
Warto zwrócić uwagę na fakt, że względny współczynnik załamania czyta się od tyłu: – jest to współczynnik załamania ośrodka drugiego (do którego wchodzi światło) względem ośrodka pierwszego (z którego przychodzi światło). Po podstawieniu względnego współczynnika załamania do 2 postaci prawa załamania otrzymamy: Zatem:   stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest równy względnemu współczynnikowi załamania światła ośrodka do którego światło wpada względem ośrodka z którego światło wychodzi.

1. Dyspersja światła

Dyspersja to zjawisko polegające na rozszczepieniu wiązki światła składającej się z fal o różnych częstotliwościach na wyraźnie oddzielone od siebie fale. Zjawisko to obserwujemy w pryzmacie szklanym, kiedy skierujemy na niego cienką wiązkę światła słonecznego lub światła białego z żarówki. Ponieważ światło słoneczne (światło białe) jest mieszaniną wszystkich barw od fioletowej do czerwonej, to już w pryzmacie, a potem jeszcze raz po wyjściu z niego ulega ono rozszczepieniu na poszczególne barwy. Skutkiem rozszczepienia światła słonecznego w kroplach deszczu jest tęcza.

Przyczyną rozszczepienia światła jest zależność współczynnika załamania światła od częstotliwości fali świetlnej. Każdej barwie odpowiada inna częstotliwość fali, i tak światło czerwone ma częstotliwość fcz ≈ 4,3 · 10 do 14-ej Hz, , a światło fioletowe – ff ≈ 7 5 · 10 do 14-ej Hz. Częstotliwości pozostałych barw zawarte są w tym przedziale. Ponieważ każda barwa ma inną częstotliwość fali, to każda załamuje się pod innym kątem, dzięki czemu mogą się rozdzielić. Strumień światła zawierający fale o takiej samej częstotliwości nazywamy światłem monochromatycznym (jednobarwnym). Dla światła monochromatycznego zjawisko dyspersji nie występuje.

1. Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia

Zjawisko to zachodzi tylko wtedy, gdy światło przechodzi z ośrodka gęstszego do rzadszego (załamuje się od normalnej). W takim przypadku role kąta padania i kąta załamania odwracają się i dlatego:

Jeśli światło będzie padało pod kątem większym niż kąt graniczny, to nie może już wejść do drugiego ośrodka, gdyż w całości ulegnie odbiciu. Tym samym energia światła pozostanie w całości w tym samym ośrodku.

Kąt padania, dla którego kąt załamania jest prosty, to kąt graniczny (α_g).
Dla kątów większych od α_g obserwujemy ciekawe zjawisko, zwane całkowitym wewnętrznym odbiciem. Promień załamany pozostaje w ośrodku padania, tak jakby się w specyficzny sposób odbił. Jest to jednak załamanie, ale z kątem załamania większym niż 90 stopni (rozwartym).

Opisane zjawisko znalazło zastosowanie w światłowodach.

1. Konstrukcja biegu promieni świetlnych w mikroskopie.

Mikroskop jest przyrządem optycznym służącym do zwiększenia kąta widzenia przedmiotów położonych w odległości dobrego widzenia oka. Składa się on z dwóch układów zbierających – obiektywu i okularu, w których do maksimum skompensowano wpływ wad soczewek (aberracji sferycznej i chromatycznej). Bieg promieni w mikroskopie przedstawiony jest na rys.1.

Rys.1. Bieg promieni w mikroskopie.

Przedmiot OA umieszczony jest w niewielkiej odległości za ogniskiem obiektywu. Obiektyw daje obraz powiększony, odwrócony i rzeczywisty – obraz O₁A₁ jest przedmiotem dla okularu i znajduje się między ogniskiem a okularem. Obraz, jaki daje okular jest pozorny, prosty, powiększony i znajduje się w odległości dobrego widzenia od okularu. Powiększenie mikroskopu jest iloczynem powiększenia obiektywu i okularu:

W = W₁ · W₂

Powiększenie obiektywu W₁ określone jest wzorem:

gdzie:

d - odległość dobrego widzenia

f₂ – ogniskowa okularu.

Zatem:

1. Powiększenie mikroskopu

Mikroskop składa się z obiektywu, który jest soczewką o krótkiej ogniskowej , oraz okularu o ogniskowej .

