WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Jest to druga metoda wnioskowania statystycznego.

Hipoteza statystyczna - jest to jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące rozkładu zbiorowości statystycznej.

Dokonując weryfikacji postawionej hipotezy rozstrzygamy o jej słuszności. Weryfikacja hipotez odbywa się przy wykorzystaniu testów statystycznych, które określa się jako testy istotności. Sprawdzanie słuszności postawionej hipotezy odbywa się przy założonym z góry prawdopodobieństwie popełnienia błędu, określa się je mianem poziomu istotności i oznacza przez α. Przyjmuje się, że α jest to prawdopodobieństwo nie większe od 0,10.

Algorytm postępowania przy weryfikacji hipotez:

1. Formalne i merytoryczne sformułowanie hipotez

Na tym etapie stawiamy dwie hipotezy, a mianowicie:

H₀ - hipoteza zerowa czyli hipoteza której słuszność sprawdzamy, przyjmuje ona zawsze postać równości (np. H₀: E(x) = 150

H₁ - hipoteza alternatywna która jest konkurencyjna w stosunku do hipotezy zerowej, może ona mieć jedną z trzech postaci:

H₁: E(x) ≠150

H₁: E(x) >150

H₁: E(x) <150

Stawiając tę hipotezę wybieramy oczywiście jedną z tych trzech postaci tej hipotezy.

2. Zakładamy poziom istotności przy którym weryfikujemy hipotezę zerową H₀.

3. Ze zbiorowości losujemy próbę (może to być próba duża n>30, bądź mała n≤30) i dla tej próby ustalamy potrzebne parametry statystyczne (to jakie parametry liczymy zależy od testu który stosujemy, czyli od tego jaką hipotezę weryfikujemy)

4. Na podstawie wyników uzyskanych z próby liczymy tzw. statystykę empiryczną t_emp

5. Z odpowiednich tablic odczytujemy statystykę teoretyczną t_teor

6. Porównujemy obie statystyki tzn t_emp z t_teor . Na podstawie porównania podejmujemy decyzję bądź o słuszności hipotezy zerowej bądź o konieczności odrzucenia H₀ i przyjęcia w jej miejsce hipotezy alternatywnej.

Z reguły porównując obie statystyki rozrysowuje się tzw. obszar krytyczny. Można jednak dokonać porównania bez rozrysowywania obszaru krytycznego (jest to uproszczony sposób podejmowania decyzji przy weryfikacji)

Jeżeli: |t_emp|≥t_teor - odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy alternatywną

Jeżeli : |t_emp|< t_teor - stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Ta procedura ma zastosowanie do wszystkich rodzajów testów istotności, zawsze weryfikując hipotezę trzymamy się tej procedury.

Weryfikacja dla średniej arytmetycznej (wartości przeciętnej)

Procedura:

1. Formalne i merytoryczne sformułowanie hipotez

Na tym etapie stawiamy dwie hipotezy, a mianowicie:

H₀: E(x) = 150

H₁: E(x) ≠150

H₁: E(x) >150

H₁: E(x) <150

Stawiając tę hipotezę wybieramy oczywiście jedną z tych trzech postaci tej hipotezy.

Np.

H₀: E(x) = 150

H₁: E(x) ≠150

Czyli hipoteza zerowa zakłada że średnia wartość w całej zbiorowości wynosi 150, a hipoteza alternatywna zakłada, że jest ona różna od 150

2. Zakładamy poziom istotności przy którym weryfikujemy hipotezę zerową H₀.

Np. α = 0,10

3. Ze zbiorowości losujemy próbę (może to być próba duża n>30, bądź mała n≤30) i dla tej próby ustalamy potrzebne parametry statystyczne - przy weryfikacji hipotezy dla średniej arytmetycznej musimy policzyć ale próby średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe

4. Na podstawie wyników uzyskanych z próby liczymy tzw. statystykę empiryczną t_emp

Dla dużej próby (n>30)

Dla małej próby (n≤30)

5. Z odpowiednich tablic odczytujemy statystykę teoretyczną t_teor

Sposób odczytu zależy oczywiście od liczebności próby a dodatkowo od postaci hipotezy alternatywnej.

Dla dużej próby posługujemy się tablicami dystrybuanty rozkładu normalnego. Dczytujemy w następujący sposób:

H₁: ≠ dla takiej postaci H₁ odczytujemy 1- α/2 (czyli jeden minus poziom istotności podzielony przez 2)

H₁: > Dla tych postaci sposób odczytu jest taki sam odczytujemy dla 1 - α

H₁: <

Dla małej próby (n≤30) odczytujemy z tablic rozkładu studenta, sposób odczytu następujący:

H₁: ≠ dla takiej postaci H₁ odczytujemy dla k=n-1 oraz α

H₁: > Dla tych postaci sposób odczytu jest taki sam odczytujemy dla k= n-1 oraz 2*α

H₁: <

6. Porównujemy obie statystyki tzn t_emp z t_teor . Na podstawie porównania podejmujemy decyzję bądź o słuszności hipotezy zerowej bądź o konieczności odrzucenia H₀ i przyjęcia w jej miejsce hipotezy alternatywnej.

