Ćwiczenia # 3

n-1

1. Wykaż, że C²_n = Σ i = (n² - n)/2

i=1

2. Dany jest zbiór {1,2,3,…,500}. Ile w tym zbiorze jest liczb podzielnych przez 4 lub 6 i niepodzielnych przez 7.

3. Dany jest zbiór {1,2,3,…,400}. Ile w tym zbiorze jest liczb podzielnych przez 4 lub 5 i niepodzielnych przez 6.

4. Dany jest zbiór 30-cio elementowy. Ile sekwencji 5-cio elementowych (nie zawierających tych samych liczb) można utworzyć z elementów tego zbioru? Ile podzbiorów 5-cio elementowych można utworzyć z elementów tego zbioru?

5. Dany jest zbiór 20-cio elementowy. Ile sekwencji 4-o elementowych (nie zawierających tych samych liczb) można utworzyć z elementów tego zbioru? Ile podzbiorów 5-o elementowych można utworzyć z elementów tego zbioru?

6. Ile różnych sekwencji można wyrzucić rzucając kostką 6 razy po rząd?

7. Dany jest zbiór {a,b,c,d}. Wypisz wszystkie sekwencje odpowiadające: V³₄ oraz wszystkie podzbiory odpowiadające C²₄.

8. 
   Czy zależność ta jest prawdziwa n n

+ = 2

1 n-1

9. Dany jest zbiór {a,b,c,d}. Wypisz wszystkie sekwencje odpowiadające: V²₄ oraz wszystkie podzbiory odpowiadające C³₄.

4 4

10. Oblicz: Σ =

i =0 i

11. Oblicz:MAX{3,NWW(5,9), NWD(5,9),[MOD(4,DIV(10,3))]} =

12. Oblicz: MIN{3,2,[MOD(4,MOD(10,3))]} =

13. Podaj kwantyfikatory, dla których wyrażenie to jest prawdziwe: ____x∈U' ____y∈U” [2y > y]

14. Niech U' = {1,2,3} , U” = {3,5,6,7} sprawdź prawdziwość: ∀x∈U' ∃y∈U” [y > x]

15. Każdy pies ma ogon.

Rex jest psem.

Czy Rex ma ogon?

Wykaż, że Rex ma ogon.

16. Każde dziecko ma matkę.

Jacek jest dzieckiem.

Czy Jacek ma matkę?

Czy Jacek ma matkę?

17. Podaj dziedzinę D do której muszą należeć x i y aby poniższa zależność była prawdziwa:

 x + y ≠ x + y

18. Podaj dziedzinę D do której muszą należeć x i y aby poniższa zależność była prawdziwa:

x + y = x + y

19. Podaj kwantyfikatory, dla których wyrażenie to jest prawdziwe:

____x∈U' ____y∈U” [2x > y]

20. Niech U' = {1,2,3} , U” = {3,5,6,7} sprawdź prawdziwość:

∃x∈U' ∀y∈U” [y = x]

21. Podaj przykład, że równość nx = n x, gdzie n jest liczbą naturalna, nie zawsze jest spełniona. Podaj warunek konieczny i dostateczny na to, aby ta równość zachodziła. Podpowiedź. Warunek powinien zawierać część ułamkową {x}.

22. Podaj przykład ilustrujący równoważność: ¬(∀y Q(y)) ⇔ ∃y [¬Q(y)]

¬(∃y Q(y)) ⇔ ∀y [¬Q(y)]

23. Stosując zasadę gołębnika uzasadnij, że wśród dowolnych 5 punktów, umieszczonych w polu trójkąta równobocznego o boku 1 , zawsze można znaleźć 2 punkty, które są oddalone od siebie o nie więcej niż ½.

---