ELEMENTY TEORII PŁYNU NIELEPKIEGO

1. Układ równań zachowania dla płynu nielepkiego.

Przy ułożeniu poniższego układu równań pominięto efekty tarcia (μ=0) i przewodności cieplnej (λ=0). Z punktu widzenia kinetycznej teorii gazów i cieczy oba te efekty mają tę samą naturę, dlatego też pominięcie jednego z tych składników pociąga za sobą pominięcie drugiego, chyba, że mamy podstawy do oszacowania, że jeden z nich dominuje nad drugim. Zamknięty układ równań dla modelu płynu nielepkiego:

● RZM: dρ/dt+div(ρu)=0 lub dρ/dt+ρdivu=0, u=[u_x,u_y,u_z];

● RZIR: ρ•du/dt=ρf-grad p;

● RZE: ρ•d/dt(u²/2+e)=ρfu-div(pu);

● RBE: ρ•ds/dt=s⁺-div(j/T), s⁺=s_m⁺+s_T⁺, j=-λgrad T - prawo Fouriera, dla λ=0 i μ=0: ρ•ds/dt=0, z równania Gibbsa mamy: s=const≡p/ρ^κ. Zależność p/ρ^κ=const nazywamy adiabatą Poissona, gdy chcemy podkreślić brak przewodnictwa cieplnego lub równaniem izentropy, gdy chcemy podkreślić stałość entropii wzdłuż torów elementu płynu.

● KRS: e=c_vT+e₀, dla c_v=const;

● TRS: p=RTρ lub ρ=const dla płynu nieściśliwego.

2. Równanie Bernoulliego.

Założenia:

● płyn jest nielepki (μ=0);

● przepływ jest stacjonarny (∂/∂t=0);

● pole sił masowych jest potencjalne (f=-gradΠ, Π=±gz);

● płyn jest barotropowy - ρ=ρ(p).

Z RZIR mamy: du/dt=f-(1/ρ)grad p, gdzie:

● du/dt=∂u/∂t+(ugrad)u=∂u/∂t+grad(u²/2)+rot u×u;

● f=-gradΠ;

● (1/ρ)grad p=grad P(p), gdzie P(p) to funkcja ciśnienia: P=(def)∫(p₀,p)dp/ρ(p), która przy znanym polu ciśnień przyjmuje wartości:

P=∫(x₀,x)1/ρ(p)•∂p/∂x•dx → ∂P/∂x=1/ρ•∂p/∂x,

P=∫(y₀,y)1/ρ(p)•∂p/∂y•dy → ∂P/∂y=1/ρ•∂p/∂y,

P=∫(z₀,z)1/ρ(p)•∂p/∂z•dz → ∂P/∂z=1/ρ•∂p/∂z,

grad P=∂P/∂x•i+∂P/∂y•j+∂P/∂z•k=1/ρ•∂p/∂x•i+1/ρ•∂p/∂y•j+1/ρ•∂p/∂z•k=1/ρ•grad p;

● rot u×u≡-u×rotu.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie Gromeki-Lamba: ∂u/∂t+grad[u²/2+P(p)+Π]=u×rotu, a po uwzględnieniu stacjonarności przepływu: grad[u²/2+P(p)+Π]=u×rotu.

Trójmian: E=u²/2+P(p)+Π nazywamy trójmianem Bernoulliego.

Jest pięć przypadków stałości trójmianu Bernoulliego:

1. Pomnóżmy skalarnie równanie grad E=u×rotu przez wektor jednostkowy l_S styczny do linii prądu (l_S=[dx/ds,dy/ds,dz/ds]): grad E◦l_S=l_S◦(u×rotu), gdzie:

● l_S◦(u×rotu)=0, ponieważ l_S⊥(u×rotu);

● grad E◦l_S=∂E/∂x•dx/ds+∂E/∂y•dy/ds+∂E/∂z•dz/ds=dE/ds

Skąd wynika, że wzdłuż linii prądu dE/ds=0, co oznacza, że E=const wzdłuż linii prądu.

2. Analogicznie, gdy pomnożymy to równanie przez wektor jednostkowy l_ω styczny do linii wirowej (l_ω=[dx/dω,dy/dω,dz/dω]): grad E◦l_ω=l_ω◦(u×rotu)=0, ponieważ l_ω⊥(u×rotu), co oznacza, że dE/dω=0, a więc E=const wzdłuż linii wirowej.

