Temat: Mechanika płynów
Spis treści:
1. Wykaz oznaczeń.....................................................str.3.
2. Podobieństwo przepływu płynu................................str.4-10.
3. Przepływ płynu przez przewody................................str.11-13.
4. Napięcie powierzchniowe..........................................str.14.
5. Prawo Darcy'ego.......................................................str.15-16.
6. Siły powierzchniowe płynu.......................................str.17.
7. Przewodność cieplna płynu.......................................str.18-19.
8. Modele płynów.........................................................str.20.
9. Liczba Reynoldsa.....................................................str.21.
10. Parcie płynu na ciała zanurzone.............................str.22-25
11. Bibliografia.............................................................str.26
12. Spis rysunków........................................................str.27
1. Wykaz oznaczeń.
v (małe)- zastąpione jest we wzorach symbolem w
D - średnica przewodu [ m ]
L - długość przewodu [ m ]
Pstr - strata ciśnienia wskutek tarcia [ Pa ]
k- chropowatość bezwzględna [ m ]
M- masowe natężenie przepływu
A - przekrój elementu [ m2 ]
V - objętość wypartej cieczy [ m3 ]
t - czas [ s ]
P - siła [ N ]
u - pozorna prędkość cieczy
K - współczynnik filtracji
Fja - siła powierzchniowa
Q - objętościowe natężenie przepływu
T - temp. [K ]
X - odległość [ m ]
V - prędkość przepływu
m- odległość metacentryczna
Re - liczba Reynoldsa
St - liczba Strouhala
Fr - liczba Froude'a
Eu - liczba Eulera
Ma - liczba Macha
Ek - energia kinetyczna strumienia
- lepkośćμ
- współczynnikλ przewodności cieplnej
- ciężar właściwyγ
2.) Podobieństwo przepływów płynu.
[1],[3] Rozpatrując dwa dowolne układy: jeden w naturze (a więc o wielkości naturalnej), zaś drugi modelowy (tzn. zbudowany w zmniejszonej skali), należy zadać sobie zasadnicze pytanie: na ile układy te są podobne, czyli, w jakim zakresie zjawiska lub procesy naturalne mogą zostać odwzorowane na modelu. Ten stopień podobieństwa układu naturalnego i modelowego zależy oczywiście od tego, jakie parometry mierzone na modelu mają być następnie przetransportowane na wielkości naturalne. W zależności od tych parometrów rozróżniamy trzy podstawowe rodzaje podobieństwa, a mianowicie:
- podobieństwo geometryczne,
- podobieństwo kinematyczne,
- podobieństwo dynamiczne.
Podobieństwo geometryczne sprowadza się wyłącznie do tego, iż wszystkie wymiary liniowe obiektu naturalnego zostają w tej samej proporcji zmniejszone na modelu. Jeżeli symbolami z indeksem oznaczamy wielkości liniowe w naturze, (np. długość 1'), zaś symbolami bez indeksu odpowiadające im wielkości liniowe na modelu (np. długości), to istota podobieństwa geometrycznego sprawdza się do następnego stwierdzenia: w warunkach podobieństwa geometrycznego stosunek wszystkich wymiarów liniowych modelu do odpowiadających im wymiarów liniowych obiektu naturalnego jest stały.
Stosunek ά1 nazywamy skalą długości, skalą liniową lub skalą podobieństwa geometrycznego. Jeżeli skala ta zostanie zachowana w odniesieniu do wszystkich wymiarów liniowych (długość, szerokość, wysokość), to wynikają z niej bezpośrednio skale pól (powierzchni) άA i objętości άV.
Warunek podobieństwa geometrycznego wymaga dodatkowo zachowania równości wszystkich kątów w naturze i na modelu. Najczęstszym przykładem stosowania podobieństwa geometrycznego są różnego rodzaju makiety, np. architektoniczna makieta osiedla mieszkaniowego. Taka makieta daje doskonałe wyobrażenie o układzie przestrzennym osiedla, pozwala ocenić proporcje zabudowy i terenów rekreacyjnych, wreszcie umożliwia zobaczenie budynków z dowolnej strony, ocenę stanu ich oświetlenia w różnych porach dnia itp. Jak widać, korzyści, jakie wynikają z modelu wykonywanego w skali geometrycznej, są różnorodne, ale wobec stateczności modelu niemożliwy w nim jest na nim pomiar jakichkolwiek wielkości kinematycznych zachowanie podobieństwa geometrycznego okazuje się, więc warunkiem niewystarczającym. Należy, więc pójść dalej w analogiach pomiędzy modelem i naturą: taki wyższy stopień analogii stanowi podobieństwo kinematyczne.
