Ćwiczenia # 2

1. Podaj przykład ilustrujący równoważność: ¬(∀y Q(y)) ⇔ ∃y [¬Q(y)]

¬(∃y Q(y)) ⇔ ∀y [¬Q(y)]

2. Czy zdania te są prawdziwe: ∀y > 0 ∀y < 0 ∃z∈R [y < z < y] ;

∃x∈R ∀y∈R [x < y] ; ∀y∈R [2y > y]

3. Sprawdź prawdziwość:

∀x∈R ∃!z∈R ∀y∈R [x + y = z] , ∃!x∈R ∀y∈R [x*y = 0] ,

∀y∈R∃!x∈R [x*y = 0]

¬∀x P(x) ⇒ ∃ x P(x) , ∃ x P(x) ⇒ ¬∀x P(x) , ¬∃ x P(x) ⇒ ∀x P(x)

∀x∈{1,2,3} [P(x) ∧ Q(x)] ⇔ (∀x∈{1,2,3} P(x) ∧ ∀x∈{1,2,3} Q(x))

∃x∈{1,2,3} [P(x) ∧ Q(x)] ⇔ (∃x∈{1,2,3} P(x) ∧ ∃x∈{1,2,3} Q(x))

4. Zapisz z pomocą kwantyfikatorów: n*n = 25 , X + 0 = X , x = 3

5. Sprawdź równoważności: (p ⇒ ¬p) ∧ (¬p ⇒ p) ⇔ 0 ,

(q ⇒ p) ∧ (¬p ⇒ q) ∧ (q ⇒ q) ⇔ p ∨ ¬q

6. Podaj przykład ilustrujący równoważność: ¬(∃y Q(y)) ⇔ ∀y [¬Q(y)]

¬(∃x ∀y [y > x]) ⇔ ∀x∃y [y ≤ x]

7. Wykaż, że wśród dowolnych trzech liczb całkowitych muszą być dwie takie, których suma jest parzysta.

8. Przedstaw liczbę n = 29529 w postaci iloczynu liczb pierwszych.

9. Wyznacz NWD i NWW dla dwóch liczb: 448 i 721.

10. Wyznacz zbiór: {0,1,2,3} ⊕ {2,3,4,5,6}

11. Wyznacz NWD (52,12) i NWW (52,12)

12. Sprawdź, czy następujące wyrażenie jest tautologią:

(q ⇒ p) ⇔ (¬p ⇒ ¬q), ¬ (q ⇒ p) ⇔ (¬p ⇒ ¬q) ,

((p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r)) ⇒ (p ∨ q) , ((p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r)) ⇒ (p ∨ q)

((p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r)) ⇒ (p ∨ q) , (p ∨ r) ⇒ ((p ∨ q)∧ (q ∨ ¬r)),

((p ∧ r) ∨ (q ∧ ¬r)) ⇒ (p ∧ q) , (p ∧ q) ⇒ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ ¬r)),

(¬a ∨ b) ∧ (¬b ∨ c) ⇒ (¬c ∧ a) ⇔ b , ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇔ (¬p ∨ q)

13. Wykaż następujące równoważności: p ⇒ (q ⇒ r) ⇔ (p ∧ q) ⇒ r

¬(p ∧ r) ⇔ ¬p ∨ ¬q , p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ,

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) , (p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q) ⇔ ¬q ∨ p

14. Niech A = {1,2,3,4,8,16}, B = {2,4,6,8,10} ` C = {1,3,7,15}.

Wyznacz: B ∪ (C ∩ B) , (B ∪ A) ∩ (A ∪ C) , C \ (B \ A)

---