UKŁAD RÓWNAŃ ZACHOWANIA DLA PŁYNU NIELEPKIEGO

RZM

RZIR

RZE

Równanie kaloryczne dla c_v=const :

Równanie stanu w postaci Clausuisa-Clapeyrona
lub

Dla
i

ADIABATA POISONA LUB RÓWNANIE IZENTROPY

Dla każdego elementu płynu
wzdłuż jego trajektorii.

RÓWNANIE BERNOULLIEGO

Założenia: płyn nie lepki (μ=0),barotropowy (ρ = ρ(p)), przepływ stacjonarny ,pole sił masowych ma potencjał Π (f = -gradΠ).

, gdzie trójmian
nazywamy trójmianem Bernoulliego .

E = const dla: linii prądu, linii wirowej, w całej przestrzeni objętej przepływem, przepływu bezwirowego, w sytuacji hydrostat. Dla u = 0. Stałość trój. Berlnoulliego stanowi podstawę do sformułowania Równania Bernouliego
, gdzie P(p) -funkcja ciśnienia; Π-siły masowe. Jeżeli siły masowe to siły grawitacji to
,siły odśrodkowe to
.Funkcja ciśnienia dla płynu nie lepkiego
.

POWIERZCHNIA BERNOULLIEGO

Powierzchnia utworzona z siatka linii prądu i linii wirowych, na której wartość trój. Bernoulliego jest stała.

TWIERDZENIE KELVINA

Pochodna substancjalna cyrkulacji prędkości po krzywej zamkniętej (płynnej) jest równa cyrkulacji przyspieszenia wzdłuż tej krzywej
, jeżeli punkt A ściągniemy do punktu B to zamkniemy krzywą i
, czyli

DRUGIE TWIERDZENIE LAGRANGE'A

W płynie nielepkim, barotropowym w polu potencjalnym sił masowych nie może powstać wirowość. Zatem
, co oznacza, że dla powierzchni płynnej S(C)
Jeżeli w chwili t₀ na powierzchni płynnej S(C) rozpiętej na krzywej C jest rotu=0, to w dowolnej następnej chwili również rotu=0.

CAŁKA LAGRANGE'A

Warunek bezwirowości pociąga za sobą możliwość przedstawienia wektora prędkości u w postaci
, gdzie ϕ jest potencjałem prędkości. Wtedy bowiem rotgradϕ = 0. Pole prędkości jest wówczas polem potencjalnym. Równanie zachowania ilości ruchu:
, oznacza to, że
-całka Lagrange'a. Równanie zachowania masy przybierze postać:

PRZEPŁYWY PŁASKIE BEZWIROWE

Są tylko dwie składowe prędkości (
, ze składowych rotacji tylko normalna do płaszczyzny xy może być różna od zera, jeżeli ruch jest bezwirowy, to składowa rotacji jest równa zeru:
, równanie zachowania masy ma postać
, łącznie z równaniem Bernoulliego
.

Przypadek ciała opływanego i kanału, możliwe warunki dowolnej linii wirowej.

Wektory n i l zostały wybrane tak, aby kat między nimi a osiami x, y były mniejsze od kata prostego. Rzut wektora prędkości u na poszczególne kierunki l i n:
;
;
;

1. Linia l jest opływaną ścianką nieprzepuszczalną dla płynu to u_n=0 zatem
więc ψ=const na opływanej ściance lub też
.

2. Linia l jest przepuszczalna dla płynu-można wyznaczyć natężenie przepływu przez tę linię:
-jest ono równe różnicy wartości funkcji prądu na liniach prądu.

Siatka linii stałych wartości ϕ (linie ekwipotencjalne) i stałych wartości ψ tworzą siatkę ortogonalną, ponieważ gradϕgradψ=0.

KONSTRUKCJA PRZEPŁYWÓW BEZWIROWYCH PRZESTRZENNYCH

Dla ogólnego przypadku przepływu pole prędkości u można wyrazić za pomocą potencjału wektorowego H i potencjału skalarnego ϕ,
. Zapis ten pozwala zaakceptować dwie bardzo istotne w mechanice płynów cechy pól wektorowych - źródłowość i wirowość.

1. wektor jest bezźródłowy (divu =0) -
   (wektor solenoidalny)

2. wektor jest bezwirowy (rotu=0) -
   .

