Marcin Rudziński

Figury przystające - gimnazjum

Omówione podręczniki to: „Matematyka krok po kroku”, „Błękitna matematyka” „Matematyka wokół nas”, „Matematyka 2001”, „Matematyka z plusem”.

1. W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?
   Potrzebna jest umiejętność zaznaczania i mierzenia kątów, mierzenia długości odcinka.
   „Matematyka krok po kroku”- wprowadzone jest pod koniec drugiego semestru drugiej klasy.

„Błękitna matematyka”- w różnych miejscach w podręczniku np. w połowie pierwszego semestru pierwszej klasy.
„Matematyka wokół nas”- wprowadzone jest w połowie drugiego semestru pierwszej klasy.
”Matematyka 2001” - wprowadzone jest w drugiej klasie
”Matematyka z plusem” - na koniec pierwszego semestru pierwszej klasy.

2. Sposoby wprowadzenia.

1. „Matematyka krok po kroku”
   W drugiej klasie Temat: Przystawanie figur.

Najpierw jest podany przykład kompletu kluczy do drzwi, które mają ten sam kształt i tę samą wielkość. Nazwane są figurami przystającymi. Następnie podana jest definicja figur przystających. W dalszej części tematu podany jest przykład kątów przystających (wierzchołkowych), a dalej dwa stwierdzenia dotyczące warunków jakie muszą być spełnione, aby dane dwa odcinki oraz kąty były przystające.

Podany jest także przykład dwóch okręgów przystających oraz stwierdzenie mówiące, o tym, że dwa okręgi są przystające, kiedy mają równe promienie.

Następnie przedstawione są zadania np.:

Kwadrat podzielono na 7 części. Utwórz z tych części trzy kwadraty przystające. Co powiesz o polach tych kwadratów?zadanie204

Temat: Cechy przystawania trójkątów.

Temat rozpoczyna się od podania pierwszej cechy przystawania trójkątów (bbb). Następnie podany jest przykład wykazujący, że wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli trójkąt na dwa trójkąty przystające.

Podana jest następnie druga cecha przystawania trójkątów- bkb.

Przykład opisujący tę cechę to przykład trójkąta równobocznego, w którym poprowadzono dwie wysokości. Wskazana jest para trójkątów przystających.

Jako ostatnia podana jest trzecia cecha przystawania trójkątów- kbk.

Przykład jaki podali autorzy, to równoległobok, w którym poprowadzono z przeciwległych wierzchołków dwusieczne kątów. Sprawdzane jest, czy powstałe w ten sposób trójkąty są przystające.

Zadania jakie przygotowali autorzy to np.:

Uzasadnij, że trójkąt o wierzchołkach: A = (-2;-1), B = (-2;5), C = (-4;1) jest przystający do trójkąta o wierzchołkach: D = (3;-3), E = (3;-1), F = (7;-3).

Wprowadzony jest tu również symbol przystawania ≡.

O figurach przystających jest tez mowa w dziale „Przekształcenia geometryczne” w klasie trzeciej.

Temat: Symetrie.

Autorzy podaja stwierdzenia mówiące o tym, że obrazem dowolnej figury w symetrii środkowej i osiowej jest figurą przystającą.

2. „Błękitna matematyka”
   W „Błękitnej matematyce” pojęcie przystawania pojawia się w klasie pierwszej w dziale „Mierzenie”. Autorzy nie podają definicji przystawania. Zakładają, że uczeń posiada już tę wiadomość ze szkoły podstawowej, co jest zawarte w programie nauczania szkoły podstawowej według „Matematyki błękitnej”.

W temacie „Pola figur” podane jest twierdzenie mówiące, iż pola figur przystających są równe.

Przykładowe zadanie:

Czy figura biała i niebieska mają równe pola? Odpowiedź uzasadnij.

Rysunek zad 1 str 63

Temat: Symetrie.

Autorzy przedstawiają twierdzenie:

Figury symetryczne (względem prostej, punktu) mają te sam kształt i tę samą wielkość, a więc są przystające.

Zad. Rozstrzygnij czy przedstawione na rysunku figury są przystające oraz symetryczne do siebie względem prostej, względem punktu?

