Nr ćwiczenia: 18	Temat ćwiczenia: Badanie rezonansu elektrycznego w obwodzie RLC	Wydział: FTiMK	Data: 24.10.2000
Zespół nr: 4	Imię i nazwisko: Elżbieta Pojnar	Rok: II	Ocena:

Jeżeli do obwodu składającego się z opornika o oporze R, kondensatora o pojemności C i cewki indukcyjnej o indukcyjności L, przyłożymy napięcie harmoniczne zmienne:

to w obwodzie tym popłynie prąd przemienny:

gdzie: U - wartość chwilowa napięcia

I - wartość chwilowa prądu

U₀ - amplituda napięcia

I₀ - amplituda prądu

- częstość kołowa

f - częstotliwość prądu

φ - przesunięcie fazowe prądu względem napięcia

Natężeniem skutecznym prądu przemiennego I_SK nazywamy takie natężenie prądu stałego, który wydziela w tym samym czasie tę samą ilość energii co prąd przemienny. Korzystając z tej definicji możemy obliczyć wartość skuteczną dla prądu przemiennego. Ciepło wydzielane w oporniku R przez prąd przemienny w ciągu jednego okresu T jest równe ciepłu wydzielanemu w tym samym czasie przez prąd stały o natężeniu skutecznym I_SK.

Stąd otrzymujemy:

Podobnie dla napięcia prądu przemiennego dostaniemy:

Powyższe dwa wzory możemy zastosować również dla prądu zmiennego. Opór Z obwodu prądu przemiennego nosi nazwę impedancji (zawady) i definiujemy go jako:

Prąd przemienny
płynąc przez opór R wywołuje spadek potencjału:

Nie ma tutaj przesunięcia fazowego między prądem i napięciem, zawada omowa (rezystancja) jest równa R.

Napięcie U_L na cewce o indukcyjności L i R_L = 0, gdy płynie przez nią prąd przemienny jest równe:

Napięcie na cewce wyprzedza prąd w fazie o π/2 (lub prąd opóźnia się w fazie względem napięcia o π/2). Zawada indukcyjna X_L jest równa

Podobnie prąd zmienny płynący przez kondensator o pojemności C wywołuje spadek potencjału U_C na jego okładkach równy:

Wówczas napięcie opóźnia się w fazie względem prądu o π/2 (prąd wyprzedza napięcie o π/2). Zawada pojemnościowa X_C jest równa:

Zależność R, X_L, X_C od częstotliwości prądu zmiennego przedstawiam na wykresie nr2.

W obwodach zawierających R, L, C dla pewnych częstotliwości zmian napięcia zasilania może dojść do zjawiska rezonansu. Jeżeli rozważymy szeregowy obwód RLC napięcia na każdym elemencie obwodu przy przepływie prądu przemiennego wynoszą U_R, U_L, U_C. Natomiast napięcie źródła jest równe:

Sumowanie napięć możemy wykonać również metodą graficzną. Wykres wektorowy przedstawia rys.3.

Z relacji między napięciami i własnościami trójkąta prostokątnego, który one tworzą otrzymujemy:

Zatem zawada dana jest wzorem:

Kąt przesunięcia fazowego prądu względem napięcia obliczamy ze wzoru:

Przykładając do szeregowego obwodu RLC zmienne napięcie
otrzymujemy prąd o natężeniu skutecznym:

Wzór ten przedstawia równanie krzywej rezonansowej I_SK(ω), co ilustruje rys.4.

Rezonans polega na maksymalnym przekazywaniu energii z jednego układu drgającego do drugiego. Zachodzi to wówczas, gdy częstotliwości drgań tych układów są równe. Zjawisko rezonansu występuje nie tylko w obwodach RLC, ale spotykamy także rezonans mechaniczny, akustyczny.

Dla elementów R, L, C największy prąd popłynie wówczas, gdy:

co odpowiada warunkowi, że X_L = X_C. Uwzględniając przesunięcie fazowe otrzymamy łączny spadek potencjału na cewce i kondensatorze równy 0. W obwodzie szeregowym RLC występuje wówczas rezonans napięć dla częstości rezonansowej ω_r równej częstości drgań własnych układu:

a prąd rezonansowy I_r przyjmuje wartość:

gdzie: I_r - skuteczny prąd o maksymalnej wartości. W obwodzie wydziela się maksymalna energia:

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla równoległego obwodu RLC, gdzie występuje rezonans prądowy. Schemat przedstawia rys.5.

Przy równoległym połączeniu kondensatora i cewki, przesunięcia fazowe prądów są takie, że prądy płyną w gałęziach w przeciwne strony. Jeśli spełniony jest warunek X_L = X_C, to:

Wypadkowa oporność R_w równoległego połączenia dąży do nieskończoności. Prąd w nierozgałęzionej części obwodu osiąga wartość minimalną, a prądy płynące w gałęziach zawierających indukcyjność i pojemność wielokrotnie przewyższają prąd źródła. Jest to rezonans prądowy, gdzie zawada jest dana wzorem:

Krzywą rezonansową równoległego obwodu RLC przedstawia rys.6.

Równanie krzywej rezonansowej możemy uzyskać również rozwiązując równanie różniczkowe drgań wymuszonych napięciem
.

Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymamy:

gdzie:

Wstawiając do powyższego równania otrzymamy:

Po zróżniczkowaniu i przekształceniu równania otrzymamy:

Jest to równanie różniczkowe drugiego stopnia, które dla ustalonych wartości ma następujące rozwiązanie:

gdzie:

---