Politechnika Śląska w Gliwicach

Wydział Mechaniczny Technologiczny

Kierunek MiBM

LABORATORIUM Z MECHANIKI

Temat:

BADANIE RUCHU PŁASKIEGO CIAŁA SZTYWNEGO Z WYKORZYSTANIEM WAHADŁA MAXWELLA.

Sekcja: IV

Grupa : 3

1.Starzyk Wojciech 2.Szubielski Tomasz 3.Malik Tomasz 4.Gajek Rafał 5.Gębski Artur 6. Mazur Tomasz

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest badanie prawa zachowania energii mechanicznej w zamkniętym układzie zachowawczym na przykładzie ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim. Do tego celu wykorzystujemy wahadło Maxwella.

2. Wstęp teoretyczny.

Wahadło Maxwella to krążek K osadzony na cienkiej osi OO. Do obu końców tej osi przywiązane są dwie nici, na których zawieszone jest wahadło. Obracając krążek w palcach nawijamy nici na oba końce osi, po czym badany układ uwalniamy. Zaczyna on powoli spadać, a odwijając się z nici nabiera coraz większej prędkości liniowej i obrotowej. W najniższym położeniu krążek osiąga największą prędkość w ruchu obrotowym i ponownie zaczyna nawijać się na nici.

W zjawisku tym możemy zaobserwować zmianę energii potencjalnej Ep krążka, którą zyskał on dzięki podniesieniu na wysokość h na energię kinetyczną Ek. Z prawa zachowania energii mechanicznej w zamkniętym układzie zachowawczym wynika równość obu form energii, czyli:

Ep = Ek,

Ep - energia potencjalna układu w położeniu najwyższym,

Ek - energia kinetyczna układu w najniższym położeniu krążka.

Ponieważ krążek wykonuje jednocześnie ruch postępowy i ruch obrotowy, energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego Ekp i energii kinetycznej ruchu obrotowego Eko, skąd:

Ep = Ekp + Eko,

Ekp i Eko charakteryzują poniższe zależności:

Ekp = ½ mv²_k,

Eko = ½ Iω²_k

gdzie: m - masa całkowita układu

g - przyspieszenie ziemskie,

h - wysokość na którą zostanie podniesiona badana bryła,

vk - prędkość liniowa środka krążka osiągnięta w najniższym położeniu,

ωk - prędkość obrotowa osiągnięta w najniższym położeniu krążka.

Masę krążka K można zmieniać przez nałożenie jednego z trzech dołączonych do przyrządu pierścieni P, zmieniając w ten sposób warunki pomiaru.

Przekształcając powyższe zależności otrzymujemy:

Uwzględniając zależność pomiędzy prędkością liniową i kątową wahadła :

gdzie D - dla warunków naszego ćwiczenia określić musimy jako średnicę zewnętrzną osi mierzoną wraz z nawiniętą na nią nicią.

Otrzymujemy więc zależność na wartość momentu bezwładności wahadła w postaci:

Krążek opadając porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową równą zero. Więc jego prędkość liniowa w najniższym położeniu wynosi:

gdzie t - czas ruchu krążka pomiędzy najwyższym i najniższym jego położeniem.

Podstawiając powyższą zależność otrzymujemy zależność na moment bezwładności::

Możemy również wyznaczyć momenty bezwładności dla konkretnych brył geometrycznych. I tak moment bezwładności osi Io w kształcie pełnego walca względem osi geometrycznej przybiera postać:

gdzie: m₀ - masa osi,

d₀ - średnica zewnętrzna osi.

:

gdzie m_p - masa pierścienia

D_p średnica zewnętrzna pierścienia.

Moment bezwładności bryły sztywnej wahadła Maxwella jest sumą wyżej wymienionych momentów bezwładności:

I = I₀ + I_k + I_p

3. Opracowanie wyników pomiarów.

Obliczamy wartości momentów bezwładności.

1. Wyznaczenie teoretycznej wartości momentu It:

I = I₀ + I_k + I_{p ,}

Gdzie:

mo [kg]	mk [kg]	mp [kg]	Do [m]	Dk [m]	Dp [m]	Io *10^-7 [kgm^2]	Ik [kgm^2]	Ip [kgm^2]	It [kgm^2]
0,034	0,123	0,251	0,01	0,086	0,105	0,000000425	0,000112	0,000578	0,000691
0,034	0,123	0,39	0,01	0,086	0,105	0,000000425	0,000112	0,000898	0,001011
0,034	0,123	0,52	0,01	0,086	0,105	0,000000425	0,000112	0,001197	0,00131

2. Wyznaczona wartość momentu bezwładności :

Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki:

mp [kg]	h [m]	D [m]	m [kg]	tśr [s]	I [kgm^2]	It [kgm^2]	δ [%]
0,251	0,33	0,011	0,408	2,096	0,000794	0,000691	14,84
0,39	0,33	0,011	0,547	2,198	0,001172	0,00101	16,00
0,52	0,33	0,011	0,667	2,108	0,001312	0,00131	0,189
0,52	0,28	0,011	0,667	1,958	0,001335	0,00131	1,89
0,39	0,28	0,011	0,547	1,991	0,001132	0,00101	12,12
0,251	0,28	0,011	0,408	1,828	0,00071	0,000691	2,76

Względny błąd δ [%] w powyższej tabeli został wyznaczony z zależności:

4. Wnioski.

Ćwiczenie pozwoliło na doświadczalne wyznaczenie wartości momentu bezwładności bryły przy pomocy wahadła Maxwella. Błędy δ są, naszym zdaniem, dosyć niewielkie. Zostały zestawione, jak i reszta wyników w tabeli. Maksymalna wartość błędu wyniosła 16%.

Na dokładność pomiarów wpływają błędy pomiarów poszczególnych wielkości składowych, takich jak poszczególne masy, czy średnice.

Uwzględniona została grubość nici zawieszenia. Jest to ważny czynnik przy momencie bezwładności, ponieważ nawinięcie na oś sznurka powoduje zwiększenie średnicy zewnętrznej osi, a przecież moment bezwładności osi obliczamy ze wzoru I_o = 1/8 m_oD_o² ,co oznacza, że moment bezwładności zależy w dużej mierze od średnicy zewnętrznej osi.

Masa nici, która została pominięta, jest niewielka w porównaniu do pozostałych elementów układu, więc jej masa nie wpływa w sposób znaczący na wyniki pomiarów.

---