3. Jeśli przepływ jest śrubowy: rotu=λ(x,y,z)u, to u×rotu=u×λu=0, a stąd grad E=0, więc E=const w całej przestrzeni objętej przepływem.

4. Jeśli przepływ jest bezwirowy: rotu=0, to również grad E=0 i E=const w całej przestrzeni objętej przepływem.

5. Jeśli u≡0, co odpowiada sytuacji hydrostatycznej, to E=P(p)+u²/2=const w całej przestrzeni.

Jeśli elementy płynu są zawirowane, to w polu wektora wirowości można utworzyć linie wirowe. Linie wirowe mają zdolność zachowawczą, jeśli płyn jest nielepki, barotropowy, a pole sił masowych jest potencjalne. Oznacza to, że elementy płynu, które tworzyły w chwili t_o linię wirową będą ją również tworzyły w chwili t₁. Wobec tego można narysować siatkę linii prądu i liniii wirowych. Ponieważ wzdłuż linii prądu i linii wirowej zachowana jest stała wartość trójmianu Bernoulliego, stąd wynika, że siatka ta tworzy powierzchnię, na której wartość trójmianu jest stała. Jest to tzw. powierzchnia Bernoulliego.

Równanie: u²/2+P(p)+Π=const=E nazywamy równaniem Bernoulliego. Inna postać: u₁²/2+P₁+Π₁=u₂²/2+P₂+Π₂. Szczególne postacie trójmianu Bernoulliego zależą od rodzaju sił masowych i barotropowości:

● Jeśli siłami masowymi są siły grawitacji, to: f=gk, a Π=±gz;

● Jeśli siłami masowymi są siły odśrodkowe, to: f=ω²r, a Π=-ω²r²/2, gdzie r - odległość od osi obrotu;

● Jeśli płyn jest nieściśliwy (ρ=const): P(p)=(def)∫(p₀,p)dp/ρ=(p-p₀)/ρ, a wtedy równanie Bernoulliego przyjmuje postać: u₁²/2+(p₁-p₀)/ρ+Π₁=u₂²/2+(p₂-p₀)/ρ+Π₂, skąd: u₁²/2+p₁/ρ+Π₁=u₂²/2+p₂/ρ+Π₂.

● Jeśli płyn jest ściśliwy, a przepływ izotermiczny: z TRS: ρ=(1/RT)•p=α•p, wtedy: P(p)=∫(p₀,p)dp/(α•p)=1/α•ln(p/p₀)=RTln(p/p₀), a równanie Bernoulliego przyjmie postać: u²/2+RTln(p/p₀)+Π=const.

● Jeśli płyn jest ściśliwy, a przepływ adiabatyczny (izentropowy): z adiabaty Poissona: p/ρ^κ=p₀/ρ₀^κ, skąd: ρ=ρ₀(p/p₀)^1/κ, wtedy: P(p)=∫(p₀,p)dp/[ρ₀(p/p₀)^1/κ]=p₀^1/κ/ρ₀•∫(p₀,p)p^-1/κdp=p₀^1/κ/ρ₀•1/[(-1/κ)+1]•p^(-1/κ)+1|(p₀,p)=p₀^1/κ/ρ₀•κ/(κ-1)•(p^(κ-1)/κ-p₀^(κ-1)/κ)=κ/(κ-1)•p₀^1/κ/ρ₀•p₀^(κ-1)/κ•[(p/p₀)^(κ-1)/κ-1]=κ/(κ-1)•p₀/ρ₀•[(p/p₀)^(κ-1)/κ-1], a równanie Bernoulliego przyjmie postać: u²/2+κ/(κ-1)•p₀/ρ₀•[(p/p₀)^(κ-1)/κ-1]+Π=const.

3. Dyskusja układu równań dla ruchu bezwirowego.

Rozpatrzmy przypadek ruchu płynu nielepkiego przy dodatkowym założeniu: rotu=0 (ruch bezwirowy). Powstaje pytanie jak interpretować z punktu widzenia zastosowań praktycznych ten warunek. Odpowiedź wynika z dwóch twierdzeń:

1. Tw. Kelvina: Pochodna substancjalna cyrkulacji prędkości po krzywej zamkniętej (płynnej) jest równa cyrkulacji przyspieszenia wzdłuż tej krzywej:

d/dt•∫(A,B)u∂r=∫(A,B)du/dt•∂r+∫(A,B)u•d(∂r)/dt=∫(A,B)du/dt•∂r+∫(A,B)udu=∫(A,B)du/dt•∂r+½(u_A²-u_B²), a jeśli punkt A ściągniemy do punktu B zamykając krzywą, to u_A²-u_B²=0, czyli: d/dt•∫(A,B)u∂r=∫(A,B)du/dt•∂r.

