Układ liniowo- sprężysty(układy Clapeyrona) -jeżeli przemieszczenie D dowolnego punktu układu wywołane zrównoważonym działaniem sił zewnętrznych P1,P2..Pn można wyrazić jako liniową funkcję tych sił: D=d1P1+d2P2+..dnPn gdzie d1,d2,dn - liczby wpływowe przemieszczeń sprężystych
Liczby wpływowe określają wpływ jaki wywiera odpowiednia siła na przemieszczenie sprężyste D. Wartości ich są zależne od kształtu i rozmiarów układu ,od miejsca działania sił od własności sprężystych materiału a nie zależą od wartości sił.
Siła uogólniona -siła rozłożona powierzchniowo lub liniowo w sposób ciągły lub para sił określona jako moment
Jeżeli punkt A przyłożenia siły P przesunął się w nowe położenie A' to do obliczenia pracy tej siły należy jej wartość pomnożyć przez u, rzut całkowitego przemieszczenia na kierunek działania siły. Rzut ten nazywa się przemieszczeniem odpowiadającym sile skupionej P.
Jeżeli siłą uogólnioną jest para sił o momencie M, to uogólnionym odpowiadającym przemieszczeniem jest obrót o kąt φ względem osi o kierunku wektora momentu
Układ rzeczywisty można uważać za liniowo sprężysty jeżeli spełnione są warunki: materiał jest liniowo-sprężysty ,układ jest w równowadze ,brak tarcia na powierzchniach styku wzajemnie uruchomionych części układu, przemieszczenia są na tyle małe że nie wpływają w sposób istotny na skutki działania sił
Energia sprężysta układu Clapeyrona -Dla ciała sprężystego pozostającego pod działaniem sił zewnęcznych energia sprężysta jest równa pracy tych sił. W celu obliczenia pracy należy założyć że praca obciążenia odbywa się quasi -statycznie Praca wszystkich sił obciążonych wynosi: L= ½ ΣPi ui
Energia sprężysta układu liniowo -sprężystego będącego w równowadze jest równa połowie sumy iloczynów sił zewnęcznych i odpowiadających im przemieszczeń.
W celu wyrażenia energii sprężystej przez siły korzystamy z zależności ui=ΣδikPk wówczas V=L= ½ ΣΣ δikPk Pk Energia sprężysta może być wyrażona jako jednorodna kwadratowa funkcja obciążeń . Dla wyrażenia energii sprężystej przez przemieszczenia korzystamy z zależności Pi=Σ wówczas V=L= ½ ΣΣ αikuk uk
Energia sprężysta jest jednorodną kwadratową funkcją przemieszczeń. Ponieważ energia sprężysta jest kwadratową funkcją obciążeń to w zasadzie można stosować zasady superpozycji przy obliczaniu energii.
Twierdzenie Bettiego - Piuik=Pkuki suma prac sił układu pierwszego (P1) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu drugiego (Pk) jest równa sumie prac sił układu drugiego (Pk) na odpowiadającym im przemieszczeniach wywołanych siłami układu pierwszego (Pi)
Twierdzenie Maxwella - uik=uki jeżeli na układ liniowo sprężysty działają dwie równe co do modułu uogólnione siły, to przemieszczenie odpowiadające pierwszej lecz wywołane przez drugą równe jest przemieszczeniu odpowiadającemu drugiej lecz spowodowanemu pierwszą siłą.