Wiadomo, że w kinematyce oprócz wielkości geometrycznych operujemy pojęciem czasu, co pozwala nam z kolei określić wielkości prędkości i przyspieszeń. Wobec tego, w podobieństwie kinematycznym muszą być zachowane wszystkie zasady podobieństwa geometrycznego i dodatkowo musi być spełniony warunek:
άt= const.
Warunek ten można sformułować następująco: przesunięci wzdłuż odpowiadających sobie odcinków na modelu i w naturze muszą się odbywać w czasach, których stosunek jest stały i równy skali czasu άt. A więc warunek podobieństwa kinematycznego wymaga jednoczesnego zachowania dwóch skal: skali długości ά1 i skali czasu άt.
Te dwie skale umożliwiają łatwe określenie obowiązujących w podobieństwie kinematycznym skal prędkości i przyspieszeń.
Spełnienie warunku podobieństwa kinematycznego umożliwia, co prawda (przy przyjęciu skal ά1 i άt) pomiar prędkości i przyspieszeń oraz przeliczenie ich na wielkości naturalne, nie zaspokaja to jednak ciągle wymagań, jakie stawiamy modelom budowli hydrotechnicznym, gdyż nie daje jeszcze możliwości modelowania sił, z jakimi ciecz oddziałuje na obiekt. Aby zachować dodatkowo warunek podobieństwa sił, muszą być spełnione zasady tzw. podobieństwa dynamicznego.
Istnieją dwie metody określania warunków podobieństwa dynamicznego, a mianowicie:
1) analiza wymiarowa,
2) główne twierdzenie o podobieństwie zjawisk.
Analiza wymiarowa w swej najczęściej spotykanej formie opiera się na twierdzeniu Buckinghama (twierdzenie Π). Twierdzenie to brzmi następująco:, jeżeli w danym zagadnieniu występuje n fizycznych wielkości wymiarowych- zarówno zależnych, jak i niezależnych od siebie- oraz jeżeli maksymalna liczba wielkości wymiarowo niezależnych jest równa i, to związek funkcyjny między wielkościami występującymi w zagadnieniu może być wyrażony równaniem zawierającym n- i bezwymiarowych parometrów.
W celu zilustrowania analizy wymiarowej zostanie rozpatrzone bardzo ważne zagadnienie strat ciśnienie wskutek tarcia p str w przewodach ( p.7.1.1). Z doświadczeń wiadomo, że straty te zależą od następujących wielkości: prędkości przepływu v, gęstości p i współczynnika lepkości dynamicznej płynu µ, średnicy D i długości przewodu L ora chropowatości bezwzględnej k ścianek przewodu. Zależność ta przyjmuje, zatem postać
=0
przy czym strata ciśnienie jest odniesiona do jednostki długości przewodu.
Z zależności wynika liczba wielkości fizycznych n = 6, zaś wielkość i równa się liczbie występujących w danym zagadnieniu wymiarów podstawowych, czyli i = 3, gdyż chodzi o jednostki: długości - m, masy - kg, czasu - s. Zgodnie z twierdzeniem Π zależność przyjmuje postać zawierającą n- i= 3 bezwymiarowych parometrów
f1(Π1, Π2, Π3)= 0
W celu określenia poszczególnych bezwymiarowych parometrów Π zostaną wybrane trzy wielkości wymiarowo niezależne, tj. ρ, w, D, które zawierają wszystkie jednostki podstawowe (m, kg, s). Wielkości są bezwymiarowo niezależne, gdyż warunek
(kg . m-3)a1 . (m . s-1)a2 . ma3 = 1
jest spełniony tylko dla
a2= a2= a3= 0
Z pozostałych trzech wielkości zostaną utworzone trzy iloczyny bezwymiarowe
Π2= μ ρb1 v b2 Db3
Π3= k ρc1 vc2 Dc3
W celu wykładników w parometrach Π1, Π2, Π3 należy ułożyć równania wymiarowe
Π1= (kg . m-2 . s-2) . (kg . m-3)a1 . (m . s-1)a2 . ma3
Π2= (kg . m-1 . s-1) . (kg . m-3)b1 . (m . s-1)b2 . mb3
Π3= m . (kg . m-3)c1 . (m . s-1)c2 . mc3
i tak dobrać poszczególne wykładniki potęgowe, aby prawe strony tych równań były również bezwymiarowe. Warunek ten może być wyrażony w postaci m0 . kg0 . s0.
1. Obliczanie parometru Π1.
W wyniku porównania wykładników potęgowych przy jednostkach podstawowych pierwszego równania wymiarowego otrzymuje się trzy równania dla:
długości- m: -2 -3 a1+a2+a3= 0,
masy- kg: 1+a1= 0,
czasu- s: -2-a2= 0.
