Egzamin pisemny ze statystyki matematycznej wrzesień 2002 r.

Zad 1.

Ile osób należy wylosować do próby, aby z dokładnością do 5% i ufnością 0,95 ocenić przedziałowo wynik wyborczy ugrupowania jeżeli wiemy, że ugrupowanie uzyska ok. 11% poparcie?

Zad 2.

W próbie prostej składającej się z 200 dwuosobowych rodzin zaobserwowano tygodniowe wydatki na żywność, których struktura jest prezentowana poniżej:

wydatki w zł	10-30	30-50	50-70
częstości	0,1	0,6	0,3

Ocenić punktowo i przedziałowo (przy współczynniku ufności 0,9) przeciętne wydatki w populacji.

Zad 3.

Wylosowano 144 żarówki, wśród których znajdowało się 8 wybrakowanych. Dopuszcza się, że 5% produkcji żarówek może być złej jakości. Czy z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącym 0,05 można twierdzić, że jakość produkcji była gorsza od dopuszczalnej?

Zad 4.

Wykonano 120 rzutów kostką do gry. Przyjmując poziom istotności 0,05, sprawdzić czy można przyjąć, że kostka jest rzetelna (prawdopodobieństwa wystąpienia każdej liczby oczek są takie same).

liczba oczek	1	2	3	4	5	6
liczba rzutów	15	18	23	25	22	17

Zad 5.

dane o powierzchni mieszkań i rocznym zużyciu w nich wody prezentuje tabela obok:	x - powierzchnia, m^2	34	106	78	50	64
		y - zużycie wody, m^3	3	9	6	6	5
Przy poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o braku korelacji.

Zad 6.

Czy to prawda?	Tak czy nie?
Rozkład płac w populacji ma asymetrię prawostronną. Wówczas średnia z próby prostej losowanej z takiej populacji ma rozkład normalny prawdopodobieństwa.
Moc testu to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju.
Gdy obciążenie estymatora T parametru θ wynosi 4, a błąd średniokwadratowy 20, to odchylenie standardowe tego estymatora wynosi 2.
Jeśli wariancja nieobciążonego estymatora parametru θ wynosi 16, a względny średni błąd szacunku parametru θ wynosi 10%, to θ=160.
Jeśli statystyka T jest asymptotycznie nieobciążonym estymatorem parametru θ, to jest również zgodnym estymatorem tego parametru.
Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom ufności, to rozpiętość przedziału nie maleje.
Częstość względna z próby prostej pojawiania się pewnego zdarzenia jest zgodnym estymatorem prawdopodobieństwa tego zdarzenia.
Jeśli E(X)=2 i D^2(X)=16 i Y=10X+40, to D(Y)=40. Przez E(X) i D^2(X) oznaczono odpowiednio wartość oczekiwaną i wariancję pewnej zmiennej losowej.
Jeśli U jest sprawdzianem testu dla pewnej hipotezy H0 oraz P(U€K|H0)=0,01, gdzie K jest obszarem krytycznym testu wyznaczonym przy poziomie istotności 0,02, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom istotności testu dla pewnej hipotezy, to moc tego testu nie maleje.

Niech zmienna losowa T ma rozkład Studenta z k stopniami swobody. Wtedy: P{|T|>3,182}=0,05; P{|T|<2,57}=0

Niech zmienna losowa Z ma standardowy rozkład normalny. Wtedy: P{|Z|>1,645}=0,1; P{|Z|<1,96}=0,95

Zmienna losowa U ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody, to P{U≥12,592}=0,05; P{U<11,07}=0,95

2

---