1. Scharakteryzuj poglądy Piageta na rozwój intelektualny dziecka, przedstawiając ważne pojęcia tej teorii jak np.: asymilacja, interioryzacja, operacja.

Według Piageta rozwój umysłowy:

• przebiega na kontinuum w ustalonym porządku

• każda struktura i każda zmiana wynikają logicznie ze stanów poprzednich i są z nimi zintegrowane

• zmiany w rozwoju są stopniowe i nigdy nie są gwałtowne; schematy poznawcze są krok po kroku konstruowane i rekonstruowane (modyfikowane)

• każdy postęp, każdą nową konstrukcję cechuje jakościowo odmienne rozumowanie.

Rozwój opiera się na współdziałaniu dwóch procesów:

1. asymilacji - kiedy nowe treści są włączane do istniejących schematów (zmiany ilościowe)

5. nowy przedmiot lub idea zostaje zrozumiany w kategoriach pojęć lub czynności jakie dziecko już zna; (przekształcanie otoczenia, by dopasować go do własnej struktury)

b) akomodacji - tworzeniu nowych schematów lub modyfikacji starych (zmiany jakościowe);

• przekształcanie własnej struktury zgodnie z obiektywnymi własnościami zewnętrznej sytuacji i wymaganiami otoczenia;

W okresie przedoperacyjnym rozwija się myślenie konkretno-wyobrażeniowe, oparte na mechanizmie interioryzacji.

Interioryzacja - to przekształcanie się działań zewnętrznych w czynności dokonywane w myśli, w wyobraźni (wewnętrzne działanie).

Centracja - skupienie dziecka w okresie myślenia przedoperacyjnego na jednym tylko aspekcie problemu.

Egocentryzm myślenia - poznawanie świata wyłącznie z własnej perspektywy.

Operacja - czynność zinterioryzowana (wykonywana w myśli, w wyobraźni), odwracalna (może przebiegać w danym kierunku lub kierunku przeciwnym), umożliwia łączenie przeciwstawnych czynności w jedną całość, może łączyć się w całościowe systemy.

2. Scharakteryzuj myślenie dziecka w okresie przedoperacyjnym i w okresie rozwoju operacji konkretnych, zwracając uwagę na cechy ważne dla edukacji matematycznej.

Okres przedoperacyjny dotyczy dzieci w wieku 2-6 lat.

W tym stadium rozwija się myślenie konkretno-wyobrażeniowe, oparte na mechanizmie interioryzacji (uwewnętrznienia) oraz funkcja symboliczna.

Najważniejszymi cechami okresu przedoperacyjnego są:

• rozumowanie zdominowane przez percepcję; myślenie dokonuje się za pomocą obrazów, z przewagą sytuacji statystycznych nad przekształceniami

• w konflikcie: percepcja a rozumowanie, zwycięża percepcja

- czynności te są nieodwracalne;

- cent racja - skupienie dziecka w okresie myślenia przedoperacyjnego na jednym tylko aspekcie problemu

- egocentryzm myślenia - poznawanie świata wyłącznie z własnej perspektywy; konsekwencje  brak rozumienia, że inni mogą dochodzić do wniosków różniących się od tych, do których ono doszło; brak sprawdzania trafności swojego myślenia.

Okres operacji konkretnych dotyczy dzieci w wieku 6-11 lat.

• Zachowanie stałości (niezmiennika) mimo obserwowanych zmian. Tą zdolność uważa się za dowód pojawienia się operacji na poziomie struktur konkretnych.

• Procesy rozumowania stają się logiczne: w sytuacji konfliktu między percepcją, a rozumowaniem, sądy opierają się na rozumowaniu.

• Odwracalność pozwala na korygowanie myślenia (cofnięcia linii swego rozumowania do punktu wyjścia).

• Nabywaniu odwracalności towarzyszy narastająca zdolność dziecka do decentracji, a także zmniejszający się egocentryzm myślenia.

• Oprócz sytuacji statystycznych, dziecko jest zdolne do rozumienia sensu przekształceń, a zinterioryzowane czynności umysłowe mogą już tworzyć całościowe systemy, dające się składać, odwracać i ujmować z różnych punktów widzenia.