Rozwiązanie tego układu równań daje w wyniku
a1= -1, a2= -2, a3= 1
Po podstawieniu tych wartości do pierwszego równania otrzymuje się dla
-1 w-2 D
2. Obliczanie parometru Π2.
Analogicznie jak poprzednio, wykorzystuje się drugie równanie:
długości- m: -1-3 b1+ b2+ b3= 0,
masy- kg: 1+b1= 0,
czasu-s: -1-b2= 0.
skąd
b1= -1, b2=-1, b3= -1
Po podstawieniu tych wartości do drugiego równania otrzymuje się
3. Obliczanie parometru Π3.
Analogicznie, użycie trzeciego równania daje w wyniku dla:
długości- m: 1- 3 c1+ c2+ c3= 0,
masy-kg: c1= 0,
czasu- s: -c2= 0.
skąd
c1- 0, c= 0, c3= -1
Z trzeciego równania otrzymuje się
Obliczanie z wzorów wartości Π1, Π2, Π3 należy podstawić do funkcji
-1 v-2 D, ,
która może być napisana w postaci
oznaczając
zależność można dalej przekształcić do postaci
pstr
gdzie λ jest współczynnikiem tarcia wewnętrznego płynu (współczynnikiem strat tarcia).
Związek to znany Wzór Darcy- Weisbacha, którym opisuje się stratę ciśnienia podczas przepływu w przewodach. Występujący w tym wzorze współczynnik λ jest funkcją dwóch liczb podobieństwa
Pierwsza z nich nosi nazwę liczby Reynoldsa
natomiast stosunek obu wielkości liniowych jest chropowatością względną.
Główne twierdzenie o podobieństwie zjawisk ma następujące brzmienie: jeśli dwa porównywalne zjawiska są opisane w postaci bezwymiarowej identycznym układem równań i warunków brzegowych, to zjawiska te są podobne. Na uwagę zasługuje fakt, że nie jest potrzebna znajomość rozwiązań równań różniczkowych, a tylko ich postać. Ma to wielkie znaczenie praktyczne.
Dwa przepływy są podobne, jeżeli równania bezwymiarowe opisujące te przepływy są identyczne, czyli jeżeli współczynniki równania znajdujące się w nawiasach są w obu przypadkach jednakowe. Współczynniki te noszą nazwę liczb podobieństwa. W skład tych liczb wchodzą następujące wielkości: L0, v0, t0,g, p0,ρ0,υ. W dalszych rozważaniach zostanie pominięty indeks „o” w celu uproszczenia zapisów. Liczby podobieństwa noszą nazwy od nazwisk uczonych, którzy pracowali w danej dziedzinie nauki.
Jak wykazują doświadczenia, jednoczesne spełnienie wszystkich warunków podobieństwa dynamicznego, czyli zachowanie równości wszystkich liczb, nie daje się zrealizować. Nie jest to zresztą konieczne, gdyż nie wszystkie wyrazy równań Naviera- Stokesa odgrywają jednakową rolę w danym przypływie. Równanie Noviera Stokesa w swej ogólnej postaci opisuje wszystkie właściwości przepływu, mimo że w każdym z przepływów dominującą rolę odgrywa tylko jedna z tych właściwości.
W przepływach nieustalonych istotną rolę odgrywa przyspieszenie lokalne. W takim przypadku podobieństwo przepływów charakteryzuje liczba Strouhala St
Słowo „idem” oznacza, że liczba St powinna być taka sama dla przepływów podobnych.
W przepływach cieczy w polu przyciągania ziemskiego dużą- a czasem dominującą- rolę odgrywa przyspieszenie ziemskie g. W przypadku konieczności uwzględnienia sił masowych w grę wchodzi liczba Froude' a Fr
Liczba Fr wyraża stosunek sił bezwładności do sił masowych, Liczba ta dotyczy przede wszystkim tych zjawisk, które odbywają się na swobodnej powierzchni cieczy.
Stosunek ciśnienia statycznego do ciśnienia dynamicznego, czyli stosunek sił powierzchniowych normalnych do sił bezwładności, nosi nazwę liczby Eulera Eu
W przepływach gazu z dużymi prędkościami, czyli w dynamice gazów, dominującą rolę odgrywa ściśliwość. Wówczas wzór przyjmuje następującą postać
gdzie: н= cp/ cv- wykładnik izentropy, Ma- liczba Macha
W przepływach płynów lepkich istotną rolę odgrywa ostatni wyraz równania zawierający lepkość. Wówczas podobieństwo przepływów charakteryzuje liczba Reynoldsa Re
Liczba Re wyraża stosunek sił bezwładności do sił lepkości.
3). Przepływ płynu przez przewody.
