Egzamin

1.Podaj definicje czynnika akumulacji

Czynnik akumulacji A(s,t) jest to funkcja opisująca akumulację jednostki pieniężnej od czasu s do czasu t, to jest dla każdego A(s,t) = K(t) przy założeniu K(s)=1

K(t)

A(s,t) : = ------- <=> K(t) = A(s,t)K(s)

K(s)

2.Model procentu prostego i model procentu złożonego

Procent prosty - skład K włożony do banku na procent prosty przy stopie i w danym okresie przynosi po tym okresie zwrot kapitału K oraz iK odsetek.

K(1) = K + iK = K (1+i) w tym iK odsetki

Jeżeli pozostawimy kapitał K na dłużej to zwrot po dwóch okresach wyniesie:

K(2) = K + iK +iK = K (1+2i) w tym 2iK odsetek

Zwrot po n okresach wynosi:

K(n) = K(1+ni) w tym niK odsetek

Można rozszerzyć definicję procentu prostego na dowolny czas t, przy okresie oprocentowania T i stopie procentowej i w tym okresie. Zwrot po czasie t

t

K(t) = K(1+ --- i)

T

Procent złożony- wkład K włożony do banku na procent złożony o stopie i w danym okresie przynosi po tym okresie zwrot kapitału K i iK zysku.

K(1) = K + iK = K(1+i) w tym iK odsetek

Jeżeli pozostawimy kapitał na dłużej, to zwrot po dwóch okresach wyniesie:

K(2) = K + iK + i(K+iK) = K +2iK + i²K = K(1+i)² w tym odsetki 2iK +i²K

Zwrot po n okresach jest równy:

K(n) = K(1+i)ⁿ w tym odsetek K(1+i)ⁿ -K = K((1+i)ⁿ-1)

Powyższą definicje procentu składanego można uogólnić na dowolny czas t przy okresie oprocentowania T i stopie procentowej i w tym okresie.

Zwrot po czasie t wyniesie K(t) = (1+i) do potęgi t/T

4.Podaj definicje chwilowej stopy wzrostu oraz sformułuj twierdzenie o postaci czynnika akumulacji

δ(t)=Lim i_n(t)

h→0t

T. jeśli t →δ(t) ciągła i t→A(r,t) ciągła i A spełnia warunek zgodności, to A(r,t)=exp(_r∫^tδ(s)ds)

A spełnia warunek zgodności <=> V r<s<t A(r,s) A(s,t)=A(r,t)

3.Podaj definicję stopy nominalnej i stopy efektywnej

Stopa nominalna w chwili t w okresie h jest to liczba, która oznaczamy symbolem i_h(t) lub i_n (t,h) spełniająca równość definicyjną K(t+h)=K(t)(1+hi_h(t))

Stopa efektywna w chwili t w okresie h jest to liczba, która oznaczamy symbolem i_ef(t,h) spełniająca następującą równość definicyjną, że K(t+h)=K(t)(1+i_ef(t,h))^h

5.Pojęcie skończonego dyskretnego strumienia pieniądza oraz wartość obecna dyskretnego strumienia pieniądza

Dyskretny strumień pieniądza jest to ciąg C _t1 , C _t2 ,C _t3……. C_tn sum płatnych w chwilach t₁ , t₂ , t_{3 ……} t_n odpowiednio.

Wartość obecna dyskretnego strumienia pieniądza C _t1 , C _t2 ,C _t3……. C_tn nazywamy liczbę, którą oznaczamy symbolem Φ_o określoną następującym wzorem, że

n

Φ_o = ∑ C _ti * V_(ti)

i = 1

Ciągły strumień płatności jest to pojecie używane w rozważaniach teoretycznych.

Niech δ(t) to jest płatność chwilowa w chwili t na jednostkę czasu, tzn że na płatność w okresie t do t+dt wyniesie δ(t)dt.

Całkowita płatność w czasie (O,T) wynosi:

T

I(T) = ∫ δ(t) dt

O

Stąd mamy, że δ(t)= I(t)

Wartość obecna ciągłego strumienia w czasie (O,T) wynosi:

T

Φ_o = ∫ V(t)δ(t)dt

O

6. Wartość strumienia w innym czasie

Oprócz wartości obecnej ,możemy rozpatrywać wartość strumienia w dowolnym innym czasie. Ma to znaczenie, gdy chcemy zmieniać warunki umowy np. zamiast zwrotu długów w latach, chcemy go oddać jednorazowo w ustalonej chwili.

1

Φs = Φo ------

V(s)

Gdy chwilowo stopa Φs jest stała V(t) = δ = const;

t -vt -v t -v

wtedy V(t) = exp∫ Vds = exp(-Vt) = e = (e ) = r² gdzie V = V(1) = e

-vt t o

V(t) = e = V , jesli v >0 to 0< v = e < 1

8.Pojecie równania wartości wewnętrznej stopy zwrotu oraz sformułuj warunek na istnienie i jednoznaczność wewnętrznej stopy zwrotu

Wewnętrzna stopa zwrotu jest to stopa δ dla której wartość obecna strumienia jest 0, czyli

n n n

Φ₀ (δ)=∑ C_tre^-δtr = 0 <=> ∑ b_tre ^-δtr = ∑ a_tre ^-δtr

r =1 r =1 r =1

Ostatnia równość oznacza, że wartość obecna ciągu wypłat jest równa wartości obecnej ciągu wpłat.

Równanie wartości

Równanie na δ

Φ₀ (δ)=0 nazywamy równaniem wartości, jego rozwiązaniem (pierwiastek) jest wewnętrzna stopa wzrostu.

Wewnętrzna stopa zwrotu jest to wskaźnik służący do porównania opłacalności różnych schematów finansowych, w których występuje jawnie stopa zwrotu.

Warunki na istnienie wewnętrznej stopy zwrotu

Wpłaty poprzedzają wypłaty

Załóżmy, że istnieje t^*, takie, że C_tr <0 dla t_r < t^* oraz C_tr > 0 dla t_r ≥ t^*

(najpierw inwestujemy potem zyskujemy) wtedy istnieje dokładnie 1 wewnętrzna stopa zwrotu (zysku).

---