W systemie operacji konkretnych tworzą się dwie ważne z punktu matematycznego widzenia struktury:

1. szeregowanie - podstawa: dostrzeganie różnic i umiejętności (umysłowego) rozmieszczania zestawu elementów na jakimś wymiarze, np. wielkość, ciężar, objętość;

2. klasyfikacja - podstawa: dostrzeganie podobieństw i umiejętność grupowania przedmiotów według nich.

3. Przedstaw pojęcie klasyfikacji. Wyjaśnij rolę umiejętności klasyfikowania w edukacji dziecka.

Klasyfikacją nazywamy logiczny podział pewnego zbioru elementów na podzbiory, spełniający warunki:

• sumą (mnogościową) wyróżnionych podzbiorów jest dany zbiór;

• każde dwa podzbiory są rozłączne

• wyróżnione podzbiory są niepuste.

Klasyfikowanie (podział zbioru na klasy) opiera się na łączeniu elementów w klasy na podstawie związków zachodzących między nimi (podobieństw - wspólnoty cech, warunków itp.). Tak otrzymane podzbiory nazywamy klasami abstrakcji lub krótko - klasami.

Z punktu widzenia wyróżnionej cechy przedmioty należące do tej samej klasy uważamy za „równoważne”.

Po co dziecku czynności klasyfikowania?

1. Wprowadzanie ładu w świecie

2. Tworzenie klasy pojęciowej - jeden ze sposobów konstruowania pojęcia.

Zbiór  klasyfikowanie

Klasyfikacja 

 pojęcie

4. Przedstaw główne etapy kształtowania klasyfikacji w rozwoju dziecka. Jakie umiejętności dziecka są podstawą dla czynności klasyfikowania?

Główne etapy kształtowania się klasyfikacji:

1. Tworzenie „zbiorów figuratywnych”.

2. Etap przejściowy: tworzenie par, tworzenie ciągów; tworzenie „kompleksów”, wiek 4-5 lat.

3. Klasyfikowanie empiryczne: tworzenie kolekcji; klasyfikacja według jednego kryterium (wyczerpująca, ale bez rozumienia zawierania się klas; wiek 6-7 lat).

4. Klasyfikacja operacyjna: klasyfikowanie hierarchiczne; (rozumienie relacji między klasami oraz podklasami, zdolność przewidywania kryteriów klasyfikacyjnych, dostrzeganie możliwości zmiany kryterium, zdolność do budowania klasyfikacji hierarchicznych; wiek ok. 8 r.ż).

Umiejętności dziecka, które są podstawą dla czynności klasyfikowania to:

1. spostrzeganie, wyodrębnianie i nazywanie cech ważnych (charakterystycznych, istotnych) dla różnych przedmiotów z otoczenia dziecka;

2. porównywanie przedmiotów z dostrzeganiem cech będących podstawą różnic i podobieństwa;

3. umiejętność rozpoznawania przedmiotu na podstawie opisu jego istotnych cech (przygotowanie do definiowania)

5. W okresie operacji konkretnych tworzą się podstawy operacji kombinatorycznych. Na czym polega ich znaczenie w rozwoju dziecka? Jakie ćwiczenia możesz zaproponować dzieciom?

Kombinatoryka jest podstawową strukturą wprowadzającą w świat tego co „możliwe”.

Przykładowym ćwiczeniem może być zaprezentowanie dzieciom kilku różnokolorowych krążków, przedmiotów i poproszenie dziecka, aby zbudowało z nich tyle różnokolorowych par, na ile jest to możliwe.

6. Przedstaw teorię Brunera, charakteryzując wyróżnione przez niego typy reprezentacji.

Bruner wyznaje pogląd, że rozwój poznawczy człowieka przebiega według pewnej sekwencji stadiów.

Kluczowym pojęciem w tej teorii jest reprezentacja, czyli sposób kodowania i przedstawiania świata rzeczy i zdarzeń.

Bruner zdefiniował trzy formy takich reprezentacji. Mają one charakter kolejnych faz przez które przechodzi człowiek w swym rozwoju poznawczym.

Trzy systemy reprezentacji
enaktywana (przez działanie)	ikoniczna (przez obraz)	symboliczna (przez słowa i symbole matematyczne)
wykonywanie czynności konkretnych na przedmiotach	przedmioty wyobrażone i ich własności przedstawione są w postaci rysunku, schematu	ustalony kod symboliczny; opis słowny i formuły matematyczne
reprezentacja enaktywna to wiedza o czymś zawarta w konkretnym działaniu

Typy reprezentacji mają charakter preferencyjny: z żadnej z nich nie wychodzimy na zawsze.