2. Tw. Lagrange'a: W płynie nielepkim, barotropowym w polu potencjalnych sił masowych nie może powstawać wirowość:

Z RZIR: ρ•du/dt=ρf-grad p mamy przy powyższych założeniach: du/dt=-grad[P(p)±Π]. Dla krzywej zamkniętej C można zapisać (z tw. Kelvina): d/dt•∫(C)u∂r=∫(C)du/dt•∂r=-∫(C)grad[P(p)±Π]∂r=-∫(C)∂[P(p)±Π]=0. Z tw. Stokesa wynika, że strumień wirowości przez powierzchnię płynną S(C) rozpiętą na krzywej zamkniętej C: Γ=∫(C)u∂r=∫(S(C))rotu◦ndS. Z powyższych zależności wynika, że: d/dt•∫(S(C))rotu◦ndS=0, co oznacza, że: ∫(S(C))rotu◦ndS=const w czasie. Jeśli więc w chwili t₀ na powierzchni płynnej S(C) rozpiętej na krzywej C jest rotu=0, to w dowolnej następnej chwili również będzie rotu=0, co jest treścią tw. Lagrange'a.

Sytuacja taka może się zdarzyć w kilku przypadkach:

● w hydrostatyce, gdzie z założenia u=0, więc i rotu=0;

● przy wypływie ze zbiornika, w którym płyn znajduje się w stanie spoczynku, wprowadzone w ruch elementy płynu nie będą zawirowane niezależnie od stopnia złożoności kanału, przez który następuje wypływ;

● przy opływie ciała strumieniem, który daleko przed ciałem ma równomierny rozkład prędkości (rotu=0), niezależnie od komplikacji pola prędkości w pobliżu ciała nadal rotu=0.

Warunek bezwirowości pociąga za sobą możliwość przedstawienia wektora prędkości u w postaci: u=gradφ, gdzie φ jest potencjałem prędkości. Wtedy bowiem rot gradφ=0. Pole prędkości jest wówczas polem potencjalnym.

RZIR ∂u/∂t+grad[u²/2+P(p)±Π]=u×rotu (równanie Gromeki-Lamba) można teraz zapisać następująco: ∂/∂t•gradφ+grad[u²/2+P(p)±Π]=0. Ponieważ x,y,z,t nie są od siebie zależne: ∂/∂t•gradφ=grad(∂φ/∂t), więc: grad[∂φ/∂t+u²/2+P(p)±Π]=0, co oznacza, że: ∂φ/∂t+u²/2+P(p)±Π=f(t). Jest to całka Lagrange'a. RZM dρ/dt+div(ρu)=0 przybierze postać: dρ/dt+div(ρgradφ)=0, co razem z warunkiem barotropowości ρ=ρ(p) i całką Lagrange'a daje układ trzech równań z trzema niewiadomymi: φ, ρ i p. Dla płynu nieściśliwego RZM przekształca się w równanie Laplace'a div gradφ=∇²φ=Δφ=0 i mamy wtedy tylko dwie niewiadome φ i p.

Rozpatrywana tutaj klasa przepływów potencjalnych bezwirowych dopuszcza istnienie w obszarach wielospójnych tzw. wirów związanych. Obliczając dla krzywej płynnej C₁ (nie obejmującej ciała opływanego) cyrkulację Γ uzyskujemy zero: Γ=∫(C₁)u∂r=∫(C₁)gradφ∂r=∫(C₁)dφ=0, ponieważ wnętrze krzywej C₁ jest objęte całkowicie przepływem bezwirowym. Natomiast dla krzywej C₂ (związanej z ciałem C, z którym związany jest wir o intensywności Ω) jest inaczej. Jeśli oprzeć na niej powierzchnię S(C₂) przecinającą ciało C, to cyrkulacja będzie różna od zera: Γ=∫(C₂)u∂r=∫(S(C₂)rotundS=∫∫(S(C₂))Ω_ndS≠0 mimo faktu, że na zewnątrz pole jest bezwirowe. Idea wirów związanych pozwala na symulowanie rzeczywistego pola prędkości polem prędkości płynu nielepkiego z zadaną wirowością.