Obserwowany przedmiot umieszczany jest przed obiektywem w odległości  minimalnie większej od ogniskowej obiektywu

	(1)

Obraz otrzymywany w obiektywie jest rzeczywisty, odwrócony i powiększony. Powstaje on w odległości  od okularu. Odległość  jest nieco mniejsza niż ogniskowa okularu  stąd

	(2)

Oznaczmy odległość obiektywu od okularu jako . Jest ona równa w przybliżeniu długości tubusa mikroskopu.

Obraz powstający w odległości  od okularu znajduje się w odległości

od obiektywu.

Używając przybliżenia (2) otrzymujemy

	(3)

Z (1) i (2) powiększenie obrazu rzeczywistego i odwróconego w obiektywie wynosi

	(4)

Natomiast powiększenie obrazu (prostego i pozornego) w okularze wynosi w przybliżeniu

	(5)

gdzie  jest odległością dobrego widzenia równą 25 cm. Wykorzystując zależności (4) i (5) oraz fakt, że  jest niewielkie w porównaniu z  możemy obliczyć całkowite powiększenie mikroskopu

1. Przebieg ćwiczenia

Na stoliku mikroskopu umieściłyśmy płytkę szklaną, poruszając stolikiem mikroskopu tak by obiektyw znajdował się tuż nad nią. Patrząc w okular mikroskopu dążyłyśmy do uzyskania ostrego obrazu punktu na dolnej powierzchni płytki, następnie odczytywałyśmy wskazanie X₁₁ czujnika zegarowego. Pomiar powtórzyłyśmy czterokrotnie, przy każdorazowym rozregulowaniu ostrości widzenia .Wskazania X_1i czujnika zegarowego dla wszystkich pomiarów wpisałyśmy do tabeli nr 1. Czynności opisane powyżej powtórzyłyśmy, obserwując tym razem punkt na górnej powierzchni płytki, notując wyniki w tabeli nr 1 wskazania X_2i.

Przebieg ćwiczenia dla płytki z pleksi wyglądał identycznie, z tym, że wyniki wpisywałyśmy do tabeli nr 2.

1. Obliczenia

1. Obliczenia dla płytki szklanej :

• Wartości średnie <X_1i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki szklanej

<X₁> = ∑ $\frac{X_{1i}}{5}$

<X₁> = $\frac{2,18 + 2,18 + 2,15 + 2,18 + 2,20}{5}$

<X₁> = $\frac{10,89}{5}$ = 2,18 [mm]

• Wartości średnie <X_2i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki szklanej

<X₂> = ∑ $\frac{X_{2i}}{5}$

<X₂> =$\ \frac{3,98 + 4,00 + 4,03 + 4,10 + 4,00}{5}$

<X₂> = $\frac{20,11}{5}$ = 4,02 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X1>

<S_X1> = $\sqrt{\frac{{(2,18 - 2,18)}^{2} + {(2,18 - 2,18)}^{2}{(2,18 - 2,15)}^{2} + {(2,18 - 2,18)}^{2} + {(2,18 + 2,20)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X1> = $\sqrt{\frac{0,0013}{4}} = \ $0,02 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X2>

<S_X2> = $\sqrt{\frac{{(4,02 - 3,98)}^{2} + {(4,02 - 4,00)}^{2} + {(4,02 - 4,03)}^{2} + {(4,02 - 4,10)}^{2} + {(4,02 - 4,00)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X2> =$\sqrt{\frac{{8,90\ x\ 10,00}^{- 3}}{4}\ }$ = $\sqrt{2,225\ x\ 10^{- 3}}$ = 0,06 [mm]

• Błąd bezwzględny wskazania ∆X₁

∆X₁ = $\sqrt{{\ {(S}_{X1})}^{2}\ + \ \ S^{2}}$

∆X₁ = $\sqrt{{(0,02)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = $\sqrt{5\ x\ 10^{- 4}}$ = 0,02 [mm]

• Błąd bezwzględny wskaźnika ∆X₂

∆X₂ = $\sqrt{{\ {(S}_{X2})}^{2}\ + \ \ S^{2}}$

∆X₂ = $\sqrt{{(0,06)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = $\sqrt{3,7\ x\ 10^{- 3}}$ = 0,06[mm]

• Wartość pozorna obu badanych płytek

X = |<X₁> - <X₂> |= | 2,18 – 4,02| = | -1,84| = 1,84 [mm]

