STATYSTYKA MATEMATYCZNA
W wielu rzeczywistych sytuacjach zebranie wszystkich
potencjalnych danych nie jest mozliwe, a analizy dokonuje sie na
podstawie odpowiednio zebranych danych czesciowych o badanym
zjawisku. Taka analiza, wykorzystujaca metody rachunku
prawdopodobienstwa, nosi miano Statystyki Matematycznej.
POPULACJA GENERALNA
Badanie statystyczne dotyczy zawsze pewnej zbiorowosci, której
elementami sa obiekty materialne lub zjawiska. W statystyce
matematycznej badann zbiorowosć statystyczna nazywa sie populacja
generalna lub zbiorowoscia generalna.
CECHA STATYSTYCZNA
Elementy populacji generalnej moga mieć rózne własciwosci, które
Podlegaja obserwacji, i które pozwalaja na rozróznianie elementów w
populacji. Te własciwosci nazywa sie cechami statystycznymi lub
krótko cechami.
PRÓBA
Podzbiór elementów populacji generalnej podlegajacych badaniu
nazywa sie próba.
Statystyka matematyczna zajmuje sie tylko badaniami czesciowymi,
takim, w których dobór próby podlega pewnym obiektywnym regułom
estymacja (szacowanie) nieznanych wartosci parametrów
rozkładu cechy,
- sprawdzanie (weryfikacja) hipotez dotyczacych wartosci
parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu.
ZMIENNA LOSOWA
Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku
doswiadczenia przybiera jedna i tylko jedna wartosć ze zbioru tych
wszystkich wartosci, jakie ta zmienna moze przyjać.
Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywa sie funkcje oznaczona
przez F(x), okreslona
F(x)=P(X<x)
Okresla ona prawdopodobienstwo tego, ze zmienna losowa X
przyjmuje jakakolwiek wartosć mniejsza od z góry przyjetej danej
wartosci x.
Rozkład Poissona
Jezeli zmienne losowe 1, 2 n x x ,...,x maja rozkład dwumianowy o
parametrach n i n
Z rozkładu Poisson'a korzysta sie analogicznych przypadkach jak
dla rozkładu dwumianowego, ale wówczas, gdy n jest dostatecznie
duze (n>50) i p dostatecznie małe (p<0,1).
Reguła trzech
Jezeli X jest zmienna losowa ciagła o rozkładzie N(μ,σ) to zachodzi:
P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 0,9973
tzn. takie jest prawdopodobienstwo, ze zmienna losowa przyjmie takie
wartosci, które róznia sie od wartosci oczekiwanej μ nie wiecej niz o +/- 3
odchylenia standardowe σ.
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRÓW
Metoda estymacji przedziałowej to dokonanie szacunku parametru
w postaci takiego przedziału (zwanego przedziałem ufnosci), który z
duzym prawdopodobienstwem obejmuje prawdziwa wartoać parametru.
Przedział ufnosci dla wariancji
W zaleznosci od tego, czy próba jest mała czy duza, przedział
ufnosci dla wariancji buduje sie odpowiednio w oparciu o rozkład χ2
(chi-kwadrat) beda o rozkład normalny.
Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych to drugi, obok
estymacji, podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego.
Hipoteza statystyczna to kazde przypuszczenie dotyczace
wielkosci parametru rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej
lub próbnej, albo tez postaci tego rozkładu, uzyskane na podstawie
próby losowej.
Typy zaleznosci:
♦ funkcyjna: zmiana wartosci jednej zmiennej powoduje cile
okreslona zmiane drugiej zmiennej (jednej zmiennej X odpowiada
tylko jedna wartosć drugiej zmiennej Y), np. pole kwadratu
♦ stochastyczna: ze zmiane jednej zmiennej zmienia sie rozkład
prawdopodobienstwa drugiej zmiennej
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIaGŁYCH
Rozkład normalny (Gaussa)
Uznawany za najwazniejszy rozkład w teorii prawdopodobienstwa
Gestosć prawdopodobienstwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym:
Rozkład normalny standaryzowany Reguła trzech (sigm) Rozkład wykładniczy Rozkład chi-kwadrat 2 Rozkład (gamma) Rozkład t-Studenta Rozkład F-Snedecora