4. Przepływy płaskie bezwirowe płynu nieściśliwego.

Dla przepływu płaskiego przyjmiemy następujące uproszczenia:

● kinematyczne: u_x=u_x(x,y); u_y=u_y(x,y); u_z=0;

● fizyczne: płyn nielepki (μ=0), nieściśliwy (ρ=const), przepływ stacjonarny (∂/∂t=0), pomijamy siły masowe (f=0), brak zawirowań (rotu=0).

Przy takich założeniach:

● RZM dρ/dt+ρdivu=0 sprowadza się do divu=0, czyli: ∂u_x/∂x+∂u_y/∂y=0;

● z warunku bezwirowości rotu=0 mamy: ∂u_x/∂y-∂u_y/∂x=0 (Ω_z=0);

● równanie Bernoulliego przybierze postać: ½(u_x²+u_y²)+p/ρ=const.

Powyższy układ jest zamknięty względem u_x, u_y i p.

Warunek bezwirowości dopuszcza istnienie potencjału prędkości φ: u=gradφ=∂φ/∂xi+∂φ/∂yj=u_xi+u_yj. Wtedy RZM przyjmuje postać równania Laplace'a: ∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²=0, a warunek bezwirowości: ∂²φ/∂x∂y-∂²φ/∂x∂y=0. Wprowadzając funkcję prądu Ψ=Ψ(x,y) spełniającą powyższe równanie Laplace'a taką, że: u_x=∂Ψ/∂y i u_y=-∂Ψ/∂x, otrzymujemy: ∂²Ψ/∂x∂y-∂²Ψ/∂y∂x=0 i ∂²Ψ/∂x²+∂²Ψ/∂y²=0 (też równanie Laplace'a).

Linie stałych wartości funkcji prądu (Ψ=const) są liniami prądu, gdyż: dΨ=∂Ψ/∂x•dx+∂Ψ/∂y•dy=-u_ydx+u_xdy=0, co wynika z równania linii prądu: u_x=dx/dt, u_y=dy/dt, u_y/u_x=dy/dx, skąd: u_ydx=u_xdy, czyli: u_ydx-u_xdy=0. Oznacza to, że linie prądu są poziomicami funkcji prądu.

Rozpatrzmy wektory skierowane w kierunku największych zmian wielkości φ i Ψ: gradφ=∂φ/∂xi+∂φ/∂yj i gradΨ=∂Ψ/∂xi+∂Ψ/∂yj. Wewnątrz przepływu dla siatki linii stałych wartości φ (linii ekwipotencjalnych) i Ψ iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest zerem, co przy niezerowych wartościach gradientów oznacza cos90º, czyli gradφ⊥gradΨ, co z kolei oznacza, iż siatka tych linii jest siatką ortogonalną.

Funkcji w(z) zwanej potencjałem zespolonym w(z)=φ(x,y)+iΨ(x,y), gdzie i=(def)√(-1), można przypisać określone pole przepływu, gdyż: ∂φ/∂x=∂Ψ/∂y(=u_x) i ∂φ/∂y=-∂Ψ/∂x(=u_y), które to zależności z formalnego punktu widzenia są warunkami Cauchy'ego-Riemanna koniecznymi i dostatecznymi do istnienia funkcji zmiennej zespolonej argumentu: z=x+iy.

Przykłady:

1. Rozpatrzmy przepływ płaski równoległy określony potencjałem zespolonym w(z)=az, gdzie a=a₀+ia₁: w(z)=(a₀+ia₁)(x+iy)=(a₀x-a₁y)+i(a₁x+a₀y)=φ+iΨ → φ=a₀x-a₁y, Ψ=a₁x+a₀y, u_x=∂φ/∂x=∂Ψ/∂y=a₀, u_y=∂φ/∂y=-∂Ψ/∂x=-a₁. Stałym wartościom C_i funkcji prądu Ψ(x,y) odpowiadają linie prądu: C_i=a₁x+a₀y → y=c₀/a₀-a₁/a₀•x.

2. Zbadajmy potencjał zespolony typu w(z)=a₀•α/Π•z^Π/α reprezentujący opływ naroży o kącie α:

● α=Π, wówczas: w(z)=a₀z=a₀x+ia₀y → φ=a₀x, Ψ=a₀y, u_x=∂φ/∂x=∂Ψ/∂y=a₀, u_y=∂φ/∂y=-∂Ψ/∂x=0. Jest to płaski równoległy będący szczególnym przypadkiem przepływu rozpatrywanego w punkcie 1.

