Definicje i kryteria stabilności
Niech
będzie równaniem stanu autonomicznego układu nieliniowego.
jest n w ymiarowym wektorem stanu
jest n wymiarową funkcją
nieliniową.
W przypadku
układu liniowego stacjonarnego równanie to przyjmuje postać :
jest n w ymiarowym wektorem stanu
jest macierzą o wymiarach
i stałych niezależnych od czasu elementach.
Def. Punktem równowagi układu
nazywamy
punkt
,dla którego
.
(Jeżeli punkt równowagi nie
pokrywa się z początkiem układu współrzędnych
,to
przez odpowiednią zamianę współrzędnych można sprowadzić go do
tego punktu .)
Załóżmy , że układ został
wytrącony ze stanu równowagi i w chwili początkowej
znajduje się w stanie
.
Def. Punkt równowagi
nazywamy stabilnym ( w sensie Lapunowa )
jeżeli
dla każdej liczby dodatniej
można
dobrać taką liczbę
( zależną na ogół od
)
, że trajektoria rozpoczynająca się w punkcie
, leżącym wewnątrz kuli o promieniu
,
pozostanie wewnątrz kuli o promieniu
dla dowolnej chwili
.
Def. Punkt równowagi
nazywamy stabilnym asymptotycznie , gdy
10 punkt ten jest stabilny
20
.
Def. Układ liniowy
stacjonarny
nazywamy stabilnym (stabilnym asymptotycznie ) ,jeżeli punkt
równowagi
tego układu jest stabilny ( stabilny asymptotycznie ) .
Układ liniowy stacjonarny
jest globalnie stabilny asymptotycznie
, gdzie
wartości
własne macierzy
, tzn. takie
że
.
Obliczając wyznacznik mamy
wielomian charakterystyczny
.
Zatem dla stabilności
asymptotycznej badamy położenie pierwiastków
względem osi urojonej .
Wartości własne macierzy
o ujemnych częściach rzeczywistych leżą w lewej półpłaszczyżnie
płaszczyzny zmiennej
zespolonej .
Kryterium Hurwitza
Wielomian
ma wszystkie pierwiastki w lewej części płaszczyzny zespolonej
gdy wszystkie główne
diagonalne minory
,
,
,... ,
,
tzn. aby dodatnie były minory diagonalne jego macierzy Hurwitza .
Neutralnie stabilny system automatycznego sterowania to taki system, w którym po ustaniu wymuszenia ustala się nowy stan równowagi, różny od początkowego i zależny od działającego wymuszenia.
Niech system opisany : a0x(n) + a1x(n-1) +...+ anx(1) = 0 ma jeden zerowy pierwiastek. Jest to możliwe, gdy : an = 0. Wówczas równanie charakterystyczne ma postać :
(a0λn-1 + a1λn-2 +...+ an-1)λ = 0
oznaczamy prędkość zmiennej x przez V = x’. Wówczas mamy
a0Vn-1 + a1Vn-2 +...+ an-1V = 0
a więc system okazuje się asymptotycznie stabilny względem V. Sama funkcja x(t) może przyjmować dowolne wartości. Dlatego takie systemy nazywamy stabilnymi neutralnie.