[2]Rozpatrując przepływ cieczy w przewodach można jednoznacznie określić główny kierunek ruchu. Zmiany warunków przepływu w kierunku poprzecznym do kierunku głównego są w tym przypadku mniej istotne. Z tego względu w obliczeniach praktycznych stosuje się uproszczony model przepływu jednowymiarowego. Model ten jest stosowany zarówno dla przewodów pod ciśnieniem, jak też dla kanałów oraz rzek. W ruchu tym poruszający się ośrodek nazywany jest strumieniem. Przekrojem poprzecznym strumienia A jest powierzchnia płaska, normalna do głównego kierunku ruchu.
Masowe natężenie przepływu (strumień masy) M (kg/s) w ruchu jednowymiarowym jest stosunkiem masy płynu dm, przepływającej przez przekrój A, do czasu dt, w którym masa ta przepłynęła
. (3.1)
Dla płynu nieściśliwego wygodnie jest posługiwać się pojęciem objętościowego natężenia przepływu Q [m3/s]. Dzieląc obie strony równania [3.1] przez stałą gęstości p otrzymuje się
(3.2)
Wielkość Q nazywa się również wydatkiem lub przepływem. Prędkość średnia jest stosunkiem objętościowego natężenia przepływu do pola przekroju
(3.3)
Energia kinetyczna strumienia Ek jest sumą energii kinetycznej wszystkich strug. Dla płynu o stałej gęstości otrzymuje się
(3.4)
Wyrażając energię kinetyczną za pomocą prędkości średniej, bezpośrednio zastępując w podanym wyrażeniu prędkość v przez vśr (w), należy dodatkowo wprowadzić współczynnik korygujący
.
Po porównaniu obu zależności otrzymuje się wzór określający współczynnik energii kinetycznej , nazywany współczynnikiem Coriolisa lub współczynnikiem Saint- Venanta
(3.5)
Współczynnik jest większy od jedności. W hydraulicznych obliczeniach przyjmuje się: dla przepływów w przewodach pod ciśnieniem (dla kanałów oraz rzek . W ruchu laminarnym w przewodzie kołowym równa jest 2.
W podobny sposób można wyrazić pęd strumienia
pęd = p .
Zastępując prędkość v przez prędkość średnią należy dodatkowo wprowadzić współczynnik poprawkowy
pęd=
Po porównaniu otrzymuje się wzór na współczynnik pędu
.
(3.6)
Wartości współczynnika są większe od jedności, lecz mniejsze od . Dla przepływu laminarnego w przewodzie kołowym wynosi 4/3. Zgodnie z modelem ruchu jednowymiarowego, przekrój poprzeczny strumienia A oraz gęstość płynu p są funkcją odległości l oraz czasu t. W ruchu ustalonym wielkości A i p zależą tylko od l.
Warunek zachowania masy dla strumienia ograniczonego przekrojami
A1 i A2, oddalonymi od siebie o dl.
W czasie dt, przez przekrój A1 wpływa do rozważanego odcinka masa równa
,
zaś przez przekrój A2 wpływa
Przez boczną powierzchnię strumienia w ruchu jednowymiarowym przepływ nie jest możliwy. Łączny przyrost masy płynu w rozważanym odcinku jest więc równy
Masa płynu zawarta w odcinku dl wynosi (pAdl), zaś jej zmiana po czasie dt
Przez porównanie obu przyrostów oraz podzieleniu przez (dl dt), otrzymuje się równanie ciągłości w ruchu jednowymiarowym
(3.7)
Dla płynu nieściśliwego (p= const) równanie upraszcza się do postaci
(3.8)
W ruchu ustalonym, lub gdy przepływ odbywa się w przewodzie sztywnym, otrzymuje się
czyli objętościowe natężenie przepływu płynu nieściśliwego jest takie samo we wszystkich przekrojach poprzecznych strumienia
(3.9)
4.) Napięcie powierzchniowe.
[3] Spójność - napięcie powierzchniowe. Cząsteczki cieczy oddziałują na siebie wzajemnie i na cząsteczki z innych ośrodków, (np. z gazem nad powierzchnią swobodną cieczy lub z ciałem stałym stanowiącym ścianki naczynia ).Siły wzajemnego przyciągania zależą od rodzaju obu kontaktujących się ośrodków. Siły między cząsteczkami cieczy są większe niż między cząsteczkami cieczy i gazu. Dlatego w powietrzu cząstki cieczy przybierają formę kropli. W warunkach nieważkości, gdy nie ma sił aerodynamicznych związanych z opadaniem kropel, mają one kształt dokładnie kulisty. Jeżeli przyciąganie z ciałem stałym jest mocniejsze niż z innymi cząstkami cieczy, to ciecz „zwilża” ciało, kropla rozlewa się na płycie, jeżeli natomiast mocniejsze jest przyciąganie między cząsteczkami cieczy - ciecz „nie zwilża” ciała, kropla tworzy nieco spłaszczoną kulę.