● α=Π/2, wówczas: w(z)=a₀/2•z²=a₀/2•(x²-y²)+ia₀xy → φ=a₀/2•(x²-y²), Ψ=a₀xy, u_x=∂φ/∂x=∂Ψ/∂y=a₀x, u_y=∂φ/∂y=-∂Ψ/∂x=-a₀y. Stałym wartościom C_i funkcji prądu Ψ(x,y) odpowiadają linie prądu: C_i=a₀xy → y=C_i/a₀•1/x, czyli rodzina hiperbol reprezentująca opływ naroża o kącie rozwarcia Π/2.

Potencjał zespolony po zróżniczkowaniu względem z określa nam sprzężoną prędkość zespoloną: dw/dz=∂w/∂x•dx/dz=∂(φ+iΨ)/∂x•1/(dz/dx)=(∂φ/∂x+i•∂Ψ/∂x)•1=u_x-iu_y lub dw/dz=∂w/∂y•dy/dz=∂(φ+iΨ)/∂y•1/(dz/dy)=(∂φ/∂y+i•∂Ψ/∂y)•(-i)=u_x-iu_y. W naszym przypadku: dw/dz=a₀z^(Π-α)/α. Jeśli weźmiemy pod uwagę wzory: z=r•exp(iΘ)=r(cosΘ+isinΘ) → z^(Π-α)/α=r^(Π-α)/α[cos(Π-α/α)+

ELEMENTY GAZODYNAMIKI

1. Ściśliwość płynu.

Materia w każdym stanie skupienia jest podatna na zmiany ciśnienia, ale efekty ściśliwości są szczególnie wyraźne w gazie.

Płyn ściśliwy odpowiada zawsze na dodatni przyrost ciśnienia dodatnią zmianą gęstości: ∂p/∂ρ=a². Wielkość ∂p/∂ρ jest więc podstawowym parametrem charakteryzującym ściśliwość płynu. im mniej ściśliwy jest płyn, tym mniejsza jest zmiana gęstości i tym większa jest wartość pochodnej ∂p/∂ρ. W granicznym przypadku płynu nieściśliwego: ∂p/∂ρ→∞. Dla określenia wartości ∂p/∂ρ konieczna jest znajomość relacji pomiędzy gęstością a ciśnieniem:

● proces izotermiczny - p/ρ=RT=const=a² → a=√(p/ρ)=√(RT);

● proces izentropowy - p/ρ^κ=const (adiabata Poissona) → a²=∂p/∂ρ=const•κ•ρ^κ-1=p/ρ^κ•κ•ρ^κ-1=p/ρ•κ=κRT → a=√(κRT);

● dla cieczy - ρ=ρ₀+α(p-p₀) → ρ=ρ₀(1+(p-p₀)/E) (dla wody E=2,1•10⁴MPa) → (p-p₀)/E=ρ/ρ₀-1=(ρ-ρ₀)/ρ₀ → p=p₀+E/ρ₀•(ρ-ρ₀) → ∂p/∂ρ=E/ρ₀=a² → a=√(E/ρ₀).

2. Rozprzestrzenianie się małych zaburzeń.

Rozpatrzmy najprostszy przypadek ruchu jednowymiarowego we współrzędnych x,t. Niech w chwili t=0 wymuszone będzie małe zaburzenie p' i ρ' w odniesieniu do ciśnienia p₀ i gęstości ρ₀, przy czym p'(t,x)«p₀ i ρ'(t,x)«ρ₀ oraz ρ(t,x)=ρ₀+ρ'(t,x), u_x(t,x)=u'(t,x) i p(t,x)=p₀+p'(t,x). Zadanie polega na prześledzeniu zachowania się zaburzenia w czasie wzdłuż osi x.

