Równanie Toru

x=f1(t ) ; y=f2(t ) ; z=f3(t ) ; Równanie toru to f(x,y,z)=0 . Na układzie płaskim tylko x i y

Prędkość Punktu

Prędkość- wyprowadzenie na podstawie równania ruchu punktu na torze.

(rys)

Prędkość V punktu A nazywamy wektor którego wektor bezwzględny równy jest pochodnej drogi względem czasu.

PRĘDKOŚĆ PKT JAKO POCHODNA PROMIENIA WEKTORA

W tym przypadku kolejne położenia pkt określonych za pomocą promieni wektora. Prędkość chwilowa
. Prędkość pkt jest I pochodną wektora względem czasu. Współrzędne prędkości pkt są równe pochodnym względem czasu odpowiednich współrzędnych tego pkt. Znając Vx,Vy,Vz wartość prędkości chwilowej pkt wyraża wzór:

(rys)

Przyspieszenie punktu średnie

Przyspieszenie jest to wielkość wektorowa. Punkt A porusza się po torze krzywoliniowym. Zakładamy że w trakcie tego ruchu V zmienia swoja wartość .

(rys)

Chcąc wyznaczyć przyrost wektora V1 przenoszę równolegle do punktu A. ∆V=V1-V

Stosunek przyrostu wektora prędkości do czasu w którym ten przyrost nastąpił nazywamy przyspieszeniem średnim aśr=∆V/∆t aśr ma ten sam zwrot i kierunek co ∆V

Przyspieszenie chwilowe

Wektor przyspieszenia chwilowego jest równy pierwszej pochodnej wektora prędkości lub drugiej pochodnej promienia względem czasu, wektor przyspieszenia możemy wyrazić jako sumę jego 3 rzutów na osie prostokątnego układu współrzędnych.

Przyspieszenie normalne i styczne

W analizie ruchu duże znaczenie ma rozkład wektora przyspieszenia na składową normalna i styczną do toru.

Przyjmujemy oznaczenia :

g(ro)- promień krzywizny toru

r(t)- położenie punktu

n- wersor normalnej głównej do toru skierowanego do środka krzywizny

m- wersor styczny do toru

(rys)

V=mV

Z geometrii różniczkowej pierwszy wzór Frenetcha: określa on relację miedzy pochodną m po ds.

Wykorzystujemy definicję wektora przyspieszenia jako 1 pochodnej wektora prędkości względem czasu.

Długość wektora przyspieszenia normalnego zależy od wartości bezwzględnej wartości i od promienia krzywizny toru. Wektor an leży na normalnej do toru i ma zwrot do środka krzywizny toru. Długość wektora przyspieszenia stycznego zależy od zmiany bezwzględnej wartości prędkości. Wartość ta może być wieksza, mniejsza lub równa zero.

(Rys)

Wektor przyspieszenia chwilowego leży na płaszczyźnie stycznej do toru po tej stronie stycznej po której znajduje się środek krzywizny. Jeśli promień krzywizny dąży do nieskończoności to ruch odbywa się po prostej a wedy an=0. Jeśli ruch będzie odbywał się ze zmienną prędkością to przyspieszenie całkowite a=at. Jeśli ruch odbywa się ze stała prędkością co do wartości i kierunku V=const to mamy doczynienia z z ruchem jednostajnym prostoliniowym an=at=0. Jeśli ruch odbywa się ze stała prędkością co do wartości to jest to ruch jednostajny dla którego at=dV/dt = 0. Jeśli jest to ruch po torze krzywoliniowym to a=an.

Ruch po okręgu

Rozpatruje się ruch punktu A ze zmienną prędkością po okręgu o promienu r. Ruch odbywa się od położenia początkowego A0

(rys)

Przyspieszenie kątowe to pochodna względem czasu prędkości kątowej lub druga pochodna drogi kątowej względem czasu.

[v]=[m/s] [a]=[m/s^] [ω]=[rad/s] [ε]=[rad/s^]

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe to są także wielkości wektorowe. Wektory te są prostopadłe do płaszczyzny obrotu punktu. Zwrot wektora prędkości kątowej określa reguła śruby prawoskrętnej. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego zależy od wartości „ε”

---