Na cząsteczki cieczy znajdujące się na jej powierzchni działają jednocześnie siły przyciągania innych cząstek cieczy skierowane do wnętrza obszaru i słabsze przyciąganie cząstek gazu skierowane w kierunku przeciwnym. Powstaje siła wypadkowa, która usiłuje „wciągnąć” cząstkę w głąb cieczy. Powoduje to, że układ dąży do zmniejszenia ilości cząstek znajdujących się na powierzchni, czyli do zmniejszenia jej pola. Skutek jest taki, jak gdyby na powierzchni cieczy znajdowała się cieniutka, napięta błonka. Rozciągnięcie tej błonki, czyli wprowadzenie dodatkowych cząstek na powierzchnię wymaga użycia pewnej siły. Jej miarą jest napięcie powierzchniowe σ. Jest to stosunek siły P do długości przekroju błonki, na którą działa:
Ђ
Jednostką napięci powierzchniowego jest N/m.
Liczbowo siły napięci powierzchniowego są bardzo niewielkie i ich działania objawiają się jedynie, gdy ilość cieczy, na którą działają , jest bardzo mała.
Mają, więc znaczenie dominujące przy formowaniu kropel i pęcherzyków gazu i przy podsiąkaniu kapilarnym w cienkich przewodach. Natomiast, w przepływach w rzekach i kanałach, przez przelewy i otwory, w obliczeniach zbiorników są całkowicie do pominięcia.
5.) Prawo Darcy'ego.
[4] Na podstawie przeprowadzonych pomiarów H. Darcy sformułował w 1856 r. podstawowe prawo przepływu wody przez warstwy porowate, zwane obecnie prawem Darcy'ego. Często prawo to nosi nazwę prawa filtracji Darcy'ego. Głosi ono, że pozorna prędkość wody (cieczy) jest wprost proporcjonalna do spadku hydraulicznego
gdzie: u - pozorna prędkość cieczy, zwana prędkością filtracji,
k - współczynnik filtracji.
Współczynnik filtracji k można zdefiniować jako wartość prędkości filtracji w przypadku
I = 1, a więc podczas swobodnego ruchu wody w gruncie pod wpływem własnego ciężaru.
W tablicy podano orientacyjne wartości współczynnika k dla niektórych gruntów.
Współczynnik filtracji k w m/s niektórych gruntów
Piasek 6·10-4 ÷ 6·10-5
Grunt piaszczysty 6·10-5 ÷ 6·10-6
Glina piaszczysta 1·10-7 ÷ 6·10-7
Prędkość filtracji u we wzorze Darcy´ego jest liniową funkcją spadku hydraulicznego I. Jak wynika z doświadczeń, ruch wód gruntowych podlega liniowemu prawu Darcy´ego w zakresie małych liczb Reynoldsa
<5
Średnica miarodajna ziaren gruntu d10%, czyli średnica odpowiadająca 10% na krzywej rozkładu objętościowego, oznacza, że gdyby grunt składał się z kulek o tej średnicy, to współczynnik filtracji byłby taki sam jak dla gruntu naturalnego.
Zależność można zapisać w postaci różniczkowej; wtedy mówi się o ogólnym prawie Darcy´ego
Przy czym znak minus wynika stąd, że h maleje w dodatnim kierunku x. Zależność tę należy jeszcze uogólnić, aby można ją było stosować również w przypadku zmiennej wartości współczynnika filtracji k. Wzór przyjmuje wówczas postać
6.) Siły powierzchniowe płynu.
[5] Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są proporcjonalne do tej powierzchni. Do sił powierzchniowych należy zaliczyć siły tarcia oraz parcia hydrostatycznego. Szczególnym przypadkiem sił powierzchniowych siła swobodna napięciem powierzchniowym. Występuje ona na powierzchni rozgraniczającej dwa ośrodki.
Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa FjA, będąca granicą stosunku siły powierzchniowej ΔFA do elementu powierzchni ΔA, na którą działa
Składowa jednostkowej siły powierzchniowej FjA na kierunku normalnym n do elementu powierzchni ΔA nazywana jest naprężeniem normalnym. Składowa wektora FjA na kierunku stycznym s nazywana jest naprężeniem stycznym.
