[DM 10]

[1/10] Niech A = {1, 2, 3, 4}, B = 2, C = ∅, D = {1, 4, 5}, E = {3, ∅}, F = {{1}, 2, {3}, 4}. Dla każdej pary X, Y ∈ {A, B, C, D, E, F} odpowiedz na pytanie czy:

(a) X ⊆ Y

(b) X ∈ Y

[2/10] Czy istnieje zbiór, który nie posiada podzbioru właściwego?

[3/10] Czy to prawda, że jeśli A ⊆ B ∪ C to A ⊆ B lub A ⊆ C. ?

[4/10] Wyznacz zbiór
, gdzie P(n) jest spełnione gdy n jest liczbą pierwszą, a A_i = {i, i + 1, 2i}. (Nie mylić z {i, i + 1,..., 2i}).

[5/10] Ile elementów ma zbiór:

(a) {0, 1}³ ∪ {0, 1, 2}²

(b) {{0,1}}³

(c) {∅, {∅}} × ∅

(d) {0, {0, {0, {0}}}} × {1, {9, {9, {7}}}}

[6/10] Na cztery różne, przedstawione na wykładzie sposoby (bezp. z def., metodą 0-1, za pomocą diagramów Venna, w oparciu o prawa algebry zbiorów) udowodnij, że:

(a) A ∩ B ⊆ A ∪ B

(b) A \ (A \ B) = A ∩ B

(c) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

(d) A \ (B \ (C \ D)) = (A \ B) ∪ ((A ∩ C) \ D)

[7/10] Czy dla dowolnej skończonej liczby zbiorów A₁, A₂,..., A_n można narysować poprawny diagram Venna?

[8/10] Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:

1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

2. A ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C)

3. A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)

4. A \ (B × C) = (A \ B) × (A \ C)

5. (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (B ∩ A)

[9/10] Wyznacz
oraz
dla rodzin zbiorów (zakładamy, że 0 ∈ R⁺):

1. A_t = {x : 0 < x ≤
   }

2. A_t = {x :
   < x <
   }

3. A_t = {(x, y) : x² + y² ≤ t²}

4. A_t = {(x, y) : x² ≤ t²y²

[10/10] Które z poniższych implikacji są prawdziwe? Co można powiedzieć o implikac­jach odwrotnych?

1. A = B ⇒ A ∩ C = B ∩ C

2. A = B ⇒ A ∪ C = B ∪ C

3. A = B ⇒ A \ C = B \ C

4. A = B ⇒ A^c = B^c

5. A ⊆ B ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ C

6. A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C

7. A ⊆ B ⇒ A \ C ⊆ B \ C

8. A ⊆ B ⇒ A^c ⊆ B^c

[11/10] Korzystając z praw algebry zbiorów oraz z wyników poprzedniego zadania wykaż, że:

1. A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ A \ B = ∅ ⇔ A^c ∪ B = X

2. ((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) ⇒ A \ D ⊆ B \ C

[12/10] Wykaż, że

1. 
   

2. 
   

[13/10] Które z poniższych implikacji lub równoważności są prawdziwe? Co można powiedzieć o implikacjach odwrotnych?

1. [(A ∩ B) \ C = ∅] ⇒ [(A ∪ B) \ (A ∪ C) = B \ C]

2. [A \ (A \ B) = B] ⇒ [C ⊆ B → C ⊆ A]

3. [A^C ∩ B^C = A ∩ B] ⇔ [A^C = B]

---