WEKTORY

podstawowe działania na wektorach

1. Wyraź w radianach kąty a) 20°, b) 50°, 100°. Zamień następujące kąty na stopnie: d) 0,33 rad, e) 2,1 rad, f)7,7 rad

2. Składowa x wektora a wynosi -25 m, a jego składowa y jest równa +40 m. Ile wynosi długość wektora a? Jaki kąt tworzy kierunek wektora a z dodatnim kierunkiem osi x?

3. Wektor a leży w płaszczyźnie xy. Jego kierunek tworzy kąt 250° z dodatnim kierunkiem osi x (licząc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), a jego długość wynosi 7,3 m. Ile wynosi składowa x i y wektora a?

4. Samochód przebywa 50 km na wschód, następnie 30 km na północ, a potem 25 km w kierunku 30° na wschód od kierunku północnego. Narysuj odpowiednie wektory i wyznacz długość i kierunek całkowitego przemieszczenia samochodu od początku jego jazdy.

5. Kobieta idzie 250 m w kierunku 30° na wschód od kierunku północnego, a potem 175 m prosto na wschód. Znajdź długość i kierunek jej całkowitego przemieszczenia od początku spaceru. Wyznacz drogę przebytą przez kobietę. Co jest większe ta droga czy długość wektora przemieszczenia?

6. Pewna osoba odbyła następujący marsz: 3,1 km na północ, potem 2,4 km na zachód, wreszcie 5,2 km na południe. Narysuj wektory ilustrujące ten marsz. Wyznacz długość i kierunek lotu ptaka, który leciałby po linii prostej od punktu startowego do punktu końcowego.

7. Oblicz sumę wektorów a = (4 m)i + (3 m)j oraz b = (-13 m)i + (7m)j, wyrażając ją za pomocą wektorów jednostkowych. Wyznacz długość wektora a+b oraz jego kierunek (w stosunku
do wersora i).

8. Znajdź składowe x i y z sumy r dwóch przemieszczeń c i d, których składowe wzdłuż trzech osi wynoszą w metrach: c_x = 7,4, c_y = -3,8, c_z = -6,1, dx = 4,4, d_y = - 2,0, d_z=3,3

9. Oblicz sumę wektorów a = (3 m)i + (4 m)j oraz b = (5 m)i + (-2 m)j, wyrażając ją za pomocą wektorów jednostkowych, długości sumy, kąta utworzonego z wektorem i. Wyznacz wektor b - a, zapisując go przy użyciu wektorów jednostkowych, jego długości i kierunku.

10. Wektor a o długości 10 jednostek i wektor b o długości 6 jednostek tworzą ze sobą kąt 60°. Ile wynosi iloczyn skalarny tych wektorów? Ile wynosi długość iloczynu wektorowego?

11. Wykaż, że a∙(a×b) wynosi zero dla dowolnych wektorów a i b. Ile wynosi długość wektora
a × (b× a) jeśli kierunki wektorów a i b tworzą kąt θ.

12. Dane są trzy wektory a = 2i + 3j - 4k, b = -3i + 4j + 2k i c = 7i - 8j. Ile wynosi 3c∙(2a×b)?

13. Dwa leżące w jednej płaszczyźnie wektory określone są, względem pewnego prostokątnego układu odniesienia, wyrażeniami: a = 3i oraz b = 3i + 3j. Znajdź ich sumę, różnicę, iloczyn skalarny
i wektorowy.

14. Korzystając z prawoskrętnego układu współrzędnych, wykazać, że:

1. i · i = j · j = k · k = 1

2. i · j = j · k = k · i = 0

3. i × i = j × j = k × k = 0

4. i × j = k, k× i = j, j × k = i

15. Wykazać, że wartość bezwzględna iloczynu wektorowego dwóch wektorów równa jest liczbowo polu równoległoboku, którego bokami są te dwa wektory.

16. Dane są dwa wektory wektor a = (4m)i - (3m)j i wektor b = (6m)i + (8m)j. Znajdź długość wektora a oraz kąt utworzony przez ten wektor z wersorem osi x.

---