Średnia z naprężeń normalnych, działających na trzy wzajemnie prostopadłe powierzchnie przeprowadzone przez punkt M, ma wartość charakterystyczną dla punktu, niezależną od kierunku tych powierzchni. Średnią tę nazywamy ciśnieniem; charakteryzuje ona stan ośrodka w otoczeniu punktu M. Ponieważ naprężenia normalne różnią się od ciśnienia o wyrażenie zawierające lepkość i pochodne prędkości, w przypadku gdy któryś z tych czynników jest równy zeru, naprężenia normalne są równe ciśnieniu. Tak więc w przypadku względnego bezruchu płynu ( bez wzajemnych przesunięć cząstek ) i w przypadku ruchu płynu nie lepkiego :
- naprężenia normalne we wszystkich kierunkach są sobie równe
i nazywają się ciśnieniem,
- naprężenia styczne są równe zeru.
7.) Przewodność cieplna płynu.
[6] Jeżeli rozkład średniej energii molekuł płynu nie jest jednorodny, co występuje podczas braku równowagi termodynamicznej, następuje proces wyrównywania energii, czyli przekazywanie jej od molekuł o większym zasobie energii do molekuł energetycznie uboższych. W warunkach nieustalonych trwa to dopóty, dopóki temperatura płynu się nie wyrówna. W sensie makroskopowym proces ten nosi nazwę przewodności cieplnej płynów.
W celu zdefiniowania współczynnika przewodzenia ciepła należy rozważyć najprostszy przypadek jednokierunkowego przewodzenia ciepła w płynie. Niech będą dane dwie równoległe płaszczyzny odległe o dx. Temperatury płynu zarówno w jednej, jak i drugiej płaszczyźnie są stałe, ale różne. Różnica ta wynosi dT. Szybkość przewodzenia ciepła w płynie jest opisana prawem Fouriera
gdzie: q - gęstość strumienia przewodzonego ciepła, W/m2 ,
T - temperatura, K,
x - odległość, m,
λ - współczynnik przewodzenia ciepła, W/(m·K).
T q
dT
dx x
Rys.1) Wykres do wzoru.
Prawo Fouriera głosi, że szybkość przewodzenia ciepła jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatur. Współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik przewodzenia ciepła λ. Znak minus występujący w równaniu wynika stąd, że ze wzrostem odległości temperatura maleje.
Współczynniki przewodzenia ciepła dla gazów praktycznie nie zależą od ciśnienia, natomiast ze wzrostem temperatury rosną. W warunkach normalnych dla powietrza współczynnik przewodzenia wynosi λ = 0,024 W/(m·K), a w temperaturze 1000 oC - λ = 0,076 W/(m·K). Współczynnik przewodzenia ciepła dla większości cieczy organicznych wynoszą 0,1 ÷ 0,2 W /(m · K), dla wody natomiast wielkość λ wynosi ok. 0,6 W/(m ·K), a dla rtęci 6,5 W/(m·K)
8.) Modele płynów
[7] W celu ułatwienia matematycznego opisu zjawisk fizycznych wprowadza się często uproszczenia , dotyczące niektórych własności fizycznych płynów rzeczywistych.
W rozważaniach stosuje się następujące modele płynów:
- płyn nielepki, w którym pomija się siły styczne podczas ruchu ośrodka (μ=0),
- płyn nieściśliwy (ρ = const),
- ciecz doskonała, w której pomija się lepkość (μ = 0),
ściśliwość (ρ = const), rozszerzalność cieplną (βt = 0)
oraz napięcie powierzchowne (σ = 0),
- gaz doskonały, w którym pomija się: objętość molekuł, sił spójności oraz lepkość; gaz ten ściśle spełnia równanie stanu gazu Clapeyrona,
- gaz termodynamiczny doskonały, który spełnia równanie Clapeyrona, lecz jest ośrodkiem lepkim.
Dla większości zagadnień dotyczących stanu spoczynku płynu, rozwiązania dla płynów doskonałych są słuszne dla ośrodków rzeczywistych. W zagadnieniach ruchu, wyniki otrzymane dla modeli uproszczonych nie można bezpośrednio przenieść na płyny rzeczywiste. W tym celu wprowadza się pewne współczynniki, których wartości określane są doświadczalnie. Ze stosowanych uproszczeń należy zawsze zdawać sobie sprawę podczas analizy wyników obliczeń oraz weryfikacji rezultatów badań doświadczalnych.
9). Liczba Reynoldsa.
[8]Dla każdego przepływu wewnętrznego i zewnętrznego, tj. przepływu w przewodzie o odpowiednim przekroju oraz opływu ciał o różnym kształcie, istnieje pewna wartość liczby Reynoldsa, poniżej której dany przepływ jest zawsze laminarny. Powyżej tej wartości przepływ może utracić stateczność zależnie od poziomu zaburzeń wstępnych strumienia napływającego. Ta wartość liczby Reynoldsa nosi nazwę krytycznej liczby Reynoldsa Rekr.
