I. WSTĘP TEORETYCZNY

W przyrodzie spotykamy wiele zjawisk, które dają się opisać jedynie metodami statystycznymi. Zjawiska takie występują w takich układach fizycznych, które składają się z wielu identycznych elementów. Każdy z nich może przyjmować dwa lub kilka stanów w sposób niezależny od zachowania pozostałych, czyli zachowuje się w sposób statycznie niezależny. Do opisu zachowania się zespołów statycznych stosujemy procedury zwane rozkładami statystycznymi, które określają prawdopodobieństwo wystąpienia danej sytuacji w zespole statystycznym, np. w zespole składającym się z czterech spinów gdzie każdy może przyjmować stan różny od pozostałych.

Rozkład dwumienny:

Rozważmy układ N spinów połówkowych znajdujący się w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji
. Każdy moment magnetyczny może być skierowany w górę lub w dół. Weźmy jeden spin i oznaczmy prawdopodobieństwo , że jego moment magnetyczny skierowany jest w górę przez p, a przez q, że jego moment magnetyczny skierowany jest w dół. Wynika z tego , że

p+q=1

czyli q=1-p. Przy braku pola nie istnieje w przestrzeni żaden wyróżniony kierunek, czyli p=q=0,5. Jeżeli pole zewnętrzne istnieje, to szansa na to, że moment magnetyczny będzie zgodny z kierunkiem tego pola będzie większa niż szansa, że będzie on skierowany przeciwnie, czyli p>q. Jako że układ jest idealny, prawdopodobieństwo, że któryś z momentów będzie skierowany do góry nie zależy od tego czy któryś będzie skierowany w górę czy w dół. Spośród wszystkich N momentów magnetycznych, liczbę tych, które są skierowane do góry oznaczmy przez n, a te skierowane w dół przez n'. Wynika z tego, że

n+n'=N

n'=N-n

Prawdopodobieństwo, że n spośród N momentów magnetycznych skierowanych jest do góry dla każdej z możliwych wartości wynosi.:

/1/

Funkcja ta nazywa się rozkładem dwumiennym.

Suma wszystkich możliwych prawdopodobieństw równa się jedności:

/2/

Rozkład normalny:

Obliczanie prawdopodobieństwa z powyższych wzorów jest bardzo kłopotliwe, ze względy na konieczność liczenia silni dużych liczb. W tym wypadku prawdopodobieństwo P(n) wykazuje dzwonowate wzniesienie, którego maksimum przypada w miejscu równym średniej arytmetycznej wszystkich n:

/3/

Dla tego przypadku rozkładu dwumiennego istnieje wzór na tzw. rozkład Gaussa:

/4/

- wartość średnia określająca położenie rozkładu

- odchylenie standardowe określające szerokość piku rozkładu, obliczane wzorem:

/5/

Rozkład Gaussa obowiązuje w sąsiedztwie
, tzn. gdy n są bliskie
.

III. OBLICZENIA I ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYNIKÓW:

1. Schodkowy histogram zależności ilości x(n) od numeru przedziału.

Szerokość przedziału 0,5 (wykres nr 1).

Wykres nr 1

2. Wyznaczenie punktów pomocniczych

/6/

Tabela nr 1. Zestawienie punktów Simpsona.

Przedział	x'k
12	1
13	2.5
14	4.75
15	7
16	12
17	19
18	22
19	22.25
20	19.25
21	13.75
22	10
23	6
24	3.25
25	3
26	3
27	2.5
28	1.5
29	1
30	1

3. Wyznaczenie kształtu ciągłego rozkładu normalnego z zastosowaniem punktów simpsonowskich.

Wykres nr 2 Przypuszczalny kształt rozkładu normalnego

4. Wyznaczenie wartości średniej i odchylenia standardowego rozkładu.

/7/

Średnia arytmetyczna średnich rozkładu wynosi: n_s=17

/8/

Odchylenie standardowe uzyskujemy po narysowaniu wykresu nr 3 ze wzoru:

2

Wykres log x ~ (n - n) /9/

n s

Wykres (nr 3) pomocniczy do obliczenia odchylenia standardowego.

Wartość średnia odchyleń standardowych liczonych różnymi metodami wynosi

5. Obliczenie bezwzględnej i względnej ilości rezystorów w poszczególnych przedziałach.

k-ilość wszystkich rezystorów

a) [nśr + 0.679s]

n(bwz) = 131 : bezwzględna ilość rezystorów otrzymana eksperymentalnie

n(wz) = 84,5 % : względna ilość rezystorów otrzymana eksperymentalnie

t(wz) = 0,5 : teoretyczne prawdopodobieństwo "wpadnięcia" rezystora do danego przedziału

b) [nśr+s]

n(bwz) = 138

n(wz) = 89%

t(wz) = 0,68

c) [nśr+2s]

n(bwz) = 153

n(wz) = 98.7%

t(wz) = 0,95

d) [nśr+3s]

n(bwz) = 155

n(wz) = 100 %

t(wz) = 0,997

IV. OMÓWIENIE WYNIKÓW ĆWICZENIA

Ogólnie dokładność z jaką udało nam się przeprowadzić doświadczenie oceniamy jako niezbyt wysoką. Jest ona lepsza przy wyznaczeniu wartości średniej, gdyż wartości są

dyskretne i przyrost jest jednakowy, co w tym przypadku określa ją zawsze w środku długości podstawy równi czyli w przegródce nr 20. Potwierdziło to doświadczenie.

Duży rozrzut dało wyznaczenie odchylenia standardowego, metoda graficzna, która pozwala wyznaczyć ją na podstawie znalezienia punktów przegięcia wykresu jest, naszym zdaniem, mało

dokładna ze względu na nakładanie się błędów. Dodatkowo wykonany wykres jest stosunkowo płaski i dokładne wyznaczenie tych punktów jest trudne. Podobnie oceniamy graficzną metodę wykresu w skali logarytmicznej.

O skali dokładności mogą świadczyć obliczone prawdopodobieństwa i porównanie ich z wartościami teoretycznymi. Uważamy jednak, że doświadczenie wykazało poprawność

twierdzeń o rozkładzie normalnym i otrzymana krzywa dzwonowa jest dość dobrą tego ilustracją. Przyrząd używany w doświadczeniu spełniał zadania zapewniając losowość zdarzeń.

Przyczyn błędów należy się doszukiwać głownie w zbyt małej liczbie powtórzeń eksperymentu. Należy przypuszczać, że wraz ze wzrostem prób otrzymywalibyśmy coraz lepsze przybliżenia teorii.

Jednak ścisłe potwierdzenie rozkładu normalnego jest niemożliwe, gdyż jak wiadomo liczba prób musiałaby osiągnąć nieskończoność.

---