Z reguły porównując obie statystyki rozrysowuje się tzw. obszar krytyczny. Można jednak dokonać porównania bez rozrysowywania obszaru krytycznego (jest to uproszczony sposób podejmowania decyzji przy weryfikacji)

Jeżeli: H₁ ma postać ≠ to :

|t_emp|≥t_teor - odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy alternatywną

|t_emp|< t_teor - stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Jeżeli H₁ ma postać >

t_emp≥ t_teor to odrzucamy H₀

t_emp< t_{teor brak} podstaw do odrzucenia H₀

Jeżeli H₁ ma postać <

t_emp≤ - t_teor to odrzucamy H₀

t_emp> - t_{teor brak} podstaw do odrzucenia H₀

Przykład 1

Dokonując analizy przestępczości nieletnich dla wylosowanej próby zgromadzono m.in. informacje dotyczące wieku. Uzyskano następujące wyniki (wiek w latach): 17; 16; 18; 15; 17; 19; 16; 15; 17; 14; 13; 15; 16; 14; 18.

Zakładając, że rozkład wieku nieletnich przestępców ma charakter rozkładu normalnego przy poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę iż średni wiek dla całej populacji jest równy 17 lat.

Czyli mamy małą próbę n=15.

Stawiamy hipotezy:

H₀: E(x) = 17

H₁: E(x) ≠17

W treści mamy podany poziom istotności α=0,01

Mamy pobraną małą próbę dla której musimy policzyć średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe.

Xi	Xi - śred	()^2
17	1	1
16	0	0
18	2	4
15	-1	1
17	1	1
19	3	9
16	0	0
15	-1	1
17	1	1
14	-2	4
13	-3	9
15	-1	1
16	0	0
14	-2	4
18	2	4
Suma = 240		Suma = 40

Średnia arytmetyczna: 240/15 = 16 lat

S(x) = 1,63 lat

Mając średnią i odchylenie standardowe liczymy statystykę empiryczną:

= -0,61*3,74 = -2,28

Teraz musimy odczytać statystykę teoretyczną, jest to mała próba czyli tablice rozkałdu studenta

Hipoteza alternatywna ma znak ≠więc odczytamy dla: K= n-1 oraz α

Czyli do odczytu: k= 15-1 =14 oraz α=0,01

Z tablic studenta (sposób odczytu jak przy estymacji) odczytujemy statytyke teoretyczną:

T_teor = 2,9768

Porównujemy teraz obie statystyki

|t _emp|< t_teor bo |-2,28|< 2,9768

2,28 < 2,9768

Czyli: Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli przy poziomie istotności 0,01 można twierdzić, że średni wiek nieletnich przestępców wynosi 17 lat.

PRZYKŁAD 2

Zebrano informacje dla grupy 400 kierowców którzy w okresie ostatnich 8 lat na terenie miasta Wałbrzych spowodowali wypadek drogowy znajdując się pod wpływem alkoholu o poziomie alkoholu we krwi (w promilach). Uzyskano średnią arytmetyczną równą 1,8 promila z odchyleniem standardowym S(x) = 0,48 promila. Zakładając, ze badana zbiorowość ma charakter rozkładu normalnego przy poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, ze średnie stężenie alkoholu we krwi w całej populacji jest większe od 2,3 promila.

Stawiamy hipotezy:

H₀: E(x) = 2,3 promila

H₁: E(x) > 2,3 promila

Poziom istotności mamy już podany w treści: α = 0,05

Z populacji pobrano dużą próbę n = 400 i mamy już dla próby policzoną średnią 1,8 promila i S(X)= 0,48 promila

Liczymy statystykę empiryczną:

Teraz z tablic odczytujemy statystykę teoretyczną - duża próba więc posługujemy się tablicami rozkładu normalnego. Hipoteza alternatywna ma postać H₁: E(x) > 2,3 promila więc odczytamy dla 1-α,

1-α = 1- 0,05 = 0,95 - tej warości szukamy w środkowej części tablic

Stąd t_teor = 1,65

Porównujemy obie statystyki:

t_emp < t _teor bo -20,83 <1,65

Czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli przy poziomie istotności 0,05 można twierdzić że średnie stężenie alkoholu we krwi w całej populacji wynosi 2,3 promila,

---