Nr ćwiczenia: 18	Temat ćwiczenia: Badanie rezonansu elektrycznego w obwodzie RLC	Wydział: FTiMK	Data: 24.10.2000
Zespół nr: 4	Imię i nazwisko: Elżbieta Pojnar	Rok: II	Ocena:

Jeżeli do obwodu składającego się z opornika o oporze R, kondensatora o pojemności C i cewki indukcyjnej o indukcyjności L, przyłożymy napięcie harmoniczne zmienne:

to w obwodzie tym popłynie prąd przemienny:

gdzie: U - wartość chwilowa napięcia

I - wartość chwilowa prądu

U₀ - amplituda napięcia

I₀ - amplituda prądu

- częstość kołowa

f - częstotliwość prądu

φ - przesunięcie fazowe prądu względem napięcia

Natężeniem skutecznym prądu przemiennego I_SK nazywamy takie natężenie prądu stałego, który wydziela w tym samym czasie tę samą ilość energii co prąd przemienny. Korzystając z tej definicji możemy obliczyć wartość skuteczną dla prądu przemiennego. Ciepło wydzielane w oporniku R przez prąd przemienny w ciągu jednego okresu T jest równe ciepłu wydzielanemu w tym samym czasie przez prąd stały o natężeniu skutecznym I_SK.

Stąd otrzymujemy:

Podobnie dla napięcia prądu przemiennego dostaniemy:

Powyższe dwa wzory możemy zastosować również dla prądu zmiennego. Opór Z obwodu prądu przemiennego nosi nazwę impedancji (zawady) i definiujemy go jako:

Prąd przemienny
płynąc przez opór R wywołuje spadek potencjału:

Nie ma tutaj przesunięcia fazowego między prądem i napięciem, zawada omowa (rezystancja) jest równa R.

Napięcie U_L na cewce o indukcyjności L i R_L = 0, gdy płynie przez nią prąd przemienny jest równe:

Napięcie na cewce wyprzedza prąd w fazie o π/2 (lub prąd opóźnia się w fazie względem napięcia o π/2). Zawada indukcyjna X_L jest równa

Podobnie prąd zmienny płynący przez kondensator o pojemności C wywołuje spadek potencjału U_C na jego okładkach równy:

Wówczas napięcie opóźnia się w fazie względem prądu o π/2 (prąd wyprzedza napięcie o π/2). Zawada pojemnościowa X_C jest równa:

Zależność R, X_L, X_C od częstotliwości prądu zmiennego przedstawiam na wykresie nr2.

W obwodach zawierających R, L, C dla pewnych częstotliwości zmian napięcia zasilania może dojść do zjawiska rezonansu. Jeżeli rozważymy szeregowy obwód RLC napięcia na każdym elemencie obwodu przy przepływie prądu przemiennego wynoszą U_R, U_L, U_C. Natomiast napięcie źródła jest równe:

Sumowanie napięć możemy wykonać również metodą graficzną. Wykres wektorowy przedstawia rys.3.

Z relacji między napięciami i własnościami trójkąta prostokątnego, który one tworzą otrzymujemy:

Zatem zawada dana jest wzorem:

Kąt przesunięcia fazowego prądu względem napięcia obliczamy ze wzoru:

Przykładając do szeregowego obwodu RLC zmienne napięcie
otrzymujemy prąd o natężeniu skutecznym:

Wzór ten przedstawia równanie krzywej rezonansowej I_SK(ω), co ilustruje rys.4.

Rezonans polega na maksymalnym przekazywaniu energii z jednego układu drgającego do drugiego. Zachodzi to wówczas, gdy częstotliwości drgań tych układów są równe. Zjawisko rezonansu występuje nie tylko w obwodach RLC, ale spotykamy także rezonans mechaniczny, akustyczny.

Dla elementów R, L, C największy prąd popłynie wówczas, gdy:

co odpowiada warunkowi, że X_L = X_C. Uwzględniając przesunięcie fazowe otrzymamy łączny spadek potencjału na cewce i kondensatorze równy 0. W obwodzie szeregowym RLC występuje wówczas rezonans napięć dla częstości rezonansowej ω_r równej częstości drgań własnych układu:

a prąd rezonansowy I_r przyjmuje wartość:

gdzie: I_r - skuteczny prąd o maksymalnej wartości. W obwodzie wydziela się maksymalna energia:

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla równoległego obwodu RLC, gdzie występuje rezonans prądowy. Schemat przedstawia rys.5.

Przy równoległym połączeniu kondensatora i cewki, przesunięcia fazowe prądów są takie, że prądy płyną w gałęziach w przeciwne strony. Jeśli spełniony jest warunek X_L = X_C, to:

Wypadkowa oporność R_w równoległego połączenia dąży do nieskończoności. Prąd w nierozgałęzionej części obwodu osiąga wartość minimalną, a prądy płynące w gałęziach zawierających indukcyjność i pojemność wielokrotnie przewyższają prąd źródła. Jest to rezonans prądowy, gdzie zawada jest dana wzorem:

Krzywą rezonansową równoległego obwodu RLC przedstawia rys.6.

