[22]Prędkości i przyspieszenia kątowe jako wektory i wektor małego obrotu

Rozpatrzmy powtórnie obracające się ciało sztywne względem nieruchomej osi pionowej 0z (rys. 9)

Rys. 9. Ciało sztywne obracające się z prędkością kątową ω

Na osi 0z zaczepimy w dowolnym jej punkcie wektor
. Wektor ten jest wektorem ślizgającym się, bo może być dowolnie przesuwany wzdłuż osi 0z. Gdy
, to ω ma kierunek zgodny kierunkiem osi 0z. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami

. (36)

Z rys. 9 można zauważyć, że wektor v jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i ω, i wyraża się on poprzez wymienione wektory następująco

. (37)

Ponieważ przyspieszenie p punktu D jest pochodną geometryczną względem czasu prędkości v, to

, (38)

gdzie
jest przyspieszeniem kątowym.

Wektor prędkości kątowej ω może zmieniać długość, ale nie kierunek. Wynika z tego, że wektor przyspieszenia kątowego leży również na osi obrotu 0z. Jeśli ω rośnie, to ω i ε mają zgodne zwroty. Jeśli ω maleje, to ω i ε mają zwroty przeciwne. Równanie (38) możemy zapisać w postaci

. (39)

. (49)

Prędkość kątowa ω ciała sztywnego jest równa granicy, do której dąży stosunek wektora małego obrotu i przyrostu czasu dążącego do zera.

Dwa małe obroty ciała sztywnego względem dwóch przecinających się linii prostych można zastąpić jednym wektorem obrotu wypadkowego będącego sumą geometryczną wektorów małych obrotów.

Prędkość kątowa ω ciała sztywnego jest równa granicy, do której dąży stosunek wektora małego obrotu i przyrostu czasu dążącego do zera.

---