Relacje porządkujące

1. W zbiorze N² rozważmy 3 relacje porządkujące: (1) (a,b)  (p,q) ⇔ (a = p) ∧ (b ≤ q); (2) (a,b) ≤ (p,q) ⇔ (a ≤ p) ∧ (b ≤ q); (3) ( a,b) ≤ (p,q) ⇔ (a < p) ∨ (a = p ∧ b ≤ q). W odniesieniu do każdej z relacji odpowiedz na pytania: - czy jest to relacja liniowo, czy jedynie częściowo porządkująca? - czy w N² istnieje element najmniejszy? - czy w N² istnieją elementy minimalne? Ile?

2. Wykaż, że w każdym zbiorze skończonym częściowo uporządkowanym istnieje element

maksymalny.

3. Wykaż, że jeśli w skończonym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje jedyny

element maksymalny, to jest on największy.

4. Niech X będzie przestrzenią liniowo uporządkowaną. Wykaż równoważność

następujących warunków: (i) Każdy podzbiór niepusty posiada element najmniejszy; (ii) Każdy ciąg malejący (a_n+1 ≤ a_n) „stabilizuje się (∃N ∀n>N a_n+1 = a_n).

5. Niech (X, ≤) będzie przestrzenią częściowo uporządkowaną (na rozgrzewce można

założyć porządek liniowy. Niech A i B będą niepustymi podzbiorami X. Wykaż, że (i) inf A ≤ sup A (ii) jeśli A jest podzbiorem B, to inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

6. Wykaż, że kres dolny (resp. górny) zbioru, jeśli istnieje, to jest jedyny.

7. Wykaż, że - jeśli odpowiednie kresy istnieją - to sup(A∪B) = sup{sup A, sup B}.

8. W przestrzeni X wszystkich ciągów rzeczywistych wprowadzamy relacje: (a_n)R₁(b_n)
(a_n)R₂(b_n)
(a_n)R₃(b_n)
Dla każdego i odpowiedz na pytania: - czy relacja R_i jest porządkująca? - czy relacja S_i zdefiniowana warunkiem aS_ib ⇔ aR_ib ∧ bR_ia jest relacją równo-

ważnościową? Jeśli tak, to czy relacja

jest relacją porządkującą przestrzeń ilorazową?

---