W najczęściej występujących przypadkach dla przepływu w przewodach (rurach) o przekroju kołowym krytyczna liczba Reynoldsa wynosi
W przewodach płaskich o wysokości (grubości) s krytyczna liczba Reynoldsa jest równa
Przytoczone wartości Rekr są czasem nazywane dolną wartością (Rekr)1, gdyż przepływ jest zawsze laminarny poniżej tej wartości. Przy daleko posuniętej ostrożności, polegającej na niedopuszczeniu do jakichkolwiek drgań i zaburzeń przepływu, udaje się utrzymać przepływ laminarny przy znacznie większych wartościach Re, niż to podano we wzorach, np. podczas przepływu w przewodzie o przekroju kołowym uzyskano wartość aż Rekr = 50000. Ta wartość jest nazwana górną wartością (Rekr)2. Najczęściej między(Rekr)1 a(Rekr)2 istnieje wstępna faza rozwoju ruchu turbulentnego. Ruch powyżej(Rekr)2 jest nazywany często w pełni rozwiniętym ruchem turbulentnym.
Należy jednak podkreślić, że w zagadnieniach technicznych przyjmuje się, że w zakresie Re > (Rekr)1 istnieje zawsze przepływ turbulentny.
Dla przewodów o przekroju kołowym oznacza to, że przepływ turbulentny występuje dla Re > 2300.
10). Parcie płynu na ciało zanurzone.
[9] Na ciało częściowo lub całkowicie zanurzone w cieczy działają siły parcia hydrostatycznego oraz siła ciężkości. Na powierzchnię zamkniętą A = A1 +A2 ciała stałego zanurzonego w cieczy działa parcie ze wszystkich stron (rys. 1). Wypadkowe parcia w kierunku poziomym, tj. w kierunku osi x, jest równe zeru, gdyż dwa przeciwnie skierowane parcia Fx dotyczą tej samej powierzchni Ax , a więc są liczbowo równe.
Wypadkowe parcia w kierunku pionowym wynosi
Fz = Fz1 - Fz2
(10.1)
Gdzie:
Fz1 - parcie do góry równe ciężarowi słupa cieczy nad dolną powierzchnią ciała A1
Fz2 - parcie w dół równe ciężarowi słupa cieczy nad górną powierzchnią ciała A2.
Rys. 2) Działanie parcia na ciało zanurzone w cieczy
Różnica tych ciężarów jest równa ciężarowi cieczy G o tej samej objętości co objętość ciała zanurzonego.
Wypadkowe parcia działające do góry na zanurzone ciało nosi nazwę wyporu. Wypór cieczy W wynosi zatem
W = Fz = G = gρV
(10.2)
Gdzie: V - objętość wypartej cieczy przez zanurzone ciało,
G - ciężar wypartej cieczy przez zanurzone ciało.
Równanie (10.1) przedstawia znane prawo Archimedesa, w myśl którego ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na ciężarze tyle, ile waży ciecz przez to ciało wyparta. Pozorna strata ciężaru ciała zanurzonego w cieczy jest wynikiem działania na to ciało wyporu W.
Na ciało całkowicie zanurzone w cieczy działa ciężar ciała stałego Gs i wypór ciała stałego Ws. Możliwe są wówczas trzy przypadki :
1.Gs < Ws - siła (Ws - Gs ) wypiera ciało do góry, powodując jego częściowe wynurzenie. Stan równowagi zostaje osiągnięty wted, gdy ciężar ciała będzie równy wyporowi zanurzonej części ciała W;
w tym stanie równowagi ciało pływa.
2. Gs = Ws - ciało jest całkowicie zanurzone na dowolnej głębokości.
3. Gs > Ws - ciało tonie. Podczas pływania ciała częściowo zanurzonego musi być spełniony warunek
Gs=W (10.3)
Gdzie W oznacza wypór zanurzonej części ciała. Wtedy objętość ciała stałego Vs jest większa od objętości zanurzonej jego części V (Vs > V ).
Dla jednorodnych ciał wzór (10.3) można zapisać w postaci:
gρsVs = gρV
gdzie: ρs - gęstość ciała stałego
V - objętość cieczy wypartej przez zanurzoną część ciała stałego.
Ponieważ warunkiem pływania jest Vs > V, więc ze związku wynika ρs < ρ. Pod pojęciem gęstość ρs należy rozumieć gęstość ciała jednorodnego(np. lodu) lub gęstość średnią ciała niejednorodnego (np. statku).
W tym ostatnim przypadku chodzi o to, że statek jest zbudowany z materiałów cięższych od wody, lecz ma duże przestrzenie niewypełnione,
w wyniku czego jego średnia gęstość jest mniejsza od gęstości wody.
