Wstęp teoretyczny 11

Moment siły może spowodować obrót ciała sztywnego. Korzystając z analogii do drugiej zasady dynamiki Newtona, wiemy, że siła wypadkowa związana jest z przyśpieszeniem ciała o masie m.

Zastępując teraz odpowiednie wielkości przez wielkości występujące w ruchu obrotowym otrzymujemy:
, przy czym α musi być wyrażone w mierze łukowej.

Twierdzenie Steinera dotyczy zmiany momentu bezwładności ciała sztywnego przy zmianie osi obrotu.

Jeśli moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała wynosi I0, to względem osi równoległej do danej i odległej od niej o d, moment bezwładności będzie wynosił:

gdzie m to masa ciała

Tensor momentu bezwładności - tensor drugiego rzędu opisujący wielkość fizyczną moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała

gdzie:

- moment pędu

- tensor momentu bezwładności

- prędkość kątowa

Tensor jest pojęciem matematycznym, podobnie jak wektor. Może on być swobodny lub zaczepiony.

Elipsoida bezwładności jest konstrukcją umożliwiającą wyznaczanie momentów bezwładności względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy bryły.

W dowolnym układzie współrzędnych moment bezwładności bryły charakteryzuje tensor momentu bezwładności
.

gdzie elementy D_ij są momentami dewiacyjnymi. Układ współrzędnych można dobrać w ten sposób, że momenty dewiacyjne w tym układzie będą się zerowały. Proces ten nazywa się diagonalizacją tensora. Tensor momentu bezwładności będzie miał teraz postać:

Osie takiego układu nazywamy osiami głównymi a momenty bezwładności
głównymi momentami bezwładności. Ramiona bezwładności względem poszczególnych osi definiowane są wzorami

Ramiona momentów bezwładności bryły względem osi o dowolnych kierunkach tworzą elipsoidę bezwładności, której półosie równe są a, b i c. Zatem równanie elipsoidy będzie miało postać

Dla brył o symetrii sferycznej, elipsoida będzie miała kształt sfery; W przepadku symetrii walcowej - elipsoidy obrotowej.

Wyznaczanie momentu bezwładności

Znając parametry elipsoidy bezwładności, można wyznaczyć moment bezwładności dla dowolnej osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych. W tym celu należy wyznaczyć długość odcinka łączącego początek okładu współrzędnych z powierzchnią elipsoidy w żądanym kierunku. Współrzędne punktu przecięcia osi z powierzchnią elipsoidy można wyznaczyć rozwiązując układ równań, w którym pierwszym jest równanie elipsoidy bezwładności a kolejne dwa to układ równań wyznaczający w przestrzeni prostą, będącą nową osią

Wyznaczone w ten sposób ramię bezwładności d umożliwia obliczenie momentu bezwładności względem nowej osi

Wahadłem fizycznym jest każda bryła sztywna o masie m zawieszona w punkcie O znajdującym się powyżej jej środka ciężkości. Takie zawieszenie umożliwia jego ruch w polu grawitacyjnym. Po wychyleniu bryły z położenia równowagi o kąt  pojawia się różny od zera moment siły F wymuszający drganie obrotowe ciała wokół poziomej osi.

Różniczkowe równanie ruchu dla wahadła fizycznego możemy zapisać w postaci

gdzie: J - moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,

θ - kąt o jaki wychyli się wahadło.

Jeżeli założymy, że wahadło porusza się ruchem płaskim, to równanie we współrzędnych biegunowych (gdzie biegunem jest punkt zaczepienia wahadła) możemy zapisać tym samym wzorem przyjmując, że

M=-mgdsinθ gdzie d- odległość środka masy od osi obrotu

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

g - przyśpieszenie ziemskie,

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

m - masa ciała.

Wahadło torsyjne jest to oscylator harmoniczny, w którym jednak sprężystość nie jest związana ze ściskaniem i rozciąganiem sprężyny, lecz ze skręcaniem zamocowanego na jednym końcu cienkiego pręta. Jeżeli zawieszony pręt obrócimy i puścimy to zacznie on drgać wokół położenia spoczynkowego, wykonując ruch harmoniczny. Obrót krążka o kąt θ w dowolnym kierunku powoduje powstanie momentu siły przywracającego stan równowagi, danego wzorem

M=-κθ

κ-moment kierujący(zależy od długości, średnicy i materiału z jakiego wykonano drut.

Okres drgań wahadła obliczamy tak jak w ruchu harmonicznym zmieniając odpowiednie wielkości fizyczne k czyli współczynnik sprężystości na κ oraz masę m na moment bezwładności I.

---