Mając daną dywergencje i rotację wektora u, można wyznaczyć potencjał skalarny ϕ i potencjał wektorowy H:
i
. Dla przepływu bezwirowego i nieściśliwego
i
.

WIROWOŚĆ W PŁYNIE NIELEPKIM

Wirowość w płynie nielepkim podlega prawom wynikającym z równań zachowania. Nie może być generowana i nie ulega dyfuzji w obszarze przepływu ciągłego ( bez fal uderzeniowych). Wyjątkiem jest generacja wirowości na powierzchniach nieciągłości typu fal uderzeniowych o zmiennej intensywności wzdłuż długości fal.

PIERWSZE TW. HELMHOLTZA

- intensywność rurki wirowej, mierzonej cyrkulacją, jest stała wzdłuż jej długości.

DRUGIE TW. HELMHOLTZA

Linie wirowe w przepływie płynu nielepkiego, barotropowego, w polu sil masowych są zachowane, czyli elementy płynu tworzące linię wirową w danej chwili będą ją tworzyły w każdej następnej chwili, mimo ciągłego przemieszczania się w przepływie.

TRZECIE TW. HELMHOLTZA

Mówi o zachowaniu intensywności rurki wirowej w czasie w przepływie płynu nielepkiego, barotropowego, w polu sił masowych, czyli intensywność rurki wirowej, mierzonej cyrkulacją, jest stała w czasie:
.

WIRY DYSKRETNE

Wiry takie indukują wokół siebie potencjalne pole prędkości, opisane potencjałem zespolonym:
. Wir związany z opływanym cylindrem indukował pole prędkości, dając w efekcie siłę nośną. Wir związany skoncentrowany w jednym punkcie zasadniczo różni się od charakteru wirowości rozłożonej w sposób ciągły w przepływie. W punkcie koncentracji wiru
. Jest to punkt osobliwy, taki, że
. W rzeczywistości w przepływach mamy często sytuację poruszających się układów wirów. Przykładem może być układ wirów za ciałem o niekorzystnych warunkach opływu. Za ciałem takim tworzy się ścieżka wirowa, zwana ścieżką Karmana lub wirami Karmana.

ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNU

Jest to cecha charakteryzująca głównie gaz, chociaż ciecz również wykazuje cechy ściśliwości, proporcjonalne do ciśnienia. Płyn ściśliwy odpowiada zawsze na dodatni przyrost ciśnienia dodatnią zmianą gęstości:
(a-prędkość dźwięku) , dla cieczy
, gdzie E jest modułem sprężystości cieczy (dla wody e=2,1*10⁴MPa).

ROZPRZESTRZENIANIE SIĘ MAŁYCH ZABURZEŃ --> [Author:NR]

Rozpatrzmy najprostszy przypadek ruchu jednowymiarowego, we współrzędnych x, t. Niech w chwili t=0 wymuszone będzie małe zaburzone p', ρ' w odniesieniu do ciśnienia p₀ i gęstości ρ₀:
,
. Równania falowe:

dla ρ':

dla p':

dla u':
. Z Interpretacji pochodnej substancjalnej wiadome, że:
. Wyrażenie to jest równe zero, co oznacza rozprzestrzenianie się gęstości ρ' dodatnim i ujemnym w kierunku osi x. Podobnie jest z ciśnieniem p, i prędkością u. Problem rozprzestrzeniania się małych zaburzeń jest typowym problemem akustyki. Dźwięk stanowi małe zaburzenie parametrów, stąd a jest prędkością dźwięku. W płynie nieściśliwym
, co oznacza, że cały obszar natychmiast „dowiaduje się” o ewentualnym zaburzeniu parametru.