Bardzo istotną sprawą jest stateczność pływania, czyli zdolność powrotu ciała pływającego wychylonego ze stanu równowagi do pierwotnego położenia. Ciała nie mające tej zdolności nie mogą być wykorzystywane do transportu lub do innych celów technicznych takich, jak statki, platformy wiertnicze itd. W stanie równowagi wypór i ciężar ciała pływającego działają wzdłuż tej samej linii pionowej, zwanej osią pływania. Środek wyporu N, czyli punkt zaczepienia wektora wyporu, moż4e leżeć nad lub w środku ciężkości S, lecz najczęściej leży poniżej środka ciężkości S. Dowolne wychylenie ciała jest -ogólnie biorąc- wypadkową trzech przesunięć i trzech obrotów względem osi x, y, z, przy czym oś y jest prostopadła do płaszczyzny rysunku.
Ciało jest stateczne, czyli posiada równowagę stałą, przy przesunięciu wzdłuż osi z; przy takiej wymuszonej zmianie głębokości zanurzenia zostaje naruszona równowaga między ciężarem ciała Gs a wyporem W, co -jak już wspominano- powoduje zmianę zanurzenia, a w konsekwencji powrót do stanu początkowego. Równowaga obojętna występuje natomiast podczas przesunięć równoległych do zwierciadła cieczy, czyli podczas przesunięć wzdłuż osi x i y oraz podczas obrotu wokół osi z. Pozostaje do rozważenia stateczność ciała w odniesieniu do obrotu wokół osi poziomych xi y. W obu przypadkach postępuje się analogicznie, jednak istotniejsze znaczenie ma stateczność wokół tej głównej osi bezwładności pola pływania, która odpowiada mniejszemu momentowi bezwładności. Zagadnienie to ma duże znaczenie w teorii okrętu. Przy obrocie ciała wokół osi y o kąt φ środek wyporu przemieszcza się w położenie N'. Wypór W'= w i ciężar ciała Gs tworzą parę sił o momencie GsL= WL, gdzie L jest ramieniem stateczności. Jeżeli moment ma zwrot przeciwny do kąta obrotu φ, to ciało znajduje się w równowadze chwiejnej, wreszcie jeżeli moment jest równy zeru, to ciało znajduje się w równowadze obojętnej.
Rozważania te można uzupełnić, wprowadzając pojęcie punktu M, zwanego metacentrum, czyli punkt przecięcia linii działania wyporu chwilowego W' i pionowej osi ciała pływającego. Odległość punktu M od środka ciężkości położenia punktu M i S wskazuje na znak momentu prostującego. Mianowicie, gdy M leży powyżej S, wówczas odległość metacentryczna m jest dodatnia (m>0) i ciało pływa statecznie. Jeżeli M leży poniżej S, odległość m jest ujemna (m<0) i równowaga ciała jest chwiejna. Wreszcie gdy punkty M i S pokrywają się, odległość m jest równa zeru (m=0) i równowaga ciała ma charakter obojętny.
Wzór na odległość metacentryczną m można wyprowadzić z warunków równowagi po wychyleniu ciała o kąt φ. Wyprowadzenie to zostanie pominięte, ostateczna postać wzoru zaś jest następująca
(10.4)
Gdzie: Imin= Iy- moment bezwładności pola pływania względem osi y, przy czym pole pływania jest to powierzchnia powstała wskutek przecięcia się swobodnej powierzchni cieczy z konturem ciała, V- objętość cieczy wypartej przez ciało pływające, n- odległość środka ciężkości S i środka wyporu N. Równowaga stała (m>0) będzie zatem istnieć dla
Jeżeli środek S leży poniżej środka wyporu N, to wzór przyjmuje postać
(10.5)
Widać, że w tym przypadku jest zawsze m>0, czyli ciało pływające zawsze znajduje się w równowadze stałej.
Rys.3) Stateczność pływania ciała:
a) położenie normalne,
b)położenie chwilowe po obrocie wokół osi x.
11. Spis literatury:
[1] Orzechowski Z., Prywer J., Zarzycki R.: „Mechanika płynów w inżynierii środowiska” str.137-143 Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa 1997r.
[2] Mitosek M. : „Mechanika płynów i inżynierii środowiska”, str.118-121
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1999r.
[3] Szuster A., Utrysko B., „Hydraulika i podstawy hydromechaniki”
str.16-17 Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1992r.
[4] wg [1] str.474-476
[5]wg [2] str.27-28 i wg [3] str.28-29
[6]wg [1] str.40-41
[7]wg [2] str.18
[8]wg [1] str.151
[9]wg [1] str.79-82
12). Spis rysunków:
1. wykres do wzoru prawa Fouriera..............................str.18
2. działanie parcia na ciało zanurzone w cieczy.............str.22
3. Stateczność pływania ciała.......................................str.25
ps. niestety wzory i rysunki nie chciały sie skopiować wrazie potrzeby moge przesłać je e-mailem .