Własności prawdopodobieństwa

Zdarzenie jest to dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych.

Zdarzeniem:

• pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω (zdarzeniu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne)

• niemożliwym nazywamy podzbiór pusty przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω

(zdarzeniu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne)

Zdarzenia:

• A i B są identyczne (A = B) to znaczy, że zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie B

• A i B wyłączają się (A∩B=∅) to znaczy, że jest niemożliwe, żeby oba te zdarzenia zaszły jednocześnie

•  

Zdarzenie:

• A pociąga za sobą zdarzenie B
  to znaczy, że prawdziwa jest implikacja: (zaszło zdarzenie A) → (zaszło zdarzenie B)

• C jest sumą (alternatywą) zdarzeń A i B
  to znaczy, że zdarzenie C zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A lub zdarzenie B

• C jest iloczynem (koniunkcją) zdarzeń A i B
  to znaczy, że zdarzenie C zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i zdarzenie B

• C jest różnicą zdarzeń A i B (C = A\B) to znaczy, że zdarzenie C zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B

• A' jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oznacza, że nie zaszło zdarzenie A.

A ∩ A' = ∅, A ∪ A' =Ω 

Przykład 1

Rzucamy sześcienną kostką do gry. Dla każdego z poniższych zdarzeń określ zdarzenia przeciwne i oblicz jego prawdopodobieństwo.

1. wypadnie jedynka

2. wypadnie nieparzysta liczba oczek.

Rozwiązanie

1. Zdarzeniem przeciwnym jest zdarzenie polegające na wypadnięciu liczby oczek różnej od 1, tzn.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 3, 4, 5, 6}

P(A) =

2. B = {2, 4, 6}

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(B) =
.

Jeżeli zbiór Ω ma n elementów, to liczba wszystkich zdarzeń wynosi
.

Przestrzeń zdarzeń jest rodziną podzbiorów zbiorów zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału <0;1>

 

Własności prawdopodobieństwa:

• P(∅) = 0 - prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

• P(Ω) = 1 - prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego

• P(A') = 1 - P(A) - prawdopodobieństwo przeciwne do A, gdy A⊂ Ω

• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) - prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B, gdy
  

• Jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się, to P(A∪B) = P(A) + P(B)

• P(A∪B) ≤ P(A) + P(B), gdy A, B ⊂ Ω

• P(A) ≤ P(B), gdy A ⊂ B ⊂ Ω

• P(A) ≤ 1, gdy A ⊂ Ω

Przykład 2

Z talii 52 kart wyciągnięto losowo 3 karty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna z wyciągniętych kart nie jest dziesiątką.

Rozwiązanie

A - co najmniej jedna z wyciągniętych kart nie jest dziesiątką

A' - wszystkie wyciągnięte karty to dziesiątki (zdarzenie przeciwne do A)

10 nie 10

10 nie 10

10 nie 10

Łatwiej jest obliczyć najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A, a następnie skorzystać z własności prawdopodobieństwa, by obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A.

P(A') =

P(A) = 1 - P(A') = 1 -

Przykład 3

W doświadczeniu polegającym na rzucie kostką do gry rozważmy następujące zdarzenia:

A - wypadła parzysta liczba oczek

B - wypadły nie mniej niż 4 oczka.

Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniom:

A∪B, A∩B, B' A'∪B A'∪B'

oraz wyznacz ich prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A= {2, 4, 6}

B = {4, 5, 6}

A∪B = {2, 4, 5, 6} P(A∪B) =

A∩B = {4, 6} P(A∩B) =

A' = {1, 3, 5}

B' = {1, 2, 3} P(B') =

A'∪B ={1, 3, 4, 5, 6} P(A'∪B) =

A'∪B' = {1, 2, 3, 5} P(A'∪B') =

Przykład 4

Wiedząc, że P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 i P(A∩B) = 0, 3 oblicz P(A∪B).

Rozwiązanie

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P(A∪B) = 0,7 + 0,6 - 0,3 = 1, 3 - 0,3= 1

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 18 str. 81 -84 z podręcznika.

---