ROZPRZESTRZENIANIE SIĘ ZABURZEŃ O SKONCZONEJ AMPLITUDZIE

Rozpatrzmy przypadek, w którym w chwili początkowej powstała na pewnym odcinku fala zgęszczeniowa. Może to być wywołane np. ruchem tłoka w rurze. Zaburzenia gęstości, prędkości i ciśnienia będą się rozprzestrzeniały z prędkością, którą określa część konwekcyjna pochodnej substancjalnej, według relacji:
;
;
. Rozważana fala jest falą parametrów związanych ze sobą w sposób jednoznaczny, zatem
=
=
= C , gdzie C jest to prędkość rozprzestrzeniania się fali niosącej zaburzenia parametrów:
, gdzie a jest prędkością dźwięku różna w, ponieważ w każdym miejscu fali inne parametry określają tę lokalną prędkość dźwięku:
; (a₀ - prędkość dźwięku w miejscu nie zaburzonym). Fale takie nazywamy falami prostymi. W przypadku zaburzenia zgęszczeniowego staje się ono bardziej strome, aż do powstania fali uderzeniowej. Dla zaburzeń typu rozrzedzenie, następuje rozmywanie czoła zaburzenia.

PROSTA FALA UDERZENIOWA

Fala uderzeniowa jednym z bardziej interesujących zjawisk związanych ze ściśliwością płynu. Najprostszym typem fali uderzeniowej jest fala prosta prostopadła do kierunku przepływu. Fala taka stanowi nieciągłość , z punktu widzenia makroskopowego, większości parametrów. Po obu stronach parametry muszą spełniać równania zachowania. Układ równań zachowania (przed falą i za falą rozpatrujemy nierównomierne pole parametrów):
;
;
;
. Wartość lokalnej prędkości dźwięku :

liczba Macha - stosunek prędkości do lokalnej prędkości dźwięku:

współczynnik prędkości (liczba de Lavala) - stosunek prędkości do krytycznej prędkości dźwięku:
. Zależność między M i λ:
.

współczynnik Prandtla - wiąże współczynnik przed i za falą:

równanie adiabaty Hugoniota -

Cechy prostej fali uderzeniowej:

1. fala ud. powstaje zawsze, gdy M₁>1 - przed falą;

2. za falą ud. Prostą M₂<1 - za falą;

3. w fali uderzeniowej występuje dodatni przyrost entropii, s₂>s_1;

4. dla fali ud. Słuszne są następujące relacje: p₂>p₁ , T₂>T₁ , ρ₂>ρ₁.

Fala ud. O bardzo małej intensywności M₁=1+ε , gdzie 0<ε<<1, jest falą akustyczną (małym zaburzeniem). W przepływach naddźwiękowych występują również fale skośne, w których może występować naddźwiękowa prędkość za skośną falą ud. Nieciągłość typu fala ud. jest (z punktu widzenia mikroskopowego) ciągła zmiana parametrów tworzących strukturę fali uderzeniowej. Jest to obszar o silnej zmienności parametrów, charakteryzujących się efektami dyssypatywnymi.

DYSZA de Lavala

Cechą charakterystyczną jest przekrój minimalny, rozdzielający część zwężającą się od części rozszerzającej się. Dysza tak umożliwia rozpędzenie gazu do prędkości ponaddżwiękowej. W najwęższym przekroju osiągana może być co najwyżej prędkość dźwięku. Dysz bez części rozszerzającej się nazywana jest dyszą Bendemanna.

WARSTWA PRZYŚCIENNA

Warstwa przyścienna jest obszar, cienka warstewka w którym przejawia się wpływ lepkości na zmianę prędkości. W płynie lepkim prędkość na ściance opływanego ciała jest równa zeru, elementy płynu są hamowane przez znajdujące się w przepływie ciało tak, że jeżeli ciało się nie porusza, to przy samym ciele uzyskują one prędkość równą zeru. W przypadku ciała poruszającego się, prędkość elementów płynu na powierzchni jest równa prędkości ciała. W.p. przechodzi w ślad aerodynamiczny za ciałem o korzystnych warunkach opływu lub , jeżeli warunki opływu są niekorzystne, to następuje oderwanie strumienia, a za ciałem tworzą się wiry lub obszar zastoju. Grubość w.p. jest określona tą odległością od powierzchni ciała, gdzie prędkość wynosi 0,99 wartości prędkości w nieskończoności. Tam, gdzie prędkości różni się o 1% od prędkości „zewnętrznej”, wpływ lepkości można pominąć.

liniowa miara strat przekroju:
;

liniowa miara strat ilości ruchu:
;

liniowa miara strat energii:

RÓWNANIA PRANDTLA DLA WARSTWY PRZYŚCIENNEJ

---