12. 2. Przeliczenie: [B, L, H] ⇒ [X, Y, Z]

Niech punkt P ma współrzędne geodezyjne (B, L, H). Formuły przeliczenia ich na współrzędne kartezjańskie (X,Y,Z) wywodzą się z ogólnych zależności (rys. 18):

X = x_o + Δx, Y = y_o + Δy, Z = z_o + Δz (16)

gdzie x_o , y_o , z_o oznaczają współrzędne rzutu normalnego P_o punktu P na powierzchnię elipsoidy, zaś Δx, Δy, Δz - składowe wektora P_oP o długości H (powinien być spełniony warunek H² = Δx² + Δy² + Δz²). Szukane związki ze współrzędnymi B, L, H, które możemy wysondować z rysunku 2, są następujące:

x_o = r_o ⋅ cos (L), Δx = Δr ⋅ cos (L),

y_o = r_o ⋅ sin (L), Δy = Δr ⋅ sin (L), (17)

z_o = R_N ⋅ sin(B) − q , Δz = H ⋅ sin(B)

gdzie:

r_o = R_N ⋅ cos(B), Δr = H ⋅ cos(B), (18)

R_N jest długością odcinka normalnej, mierzoną od punktu P_o do punktu S przecięcia z osią obrotu elipsoidy − jest to zarazem promień krzywizny przekroju poprzecznego (pierwszego wertykału) elipsoidy w punkcie P_o (dla szerokości B), wyrażający się wzorem:

R_N = a / [1− e² ⋅ sin²(B)]^1/2

(przypomnijmy, że użyliśmy go już we wzorach (7) obok promienia krzywizny przekroju południkowego R_M oraz średniego promienia krzywizny ; e − mimośród, e² = (a² −b²) / a² ; a, b − półosie elipsoidy). Parametr q (rys. 18) jako jako pionowe przesunięcie środka krzywizny przekroju poprzecznego względem środka elipsoidy wyraża się wzorem:

q = R_N ⋅ e² ⋅ sin(B) = a ⋅ e ⋅ c /(1−c² )^1/2, c = e ⋅ sin(B) (19)

Rys. 18. Elementy przekroju południkowego elipsoidy

Składając wzory (16 - 19) otrzymujemy formuły

X = (R_N + H) ⋅ cos (B) ⋅ cos(L)

Y = (R_N + H) ⋅ cos (B) ⋅ sin(L) (20)

Z = (R_N + H) ⋅ sin (B) − q

(podkreślmy, że wielkości R_N i q są również funkcjami szerokości B).

12.3. Przeliczenie odwrotnie: [X, Y, Z] ⇒ [B, L, H]

Aby dokonać przeliczenia odwrotnego należałoby odwrócić zależności (20), wyznaczając z nich B, L i H w oparciu o X,Y,Z. Mając na uwadze to, że w definicji promienia R_N oraz wielkości q kryje się również szerokość B, odwrócenie formuł (20) nie jawi się jako równie proste zadanie (można je sprowadzić do rozwiązania równania algebraicznego stopnia wyższego od 2). Dlatego posługujemy się chętnie metodami kolejnych przybliżeń. Jedna z prostych metod polega na

wykorzystaniu następującej zależności, którą można otrzymać z (20) lub z rysunku 18 (zob. np. [2]):

B = arc tg [(Z + q) / r] ; r = ( X² + Y² )^1/2 (21)

(r − odległość punktu P od osi obrotu elipsoidy), przy czym określona wyżej wzorem (19) „względnie mała” wielkość q jest (niestety) istotną funkcją B, dlatego zapis (21) nie oznacza jeszcze jawnego rozwiązania. Formułę (21) można jednak użyć do tworzenia kolejnych przybliżeń B_o, B₁, B₂, ... niewiadomej B (stosownie do tego parametr q jako funkcja B przyjmuje wartości kolejnych przybliżeń q_o, q₁, q₂, ...).

Algorytm: [X,Y,Z] ⇒ B

Krok 0: przyjmujemy q = q_o = 0 i obliczamy B wg wzoru (6) notując je jako

B_o (przybliżenie początkowe),

Krok 1: obliczamy przybliżoną wartość q₁ zgodnie z wzorem (19) jako funkcję B_o ,

a następnie nowe przybliżenie B₁ szerokości B według wzoru (21)

Krok 2: obliczamy przybliżenie q₂ zgodnie z wzorem (19) jako funkcję B = B₁ ,

a następnie aktualne przybliżenie B₂ szerokości B według wzoru (21).

... itd.

Proces zatrzymujemy, jeśli różnica kolejnych przybliżeń jest mniejsza niż założony dopuszczalny błąd numeryczny wyznaczenia B. Zwykle konieczną dokładność otrzymuje się po kilku krokach.

Obliczenie brakujących współrzędnych L, H nie przedstawia już trudności:

L = arc cos (X/r ) = arc sin (Y/r), (22)

H = ( Δr² + Δz² ) ^1/2 * ( -1 jeśli Δz < 0 lub Δr < 0) (23)

przy czym przyrosty Δr, Δz obliczamy ze wzorów:

Δr = r − r_o = r − R_N ⋅ cos (B), (24)

Δz = Z − z_o = Z − R_N ⋅ (1−e²) ⋅ sin(B).

Współrzędne B, L wyrażone w radianach przeliczamy ostatecznie do miary stopniowej.

---