Rozwój polega na opanowywaniu kolejno tych trzech form reprezentacji wraz z umiejętnością przekładu każdego z nich na pozostałe.

7. Jakie znasz aspekty liczby naturalnej? Omów najważniejsze z nich. Przedstaw zasady prawidłowego liczenia.

W edukacji wczesnoszkolnej, korzystając z sytuacji rzeczywistych, kształtujemy pojęcie liczby naturalnej jako syntezę trzech zasadniczych aspektów (sposobów użycia) tego pojęcia:

• liczby kardynalnej - określa, ile elementów ma dany zbiór

• liczby porządkowej - określa, który z kolei element danego zbioru rozpatrujemy

• liczby będącej wynikiem mierzenia wielkości ciągłych - liczba jest miarą pewnej wielkości ciągłej długości, pola, objętości, czasu, temperatury itp.

ASPEKT KARDYNALNY

U podstaw pojęcia liczby naturalnej jako liczby kardynalnej leży pojęcie równoliczności zbiorów.

• Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między elementami tych zbiorów.

• Różne zbiory skończone możemy pogrupować w klasy zbiorów równolicznych.

• O zbiorach tej samej klasy mówimy, że mają tą samą liczność (moc), tą samą liczbę kardynalną.

• W tym aspekcie każda z klas może być utożsamiana z pewną liczbą naturalną (mówimy, że w tym aspekcie liczba naturalna jest wspólną cechą klasy zbiorów równolicznych).

ASPEKT PORZĄDKOWY

Liczba porządkowa - w sensie rozpatrywanym w klasach początkowych - to:

Liczba naturalna „i” określająca miejsce elementu a₁ przy pewnym ustaleniu elementów danego zbioru A w ciąg a₁, a₂, …, a_n.

ASPEKT MIAROWY

W aspekcie miarowym liczba jest miarą pewnej wielkości ciągłej, czyli takiej, która może się zmieniać w sposób ciągły poprzez wszystkie wartości pośrednie.

Trudności:

• Pomiar jest zawsze tylko przybliżony.

• Wynik pomiaru może być liczbą naturalną, ale może być też liczbą wymierną, a nawet niewymierną.

• Wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki: ta sama wielkość przy różnych jednostkach ma różne miary.

Inne aspekty liczby naturalnej:

• algebraiczny

• kodowy

• operatorowy

• liczba jako wartość

Zasady prawidłowego liczenia:

1. Zasada jednoznacznej odpowiedniości, nazywana zasadą „jeden do jednego”.

2. Zasada ustalonej kolejności: zawsze podawaj nazwy liczb w tej samej kolejności.

3. Zasada kardynalności - ostatni wypowiadany liczebnik ma podwójne znaczenie.

• oznacza ostatni liczony przedmiot

• określa liczbę policzonych przedmiotów (jest liczbą kardynalną zbiorów)

IV. Zasada abstrakcji - wymienione powyżej zasady zliczania mogą być zastosowane wobec każdego zestawu elementów, nawet niejednorodnych.

V. Zasada niezależności porządkowej - elementy z dowolnego zestawu mogą być zliczane w dowolnym porządku.

8. Jak określamy dodawanie liczb? Przedstaw sumę liczb w każdym z trzech podstawowych aspektów: mnogościowym, porządkowym i miarowym.

Dodawanie jest działaniem, które parze liczb (a, b) przyporządkowuje liczbę c= a+b.

Wynik dodawania nazywa się sumą, dodawanie liczby - składnikami sumy.

Suma każdych dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną.

Aspekt mnogościowy sumy liczb  występuje na bazie aspektu kardynalnego liczby.

• Mamy dwa zbiory A, B rozłączne i takie, że zbiór A składa się z elementów, zbiór B z elementów.

• Tworzymy sumę (złączenie) tych zbiorów. Liczba elementów złączenia tych zbiorów jest właśnie sumą liczb a i b.

Aspekt mnogościowy sumy liczb  jest widoczny w tych zadaniach, w których do liczby elementów zbioru pierwszego doliczamy elementy zbioru drugiego, numerując je.

Aspekt miarowy sumy liczb  np. (wykorzystując długości):

Biorąc klocek o długości a i dołączając do niego klocek o długości b uzyskamy „pociąg” o długości a + b.