Jeśli uwzględnimy fakt ściśliwości, a pominiemy wpływ lepkości (μ=0):

● RZM dρ/dt+div(ρu)=0, gdzie u=u_xi+0j+0k, u_x=u' i ρ=ρ₀+ρ' można przekształcić: ∂ρ'/∂t+∂/∂x•[(ρ₀+ρ')•u']=0 → ∂ρ'/∂t+ρ₀•∂u'/∂x+ρ'•∂u'/∂x+u'•∂ρ'/∂x=0, przy czym dwa ostatnie człony są pomijalnie małe, czyli: ∂ρ'/∂t+ρ₀•∂u'/∂x=0;

● RZIR ∂u/∂t+(ugrad)u=-1/ρ•grad p (f=0) można przekształcić: ∂u'/∂t+u'•∂u'/∂x=-1/(ρ₀+ρ')•∂(p₀+p')/∂x, co przybliżając można zapisać jako: ∂u'/∂t=-1/ρ₀•∂p'/∂x → ∂u'/∂t+1/ρ₀•∂p'/∂x=0 → ∂u'/∂t+1/ρ₀•∂p'/∂ρ'•∂ρ'/∂x=0, gdzie ∂p'/∂ρ'=a² → ∂u'/∂t+1/ρ₀•a²•∂ρ'/∂x=0.

W tym momencie otrzymaliśmy układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi ρ' i u'. Mnożąc RZM•∂/∂t, a RZIR•∂/∂x i odejmując je stronami otrzymamy równanie falowe dla ρ': ∂²ρ'/∂t²-a²•∂²ρ'/∂x²=0, a podstawiając zależność p'/ρ'=a² w formie ρ'=p'/a² otrzymujemy równanie falowe dla ciśnienia: ∂²p'/∂t²-a²•∂²p'/∂x²=0. Natomiast mnożąc RZM•∂/∂x, a RZIR•ρ₀•∂/∂t i odejmując je stronami otrzymamy równanie falowe dla u': ∂²u'/∂t²-a²•∂²u'/∂x²=0.

Zbadajmy jednostkę wielkości a: [a]=[√(p/ρ)]=√[(N/m²)/(kg/m³)]=√[(kg•m/s²m²)/(kg/m³)]=√(m²/s²)=m/s, czyli jest to prędkość.

Niech coś porusza się wzdłuż osi x z prędkością a, startując z punktu x₀: x=x₀±at (± w zależności od kierunku) → x₀=x±at. Wprowadzamy nową zmienną ξ: ξ=x±at. Wtedy rozwiązaniami równań falowych będą dowolne funkcje: ρ'=f(x±at)=ρ'(ξ)«ρ₀, p'=g(x±at)=p'(ξ)«p₀, u'=h(x±at)=u'(ξ)«a. {Weźmy zlinearyzowane RZM: ∂ρ'/∂t+ρ₀•∂u'/∂x=0, wprowadźmy ξ: ∂ρ'/∂ξ•∂ξ/∂t+ρ₀•∂u'/∂ξ•∂ξ/∂x=0 → ∂ρ'/∂ξ•(±a)+ρ₀•∂u'/∂ξ=0 → ∂/∂ξ•(±a•ρ'+ρ₀•u')=0 → ±a•ρ'+ρ₀•u'=C=const. Dla prędkości u'=0 gęstość ρ'=0, stąd C=0, więc: u'=±a•ρ'/ρ₀, co oznacza, że dla ρ'«ρ₀ prędkość u'«a. Gęstość ρ' mogę określić znając p': a²=∂p/∂ρ≈p'/ρ' → ρ'=p'/a².}

Równanie falowe dla gęstości możemy przekształcić, gdyż: ∂ρ'/∂t=∂ρ'/∂ξ•∂ξ/∂t=∂ρ'/∂ξ•(±a) → ∂²ρ'/∂t²=∂²ρ'/∂∂ξ/∂t•(±a)=∂²ρ'/∂a² oraz ∂ρ'/∂x=∂ρ'/∂ξ•∂ξ/∂x=∂ρ'/∂ξ → ∂²ρ'/∂x²=∂²ρ'/∂∂ξ/∂x=∂²ρ'/∂ξ², czyli otrzymamy: a²•∂²ρ'/∂ξ²-a•∂²ρ'/∂ξ²=0. Zaburzenie przemieszcza się w obu kierunkach z prędkością a. Wnioski:

● prędkość małego zaburzenia (np. dźwięku) określona jest przez ściśliwość płynu: √(∂p/∂ρ);

● jeśli p'=p'(ξ), to nawet, gdy zaburzenie się przemieści (inne x i t) ξ będzie to samo, więc i kształt małego zaburzenia będzie ten sam.

Klasyfikacja przepływów ze względu na a:

● u < a - poddźwiękowy (subsoniczny);

● u ≈ a - przydźwiękowy (transsoniczny);

● u > a - naddźwiękowy (supersoniczny);

● u » a - hipersoniczny.

