ZMIENNA LOSOWA, ROZKŁAD NORMALNY

1. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać:

X	( - , -1)	< - 1, 3)	< 3, 7)	< 7, 10)	< 10, 15)	< 15, + )
Fn (x)	0	0,10	0,35	0,65	0,85	1

1. Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.

2. Oblicz i zaznacz na wykresie dystrybuanty P(-1 < X < 7).

3. Oblicz E(X) oraz D(X).

2. Zmienna losowa X charakteryzuje się rozkładem prawdopodobieństwa postaci:

Xi	-2	-1	0	1	2
pi (x)	0,15	0,25	0,35	0,2	0,05

Na podstawie powyższych danych:

a) wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X oraz dystrybuantę tej zmiennej.

b) wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = X² oraz jej wartość oczekiwaną. .

3. Działalność firmy spedycyjnej “Flying coffin” jest nieustannym pasmem sukcesów. - na 100 samolotów 40 nie ląduje. Aktualnie w powietrzu znajduje się pięć samolotów tej firmy. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa nie wylądują. Podaj oczekiwaną liczbę samolotów, które nie wylądują.

4. Na podstawie badań przeprowadzonych przez pewną firmę ubezpieczeniową stwierdzono, że w ciągu roku 30% ubezpieczanych mieszkań staje się obiektem kradzieży. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród 9 ubezpieczonych mieszkań:

a) więcej niż 1 mieszkanie będzie okradzione;

b) co najmniej 4 mieszkania będzie okradzione.

5. Wiadomo, że na skutek błędów natury technologicznej w każdych 10 ze 100 opakowań kotletów homogenizowanych znajdują się wióry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w żadnym z 5 badanych opakowań nie będzie wiór?

6. Kontrola jakości w pewnym przedsiębiorstwie przeprowadziła badanie 6 partii towaru. Wiadomo, że na każde 100 partii towaru przynajmniej 20 jest odrzucane z powodu niespełnienia normy ISO 14758. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia co najmniej 5 partii?

7. Czas oczekiwania w godzinach szczytu na autobus linii 505 jest rozkładem normalnym o parametrach N(10;3) min.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany podróżny będzie czekał krócej niż 3 min?

2. Czy prawdą jest, że 84,26% podróżnych czeka na ten autobus od 7 do 13 minut?

8. Połowa mieszkańców Europy ma iloraz inteligencji (IQ) mieszczący się w przedziale [80, 120]. Zakładając, że rozkład IQ jest normalny z wartością oczekiwaną 100 należy wyznaczyć i zinterpretować: a) wariancję rozkładu, b) I kwartyl (można go wyznaczyć bez obliczeń).

9. Czas oczekiwania na połączenie z Działem Reklamacji Telefonicznej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym równym 0,5 min.

a) ile wynosi przeciętny czas oczekiwania na połączenie, jeżeli 83.4% osób stwierdza, iż czeka krócej niż 2.5 min?

b) ile co najwyżej min. czekają na połączenie osoby należące do 11.9% osób oczekujących najkrócej?

10. Waga kawy “Dobra kawa” sprzedawanej w słoiczkach na których etykieta wskazuje wagę 100g., ma rozkład normalny N(100g; 5g).

a) Obliczyć prawdopodobieństwo kupienia słoiczka kawy o wadze większej niż 110 g,

b) Jaki procent kupujących otrzyma mniejszą ilość kawy niż jest deklarowana na etykiecie?

c) Narysować badany rozkład i zaznaczyć na nim wyniki z punktu a i b.

11. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5,2), zmienna losowa Y zaś ma rozkład normalny o parametrach N(4,1). Nie wykonując żadnych obliczeń odpowiedz na pytanie, co jest bardziej prawdopodobne: 3 < X < 7 czy 2,5 < Y < 5,5. Przedstaw graficznie powyższe funkcje gęstości oraz zaznacz na wykresie powyższe warunki.

12. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(20; 5).

a) Przedstaw graficznie funkcję gęstości tej zmiennej,

2. Sprawdź czy zachodzi nierówność: P( 15 < x < 25)

--------------------------- > 1

P( 19 < x < 21)

13. Zmienna losowa X ma rozkład N(5,2), zaś zmienna Y - rozkład N(3,1). Proszę wyznaczyć prawdopodobieństwo, że zmienna Z = X + Y przyjmie wartość większą niż 5.

14. Wiadomo, że długość dróg utwardzanych na wyspach Mikronezji ma rozkład normalny. Średnio na wyspach utwardzono 75m. Wiadomo, że 15,87% wysp posiada powyżej 85m takich dróg. Proszę podać wartość brakującego parametru rozkładu.

15. Na uniwersytecie w Brząsku rozpisano konkurs na stypendia naukowe, które może otrzymać co najwyżej 2,5% studentów - kandydatów. Kryterium otrzymania tego stypendium jest jak najwyższy iloraz inteligencji (IQ). Jaki iloraz powinien posiadać kandydat, aby uzyskać stypendium, jeżeli rozkład IQ w zbiorowości wszystkich kandydatów jest N(110; 20)?

16. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach X: N(10, 2). Naszkicować wykres funkcji gęstości dla powyższej zmiennej. Zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości: a)P(X < m+ σ);

b) P (X>m +2σ); c) P(X< m+ 2σ); d) P(m - 3σ < X < m + 3σ); e) P(X< m -σ) ; f)P(X> m+σ).

17. Rozkład długości stóp chłopców w szkole średniej jest normalny, określony parametrami 30 cm i 1,5 cm. Jakie informacje wynikają z tego faktu dla firmy Nike (z badań rynku wynika, ze obuwie tej firmy chłopcy ze szkół średnich kupowaliby najczęściej)?. Jaki procent partii obuwia kierowanej do sklepików przy szkołach średnich pasuje dla stóp: a) dłuższych od 27 cm; b) nie dłuższych od 33 cm; c) mających długość między 27 a 33 cm. Podać graficzną ilustrację każdej odpowiedzi.

18. W banku handlowym wysokość rocznych kredytów udzielanych drobnym inwestorom można opisać krzywą normalną. Wiadomo, że 20% kredytów nie przekraczało kwoty 10 tys. zł, a następne 20% zawierało się w granicach 10-14 tys. zł.

a) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wysokość udzielanego kredytu przekroczy 30 tys. zł?

b) jaka jest dolna granica 25% kredytów najwyższych?

19. Czas poświęcany dziennie na oglądanie telewizji dla 20% posiadaczy dekodera typu „D” wynosi ponad 2 godziny, a dla 44% poniżej 1,5 godziny. Zakładając, że czas spędzany przed telewizorem jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany posiadacz dekodera wspomnianego typu będzie oglądać telewizję dłużej niż 45 minut.

20. Żywotność pewnej golarki elektrycznej (X) marki Bez zadrapań ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną wynoszącą 5 lat i odchyleniem standardowym 6 miesięcy. Wiedząc, że żywotność golarki innego typu (Y) marki Zawsze gładko charakteryzuje się również rozkładem normalnym

N(4, 1,2) roku, oblicz prawdopodobieństwo, że zmienna Z = X-Y przyjmie wartość większą niż 2,3.

1) a.P(-1<X<7)=0,25; c.E(X)=7,1; D(x)=4,36. 2) a.E(X)= -0,25; b.E(Y)=1,25. 3)0,663; E(X)=2. 4)a0,804; b.0,2704. 5) 0,59. 6) 0,00166. 7) a. 0,01017; b. 0,6826. 8) σ²=891,02; Q₁ =80. 9) a.m=2,015; b.1,425min. 10) a. 0,0227; b.50%. 11) P(X)<P(Y). 12) tak. 13) 0,90988. 14) σ=10. 15)149,2. 17)a.97,72%; b.97,72%; c. 95,45%. 18) m=15,72; σ=6,79. 19) m=1,57; σ=0,505; 0,95. 20. 0,1587.

1

---