LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

Ćwiczenie 2

Modelowanie układów dynamicznych w środowisku MATLAB - SIMULINK

Badany układ

Dany jest układ o transmitancji:

(współczynniki: wzmocnienia k, tłumienia ξ oraz stała czasowa T mają tu konkretną interpretację fizyczną).

Transmitancję tę możemy przedstawić również w postaci:

bądź też w postaci zero - biegunowej:

gdzie p₁ i p₂ są biegunami transmitancji.

Układ ten można także opisać w przestrzeni stanów (opis wektorowo - macierzowy):

Modelowanie układu

Badany układ należy zamodelować w środowisku SIMULINK.

SIMULINK jest interaktywnym pakietem zintegrowanym z MATLABem, przeznaczonym do modelowania, symulacji i analizy układów. Definiowanie modelu wykonuje się w postaci schematu blokowego (graficznie). Schemat tworzy się z bloków pochodzących z bibliotek SIMULINKA.

Model analogowy (otrzymany na podstawie równań stanu i wyjścia) badanego układu przedstawiono na rys. 1.

Rys. 1

Do zamodelowania układu wykorzystano następujące bloki:

- Integrator z biblioteki Continuous

- Gain, Sum z biblioteki Math Operations,

- Mux z biblioteki Signal Routing,

- Step z biblioteki Sources,

- Scope, To Workspace, Out z biblioteki Sinks.

Badany układ (rys. 2),

Rys. 2

można również zamodelować przy użyciu opisu: wektorowo - macierzowego oraz dwóch postaci transmitancji, wykorzystując odpowiednie bloki biblioteki Continuous SIMULINKA:

- blok State-Space model układu opisanego w przestrzeni stanów,

- blok Transfer Fcn model układu opisanego transmitancją Laplace'a,

- blok Zero-Pole model układu opisanego transmitancją w postaci

zero - biegunowej.

Budując modele należy wprowadzić parametry poszczególnych bloków:

- w bloku Step (generator skoku jednostkowego) ustawić czas wystąpienia

skoku (Step time), wartość sygnału przed skokiem (Initial value) oraz wartość

sygnału po skoku (Final Value),

- w sumatorze (blok Sum) ustawić właściwe znaki,

- w bloku Transfer Fcn (model układu opisanego transmitancją) wprowadzić

wektory współczynników wielomianów licznika i mianownika transmitancji,

- w bloku Zero-Pole (model opisany transmitancją w postaci zero-biegunowej)

wprowadzić wektory zer i biegunów transmitancji oraz wartość
,

- w bloku State-Space - macierze A, B, C, D oraz wektor warunków

początkowych (Initial condition)

Blok Scope służy do zobrazowania symulowanych przebiegów, blok

To Workspace do wyprowadzenia interesujących nas wartości do przestrzeni roboczej MATLABA (i zapamiętanie ich w postaci macierzy). W bloku To Workspace jako format wyprowadzanych wartości (Save format) należy przyjąć Array, należy również nadać nazwę macierzy (Variable name)

Ustawienie parametrów symulacji

Przed rozpoczęciem symulacji należy ustawić parametry symulacji

(Simulation / Configuration Parameters):

Solver

Simulation time - ustawienie czasu symulacji:

Start time (0), Stop time (żądany czas symulacji );

Solver options

Type - pozwala wybrać metodę numeryczną:

zmiennokrokową (Variable-step - zalecana jest metoda

ode45 (Dormand- Prince)) lub

stałokrokową (Fixed-step - zalecana metoda, to ode5 (Dormand-

Prince));

Relative tolerance - zaleca się ustawić wartość 1e-6;

step size - należy ustawić wartość kroku;

Data Import/Export

Save to workspace

Time - należy zaznaczyć tę opcję i ewentualnie zmienić nazwę wektora czasu

(wstępnie przyjęto: tout);

Output - należy zaznaczyć tę opcję i ewentualnie zmienić nazwę macierzy

wyjściowej (wstępnie przyjęto: yout);

Save options

Format - jako format danych należy ustawić Array.

Zadanie laboratoryjne

Dla danych wartości: k, T i ξ :

1/ wyznaczyć:

- współczynniki: b₀, a₀, a₁,

- macierze: A, B, C, D,

- bieguny: p₁, p₂

2/ stosując pakiet SIMULINK zbudować modele badanego układu:

a/ model analogowy - wykorzystując elementy podstawowe:

integrator (blok Integrator), sumator, wzmacniacz (blok Gain),

b/ model odpowiadający opisowi w przestrzeni stanów

(blok State - Space),

c/ model transmitancyjny w dwóch postaciach:

- transmitancji Laplace'a (wykorzystać blok Transfer Fcn),

- transmitancji w postaci zero - biegunowej (blok Zero - Pole)

3/ podać na wejście układu sygnał skokowy (blok Step)

4/ zarejestrować sygnał wejściowy i odpowiedź skokową układu we

wszystkich czterech modelach układu (blok Scope),

4.1/ narysować na wspólnym wykresie sygnał wejściowy oraz odpowiedzi

otrzymane w wyniku symulacji (funkcja plot), wykorzystując dane

zapisane w przestrzeni roboczej MATLABa (blok To Workspace,

lub Out)

6/ zbadać wpływ współczynnika tłumienia ξ na charakter odpowiedzi

skokowej, zarejestrować odpowiedź skokową dla czterech wartości

współczynnika tłumienia:

ξ=0.1 ξ=0.3 ξ=0.6 ξ=1.2

7/ zbadać wpływ stałej czasowej T na charakter odpowiedzi skokowej,

zarejestrować odpowiedź skokową dla czterech wartości stałej

czasowej T:

T=0.2 T=0.4 T=0.7 T=1.5

Sprawozdanie

W sprawozdaniu należy zamieścić:

1. Dane.

2. Obliczenia parametrów modelu (pkt. 1).

3. Wykres sygnału wejściowego i odpowiedzi skokowych (pkt. 4 zadania

laboratoryjnego).

4. Wspólny wykres (funkcja plot) sygnału wejściowego oraz odpowiedzi

otrzymanych w wyniku symulacji (punkt 6 zadania laboratoryjnego).

5. Wspólny wykres (funkcja plot) sygnału wejściowego oraz odpowiedzi

otrzymanych w wyniku symulacji (punkt 7 zadania laboratoryjnego)

6. Przeanalizować otrzymane wyniki (wpływ współczynnika tłumienia

i stałej czasowej na charakter odpowiedzi skokowej).

1

sygnał wejściowy

Układ

sygnał wyjściowy

---