3. Rozprzestrzenianie się zaburzeń o skończonej amplitudzie.

Na tle dużego zaburzenia rozprzestrzenia się małe zaburzenie, następuje deformacja zaburzenia: a_A=(√(∂p/∂ρ))_A»a_B=(√(∂p/∂ρ))_B, gdzie a_A i a_B to lokalne prędkości dźwięku w punktach A i B (punkt A jest wyżej). Jest to sytuacja zasadniczo odmienna od sytuacji rozpatrywanej dla małego zaburzenia, gdzie postać zaburzenia nie ulegała zmianie. W rozpatrywanym przypadku dla t=t₂ mamy już obraz fizycznie nieuzasadniony, gdyż dla x₂ są trzy różne wartości gęstości (ciśnienia) powstałe wskutek formującego się nawisu fali. Jest to sytuacja fizycznie nierealna, gdyż co najwyżej może być sytuacja skoku gęstości (ciśnienia). Jest to ostateczny kształt ewolucji zaburzenia - przemieszczająca się fala uderzeniowa.

W przypadku zaburzenia typu rozrzedzenie następuje rozmywanie czoła zaburzenia, w odróżnieniu od zaburzenia zgęszczeniowego, które staje się bardziej strome, aż do powstania fali uderzeniowej.

4. Gazodynamika prostej fali uderzeniowej.

Najprostszym typem fali uderzeniowej jest fala prosta prostopadła do kierunku przepływu. Zadanie to można traktować jako przepływ jednowymiarowy płasko-równoległy. Fala taka stanowi, z makroskopowego punktu widzenia, nieciągłość większości parametrów (ρ, u, p, T, s). Zadanie polega na obliczeniu tych parametrów za falą znając ich wartości przed falą.

Prędkość dźwięku a wyznaczamy następująco: p/ρ^κ=p₀/ρ₀^κ → p=p₀•(ρ/ρ₀)^κ, a²=∂p/∂ρ=κ•ρ^κ-1•p₀/ρ₀^κ=κ•p/ρ=κRT, gdzie p/ρ=RT w myśl TRS, czyli: a=√(κRT).

Układ równań zachowania przybierze następującą postać:

● RZM: ρ₁u₁s₁=ρ₂u₂s₂, przy czym s₁=s₂, czyli ρ₁u₁=ρ₂u₂;

● RZIR: ρ₁u₁s₁(u₂-u₁)=-(p₂-p₁)s₁ → ρ₁u₁u₂-ρ₁u₁²=p₁-p₂, uwzględniając RZM: ρ₂u₂²-ρ₁u₁²=p₁-p₂ → ρ₁u₁²+p₁=ρ₌₂u₂²+p₂;

● RZE: u₁²/2+c_vT₁+p₁/ρ₁+gz₁=u₂²/2+c_vT₂+p₂/ρ₂+gz₂, przy czym: z₁=z₂ i c_vT+p/ρ=c_pT (KRS?), wtedy: u₁²/2+c_pT₁=u₂²/2+c_pT₂=h₀=c_pT₀, gdzie h₀ to entalpia całkowita;

● TRS: p₁/(ρ₁T₁)=p₂/(ρ₂T₂)=R;

● RBE: s=R/(κ-1)•ln(p/ρ^κ)+s₀.

W fali uderzeniowej następuje przyrost entopii Δs=s₂-s₁>0. Jest to więc proces nieizentropowy. Można go przedstawić na wykresie h-s.

Z RZE u²/2+c_pT=c_pT₀ możemy wyznaczyć temperaturę T* w miejscu, gdzie prędkość u=a*=√(κRT*), czyli krytycznej prędkości dźwięku: κRT*/2+c_pT*=c_pT₀ → T*(κR/2+c_p)=c_pT₀ → T*=c_p/(κR/2+c_p)•T₀=2c_p/(κR+2c_p)•T₀=2c_p/[c_p/c_v•(c_p-c_v)+2c_p]•T₀=2/(κ-1+2)•T₀=2/(κ+1)•T₀, skąd krytyczna prędkość dźwięku wynosi: a*=√[2/(κ+1)•RT₀].

Wprowadzamy dwie bezwymiarowe liczby:

● Macha M=(def)u/a;

● de Lavala (współczynnik prędkości) λ=(def)u/a*=u/√[2/(κ+1)•RT₀]. Liczba de Lavala wiąże ze sobą parametry przed i za falą, gdyż λ₁λ₂=1 (wzór Prandtla).

