Cel ćwiczenia

Celem naszego ćwiczenia było wykorzystanie statystycznej kontroli jakości do oceny dokładności wykonania wałków na podstawie dokładnego zbadania n-elementowej próbki, wybranej w sposób losowy.

Wprowadzenie teoretyczne

Analizujemy uzyskany w wyniku pomiarów ciąg n-elementowy wartości pewnej wielkości x, którą będziemy utożsamiać ze zmienną losową. Wartości (x₁,x_2,...,x_n) zmiennej losowej x będziemy nazywać próbą n-elementową. Dalszym krokiem jest znalezienie ocen (wartości przybliżonych) dla charakterystyk liczbowych danej zmiennej losowej. Charakterystykami tymi są: - wartość średnia (oczekiwana) E(x),

- odchylenie standardowe σ_x,

- wariancja D²(x),

- momenty wyższych rzędów μ_s, m_s,

- współczynnik asymetrii i spłaszczenia γ_1,γ₂.

Oceny tych charakterystyk, uzyskane na podstawie wyników badań eksperymentalnych, oznaczamy tymi samymi literami, co szukane charakterystyki, lecz z „wężykiem” u góry.

Mając liczną próbę, elementy próby łączymy, grupujemy w klasach, tworząc uporządkowany szereg rozdzielczy (x⁰,x¹),(x¹,x²⁾, ...,(x^k-1,x^k). Oceny wartości oczekiwanej, wariancji i momentów wyższych rzędów dokonuje się wtedy w sposób przybliżony, korzystając ze wzorów:

E(x) =
,

D(x) =
,

gdzie: x_j^*- wartość średnia w j-tej klasie,

P_j^*- częstość (prawdopodobieństwo) zdarzenie w j-tej klasie.

Weryfikacja hipotezy o wartości przeciętnej w populacji generalnej.

Hipotezę orzekającą, że wartość przeciętna m jest równa m₀ , H(m = m₀) zbadamy, jeśli zmienna losowa x ma rozkład normalny N(m,σ), przy czym σ znane i przyjmujemy poziom istotności α, to wyznaczamy ε_α takie, by:

P(
)
α.

Jeśli zaobserwowana wartość x jest taka, że : | x-m |
, to hipotezę H(m=m₀) odrzucamy. W przypadku, gdy : | x-m |
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H(m=m₀).

Weryfikacja hipotezy o wariancji

Niech zmienna losowa x ma rozkład normalny, przy czym σ jest nie znane. Hipotezę H(σ²=σ₀²), tzn. że wariancja jest równa liczbie σ₀², weryfikujemy korzystając z faktu, że zmienna losowa χ²=
, ma rozkład χ² o n-1 stopniach swobody. Przyjmujemy poziom istotności α i znajdujemy χ² takie, że P
, czyli P
. Hipotezę odrzucamy, jeśli.
W przeciwnym przypadku hipotezę przyjmujemy.

Przebieg ćwiczenia

Wykonaliśmy pomiar średnicy 40 wałków za pomocą czujnika indukcyjnego. Każdy z wałków przesuwaliśmy pod przystawką i odczytywaliśmy wartość odchyłki dla założonego pomiaru.

Po znalezieniu wartości minimalnych i maksymalnych określiliśmy szerokość klas będącą 10 częścią różnicy wymiarów granicznych. Następnie policzyliśmy ile pomiarów znajduje się w danej klasie. Kolejnym punktem było wyliczenie wartości średniej pomiaru w poszczególnej klasie. Po wykonaniu tych podpunktów obliczyliśmy częstość w klasie ze wzoru P_i = m_i/n oraz dystrybuanty w klasie ze wzoru W_i = P₁ + P₂ + … + P_n. Wszystkie wyniki zamieściliśmy w tabeli poniżej. Korzystając z tych danych wykonaliśmy wykresy empirycznych funkcji:

Dalszym etapem naszej pracy była weryfikacja hipotezy o wartości przeciętnej oraz weryfikacja

hipotezy o wariancji.

a) Weryfikacja hipotezy o wartości przeciętnej H

Dla α=0,05 z tablicy rozkładu normalnego odczytaliśmy ε_α=1,96 oraz χ²_α=66,339

Jeżeli
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H(m=m₀)

Zatem sprawdzamy
i otrzymujemy 0,001<0,00529

Przyjmujemy hipotezę o tym, że wymiar nominalny wałków wynosi 15[mm]

b) Weryfikacja hipotezy o wariancji H(σ²=σ²₀)

Hipotezę odrzucamy, jeśli
. W przeciwnym przypadku hipotezę przyjmujemy.

Zakładamy Δm=3σ₀, zatem σ₀=0,08

Sprawdzamy
i otrzymujemy 0,00029<0,0106.

Przyjmujemy hipotezę H(σ²=σ²₀).

Wnioski

Zakładając poprawność wykonania pomiarów i obliczeń możemy stwierdzić, iż otrzymane przez nas kształty wykresów gęstości prawdopodobieństwa są zbliżone do wykresu rozkładu normalnego, czyli do krzywej Gaussa. Najkorzystniejsze byłoby otrzymanie największej częstości w klasie będącej w środku, czyli klasie piątej. Oznaczałoby to, że duża liczba detali ma wymiar najbardziej zbliżony do nominalnego. W naszym przypadku widać, że największa częstość znajduje się w klasie 4 oraz w klasie 6, co też jest dobrym wynikiem. Na podstawie hipotezy o wartości przeciętnej oszacowaliśmy, czy ewentualna produkcja przebiega zgodnie z oczekiwaniami czy należy coś zmienić. Ponieważ przyjęliśmy hipotezę, można wnioskować że produkcja przebiega prawidłowo i nie ma potrzeby zmieniania w niej czegokolwiek.

---