Równanie krzywej rezonansowej możemy uzyskać również rozwiązując równanie różniczkowe drgań wymuszonych napięciem
.

Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymamy:

gdzie:

Wstawiając do powyższego równania otrzymamy:

Po zróżniczkowaniu i przekształceniu równania otrzymamy:

Jest to równanie różniczkowe drugiego stopnia, które dla ustalonych wartości ma następujące rozwiązanie:

gdzie:

Wykonanie ćwiczenia:

1. Łączymy szeregowo układ według schematu, a otrzymane wyniki przedstawiamy w tabeli:

Lp.	f[Hz]			Z[Ω]
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.	100 130 160 190 220 250 260 270 280 290 300 305 310 315 320 330 340 350 370 400 430 460 490 520 550 580 610	3,5 4,8 6,2 8,1 10,1 12,1 12,5 13,05 13,3 13,6 13,65 13,63 13,7 13,55 13,45 13,2 12,9 12,6 11,7 10,5 9,5 8,6 7,8 7,1 6,6 6,1 5,7		1428,57 1041,67 806,45 617,28 495,05 413,22 400,00 383,14 375,94 367,65 366,30 366,84 364,96 369,00 371,75 378,79 387,60 396,83 427,35 476,19 526,32 581,40 641,03 704,23 757,58 819,67 877,19

Zawadę Z obliczam z następującego wzoru:
, a otrzymane wyniki umieszczam w powyższej tabeli. Na papierze milimetrowym sporządzam charakterystyki:
i Z(f).

Dla krzywej
wyznaczam wartość częstotliwości rezonansowej ze wzoru:

Z tego samego wzoru po odpowiednim przekształcenie obliczam indukcyjność cewki:

Obliczam błąd metodą pochodnej logarytmicznej:

Obliczam błąd maksymalny i procentowy:

Wykonuję drugi pomiar dla połączenia szeregowego:

Lp.	f[Hz]			Z[Ω]
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.	100 130 160 190 220 240 250 260 270 280 285 290 300 310 320 330 340 370 400 430 460 490 520 550 580	3,40 4,70 6,30 8,30 10,70 12,30 12,80 13,30 13,70 13,90 14,00 13,90 13,70 13,40 13,00 12,50 12,00 10,50 9,20 8,20 7,30 6,60 6,10 5,60 5,20		1470,59 1063,83 793,65 602,41 467,29 406,50 390,63 375,94 364,96 359,71 357,14 359,71 364,96 373,13 384,62 400,00 416,67 476,19 543,48 609,76 684,93 757,58 819,67 892,86 961,54

Zawadę Z obliczam z następującego wzoru:
, a otrzymane wyniki umieszczam w powyższej tabeli. Na papierze milimetrowym sporządzam charakterystyki:
i Z(f).

Dla krzywej
wyznaczam wartość częstotliwości rezonansowej ze wzoru:

Z tego samego wzoru po odpowiednim przekształcenie obliczam indukcyjność cewki:

Obliczam błąd metodą pochodnej logarytmicznej:

Obliczam błąd maksymalny i procentowy:

2. Łączymy szeregowo układ według schematu, a otrzymane wyniki przedstawiamy w tabeli:

Lp.	f[Hz]			Z[Ω]
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.	100 130 160 190 220 250 260 270 280 290 295 300 305 310 320 330 340 370 400 430 460 490	12,10 10,40 8,30 6,70 5,30 4,20 4,00 3,70 3,60 3,50 3,45 3,40 3,45 3,50 3,60 3,70 3,80 4,50 5,40 6,30 7,30 8,20		413,22 480,77 602,41 746,27 943,40 1190,48 1250,00 1351,35 1388,89 1428,57 1449,28 1470,59 1449,28 1428,57 1388,89 1351,35 1315,79 1111,11 925,93 793,65 684,93 609,76

Zawadę Z obliczam z następującego wzoru:
, a otrzymane wyniki umieszczam w powyższej tabeli. Na papierze milimetrowym sporządzam charakterystyki:
i Z(f).

Dla krzywej
wyznaczam wartość częstotliwości rezonansowej ze wzoru:

Z tego samego wzoru po odpowiednim przekształcenie obliczam indukcyjność cewki:

Obliczam błąd metodą pochodnej logarytmicznej:

Obliczam błąd maksymalny i procentowy:

Otrzymane wyniki różnią się od tych otrzymanych empirycznie. Na błąd pomiarowy miały wpływ zapewne warunki pracowni, źle wycechowany sprzęt jak i niedokładność niektórych przyrządów służących do pomiaru.

---