Zależność między λ i M: λ=√[(κ+1)/2]•M/[√(1+(κ-1)/2•M²)].

Cechy prostej fali uderzeniowej:

● powstaje zawsze tam, gdzie M₁>1;

● za falą uderzeniową M₂<1;

● w fali uderzeniowej występuje dodatni przyrost entropii s₂>s₁;

● dla fali uderzeniowej słuszne są następujące relacje: p₂>p₁, T₂>T₁, ρ₂>ρ₁.

Fala uderzeniowa o bardzo małej intensywności M₁=1+ε, gdzie 0<ε«1, jest małym zaburzeniem i są dla niej ważne te same relacje, co dla małych zaburzeń. Grubość fali uderzeniowej Δx jest kilkanaście razy większa od drogi elektronów swobodnych.

WSTĘP DO TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ

W odróżnieniu od płynu nielepkiego, w płynie rzeczywistym dzięki istnieniu lepkości elementy płynu są hamowane przez znajdujące się w przepływie ciało tak, że jeżeli ciało się nie porusza, to przy samym ciele uzyskują prędkość równą zeru. W przypadku ciała poruszającego się prędkość elementów płynu na powierzchni ciała równa jest prędkości ciała. W pobliżu powierzchni ciał opływanych płynem rzeczywistym obserwuje się duże zmiany prędkości, od zera na powierzchni ciała (u|_S=0) do wartości równej (z dowolnym przybliżeniem) prędkości odpowiadającej przepływowi płynu (u_∞).

Wpływ lepkości przejawia się w pobliżu ciała w stosunkowo niewielkim obszarze, który nosi nazwę warstwy przyściennej. Jest ona bardzo cienka w porównaniu z wymiarem liniowym charakteryzującym długość drogi, na której kształtuje się warstwa przyścienna. Ta cienka warstwa przechodzi w ślad aerodynamiczny za ciałem o korzystnych warunkach opływu. Jeśli warunki te są niekorzystne, to następuje oderwanie strumienia i za ciałem tworzą się wiry lub obszary zastoju.

Z dobrą dla celów praktycznych dokładnością można przyjąć, że na zewnątrz warstwy przyściennej wpływ lepkości jest już pomijalny. Na ogół przyjmuje się, że tam, gdzie prędkość różni się o 1% od prędkości „zewnętrznej” (u_∞), wpływ lepkości można pominąć. Przyjmuje się umownie, że grubość warstwy przyściennej jest określona tą odległością od powierzchni ciała, gdzie u=0,99u_∞.

Przy pełnym poślizgu (płyn nielepki) masowe natężenie przepływu przy powierzchni ciała jest większe niż w przypadku istnienia warstwy przyściennej. W tym drugim przypadku płyn jest jak gdyby wypierany przez warstwę przyścienną. Jest to defekt prędkości, w którym tkwi istota oddziaływania warstwy przyściennej na opływ zewnętrzny. Płyn poza warstwą przyścienną „odczuwa” to tak, jak gdyby opływane ciało było grubsze od rzeczywistego o δ*, gdzie δ* to liniowa miara straty przekroju definiowana jako: ρ_∞u_∞δ*=∫(0,δ)(ρ_∞u_∞-ρu)dy, gdzie δ to grubość wawrstwy przyściennej, lub dla płynu nieściśliwego: u_∞δ*=∫(0,δ)(u_∞-u)dy.

Podział warstwy przyściennej:

1. Strefa laminarna - l - charakteryzująca się brakiem turbulencji i uporządkowanym polem prędkości.

2. Strefa przejściowa - Δl(p) - powstają i zanikają turbulencje.

3. Warstwa turbulentna - t - składa się z czterech stref:

● strefa lepka (brak turbulencji);

● strefa przejściowa;

● strefa logarytmiczna (u~ln(y));

● strefa śladu aerodynamicznego.

„Powyżej” warstwy przyściennej istnieje tzw. strefa zewnętrzna (ruchu turbulentnego), w której powstają fluktuacje. Ruch turbulentny zawsze charakteryzuje się dyssypacją turbulentną, dla której część energii kinetycznej zamieniana jest na energię cieplną. Powstaje wówczas moc dyssypacji: N_dy=∫(τ)μ/T•„D”²dτ.

---