• Wartość współczynnika załamania n

n = $\frac{d}{x}$

n = $\frac{2,85}{1,84}$ = 1,58 [mm]

• Błąd bezwzględny współczynnika załamania

∆n = n($\frac{d}{d} + \frac{X_{1 + X_{2}}}{x}$)

∆n = 1,58($\frac{0,01}{2,85} + \frac{0,02 + 0,06}{1,84}$) = 1,58 x 0,47 = 0,08 [mm]

1. Obliczenia dla płytki z pleksi

• Wartości średnie <X_1i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki z pleksi

<X₁> = ∑ $\frac{X_{1i}}{5}$

<X₁> = $\frac{2,56 + 2,55 + 2,56 + 2,57 + 2,55}{5}$

<X₁> = $\frac{12,79}{5}$ = 2,56 [mm]

• Wartości średnie <X_2i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki z pleksi

<X₂> = ∑ $\frac{X_{2i}}{5}$

<X₂> =$\ \frac{3,90 + 3,92 + 3,91 + 3,92 + 3,93}{5}$

<X₂> = $\frac{19,58}{5}$ = 3,92 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X1>

<S_X1> = $\sqrt{\frac{{(2,56 - 2,56)}^{2} + {(2,56 - 2,55)}^{2}{(2,56 - 2,56)}^{2} + {(2,56 - 2,57)}^{2} + {(2,56 + 2,55)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X1> = $\sqrt{\frac{3\ x\ 10^{- 4}}{4}} = \ $0,01 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X2>

<S_X2> = $\sqrt{\frac{{(3,92 - 3,90)}^{2} + {(3,92 - 3,92)}^{2} + {(3,92 - 3,91)}^{2} + {(3,92 - 3,92)}^{2} + {(3,92 - 3,91)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X2> =$\sqrt{\frac{{6\ x\ 10}^{- 4}}{4}\ }$ = $\sqrt{1,50\ x\ 10^{- 4}}$ = 0,01 [mm]

• Błąd bezwzględny wskazania ∆X₁

∆X₁ = $\sqrt{{\ {(S}_{X1})}^{2}\ + \ \ S^{2}}$

∆X₁ = $\sqrt{{(0,01)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = $\sqrt{2\ x\ 10^{- 4}}$ = 0,01 [mm]

• Błąd bezwzględny wskaźnika ∆X₂

∆X₂ = $\sqrt{{\ {(S}_{X2})}^{2}\ + \ \ S^{2}}$

∆X₂ = $\sqrt{{(0,01)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = $\sqrt{2x\ 10^{- 4}}$ = 0,01 [mm]

• Wartość pozorna obu badanych płytek

X = |<X₁> - <X₂> |= | 2,56 – 3,92| = | -1,36| = 1,36 [mm]

• Wartość współczynnika załamania n

n = $\frac{d}{x}$

n = $\frac{2,12}{1,36}$ = 1,56 [mm]

• Błąd bezwzględny współczynnika załamania

∆n = n($\frac{d}{d} + \frac{X_{1 + X_{2}}}{x}$)

∆n = 1,56($\frac{0,01}{2,12} + \frac{0,01 + 0,01}{1,36}$) = 1,56 x 0,02 = 0,04 [mm]

1. Wyniki pomiarów- tabele

Tabela nr. 1 - wyniki pomiarów dla płytki szklanej

X1i [mm]	<X1> [mm]	SX1 [mm]	∆X1 [mm]	X2i [mm]	<X2> [mm]	SX2 [mm]	∆X2 [mm]	d [mm]	∆d [mm]
2,18	2,18	0,02	0,02	3,98	4,02	0,06	0,06	2,85	0,01
2,18				4,00
2,15				4,03
2,18				4,10
2,20				4,00

Tabela nr.2 - wyniki pomiarów dla płytki z pleksi

X1i [mm]	<X1> [mm]	SX1 [mm]	∆X1 [mm]	X2i [mm]	<X2> [mm]	SX2 [mm]	∆X2 [mm]	d [mm]	∆d [mm]
2,56	2,56	0,01	0,01	3,90	3,92	0.01	0,01	2,12	0,01
2,55				3,92
2,56				3,91
2,57				3,92
2,55				3,93

Tabela nr.3 – Wartości współczynników załamania

Tworzywo płytki	d [mm]	x [mm]	n -	∆n -
szkło	2,85	1,80	1,60	0,08
pleksi	2,12	1,40	1,50	0.04