9. Jak określamy odejmowanie liczb? Scharakteryzuj odejmowanie jako ubywanie i jego dopełnianie.

Odejmowanie jest działaniem, które parze liczb (a, b) przyporządkowuje liczbę c taką, że b + c = a.

ODEJMOWANIE jest działaniem, które parze liczb (a,b, gdzie a>b) przyporządkowuje liczbę c taką, że b+c=a <=> a-b=c.

Przy tworzeniu różnicy zbiorów, zbiór B (składający się z b elementów) zawarty jest w zbiorze A (składającym się z a elementów). Wynik odejmowania nazywany jest różnicą.

UBYWANIE (UJMOWANIE) - od niego zaczyna się edukację odejmowania, ponieważ jest najłatwiejsze dla dziecka. Wiąże się z ASPEKTEM MIAROWYM, polegającym na skróceniu odcinka o długości a o długość b.

DOPEŁNIENIE - trudniejsza postać odejmowania. Przy tworzeniu dopełnienia zbiorów, zbiór A (składający się z a elementów) należy do zbioru B (składający się z b elementów). Dopełnieniem (x) zbioru A nazywa się różnicę B\A gdzie {x należy B; x nie należy A}.

10. Mnożenie jest działanie liczb, które parze liczb (a, b) przyporządkowuje liczbę c = a * b.

Wynik mnożenia - iloczyn; mnożone liczby - czynniki.

Iloczyn każdych dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną.

3 podstawowe sposoby określania i przedstawiania iloczynu w klasach początkowych:

a) poprzez sumę jednakowych składników:

Iloczyn a * b to wynik a-krotnego dodawania b

a * b = b + b + b + b + b + b + b ….+ b dla a ≥1

dla a = 0, 0 * b = 0

dla a = 1, 1 * b = b

Zaleta  oparcie się na znanym działaniu.

Wada  nie widać natychmiast przemienności, nie można uogólnić na liczby wymierne.

Dla a = 0 i a = 1 iloczyn wprowadzamy oddzielnie.

b) Poprzez interpretację geometryczną - wykorzystując pole prostokąta.

Iloczyn liczb a * b jest liczbą kwadratów jednostkowych, z których składa się prostokąt

o długości a jednostek i szerokości b jednostek.

c) W oparciu o pojęcie iloczynu kartezjańskiego:

Jeśli mamy dwa skończone zbiory A i B mające odpowiednio a i b elementów, to iloczyn a * b jest liczbą elementów iloczynu kartezjańskiego A * B.

11. 11. Dzielenie jest działaniem, które parze liczb (a, b), z których druga jest różna od zera, przyporządkowuje liczbę c taką, że b * c = a, czyli podzielenie liczby a przez b, to znalezienie takiej liczby c, że b * c = a (lub c * b = a), np. 15:3=5 bo 3*5=15.

Dzielna - a, dzielnik - b, iloraz - c

Dzielenie jest działaniem pozwalającym znaleźć drugi czynnik, gdy dany jest iloczyn i jeden z czynników.

W zbiorze liczb naturalnych dzielenie nie zawsze jest wykonalne.

Podział i mieszczenie:

a) 15 sadzonek bratków trzeba posadzić do trzech skrzynek po tyle samo do każdej. Po ile będzie w każdej skrzynce?

- arytmetycznie: „3 razy po ile jest 15?”

- w postaci równania: 3 * x = 15

Rozwiązaniem jest iloraz 15:3, czyli 5.

Typowe zadanie na podział!

Zbiór mający a elementów dzielimy na b podzbiorów o tej samej liczbie elementów. Pytamy, po ile elementów będzie w każdym podzbiorze?

Rozwiązanie tego zadanie sprowadza się do rozwiązanie równania b * x = a.

Równanie to może nie mieć rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych, wtedy żądany rozkład danego zbioru jest niemożliwy. Jeśli ma rozwiązanie, to jest nim iloraz a * b (przy założeniu, że b jest różne od zera).

b) 15 bratków trzeba posadzić do skrzynek tak, aby w każdej były 3 bratki. Ile skrzynek trzeba przygotować?

- arytmetycznie: „ile razy po 3 jest 15?”

- w postaci równania: x * 3 = 15

Rozwiązanie jest również iloraz 15:3, czyli liczba 5.

Typowe zadanie na mieszczenie!

---