Temat: Figury jednokładne.

Autorzy wspominają, że w jednokładności o skali -1 powstanie figura przystająca.

Klasa druga.

Klasa trzecia.

W klasie trzeciej pojęcie przystawania pojawia się w dziale „przekształcenia izometryczne” w temacie „Przystawanie trójkątów”.

Na początku jest podana definicja: Mówimy, że figura f jest przystająca do figury g (piszemy symbolicznie f ≡ g), gdy g jest obrazem f w pewnej izometrii.

Następnie podane są 3 własności figur przystających wynikające z własności izometrii:

1. Długości boków jednego trójkąta są równe długościom boków drugiego trójkąta.

2. Miary kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich kątów drugiego trójkąta.

3. Miara kąta i długości dwóch boków zawartych w ramionach tego kąta w jednym trójkącie są równe mierze kąta i długościom dwóch odpowiednich boków drugiego trójkąta.

Podane są tez od razu cechy przystawania trójkątów

1. bbb

2. bkb

3. kbk

Podany jest również przykład: Dany jest równoległobok ABCD. Wykaż, że trójkąty

ABC i BCD są przystające.

Zadania:

Wskaż zdania fałszywe. Odpowiedź uzasadnij:

1. Każde dwa trójkąty o tych samych polach są przystające.

2. Każde dwa koła o równych polach są przystające.

3. Dwa czworokąty są przystające, gdy mają boki odpowiednio równe.

3. „Matematyka wokół nas”

Pojęcie figur przystających wprowadzone jest w dziale „Figury płaskie” w temacie Figury przystające.

Wprowadzenie do tematu rozpoczyna się przykładem:

Krawcowa, krojąc materiał na ubranie, przykłada formy i wycina kawałki materiału o takich samych kształtach jak formy. Przykładając formy do materiału złożonego z kilku warstw, może wykroić od razu kilka jednakowych sztuk. Z kartki złożonej na czworo możemy wyciąć np. trójkąt. Otrzymamy 4 trójkąty. Te trójkąty po nałożeniu na siebie wzajemnie się pokrywają. Postępując podobnie możemy otrzymać inne figury pokrywające się. O takich figurach powiemy, że są przystające.

Następnie podanych jest kilka prostych ćwiczeń, np.:

Podaj kilka przykładów figur przystających znajdujących się w twoim otoczeniu.

Dalej na przykładzie dwóch trójkątów przystających wprowadzony jest symbol przystawania oraz pewne własności:

- odpowiednie boki są tej samej długości, a odpowiednie kąty tej samej miary;

- naprzeciw odpowiednich kątów leżą odpowiednie boki;

- pola są równe;

Następnie przedstawione są proste ćwiczenia oraz zadania utrwalające np.:

Jeden bok trójkąta ma 10 cm, drugi 7 cm. Czy trzeci bok może mieć:

1. 19 cm

2. 2,5 cm

3. 8 cm?

Pojęcie przystawania pojawia się także w dziale „podstawowe konstrukcje geometryczne” w temacie „Konstrukcyjne budowanie trójkątów”.

Temat rozpoczyna się od opisania zasad i etapów rozwiązywania zadań konstrukcyjnych.

Następnie opisana jest konstrukcja trójkąta z 3 danych odcinków, oraz sformułowany jest wniosek: Trójkąty, których odpowiednie boki są równe, są przystające. (bbb)

Dalej podany jest przykład i opis konstrukcji trójkąta mając dane 2 boki i kąt, oraz sformułowany jest drugi wniosek: Trójkąty, w których odpowiednio 2 boki oraz kąt zawarty między nimi są równe, są przystające (bkb).

Kolejny przykład przedstawia opis konstrukcji oraz konstrukcję trójkąta mają dany 1 bok i 2 kąty. Sformułowany jest tu trzeci wniosek: Trójkąty, mające jeden bok i dwa przyległe do niego kąty odpowiednio równe, są przystające (kbk).

Po kolejnych przykładach zamieszczone są zadania,

np.: Z pewnego punktu A leżącego na okręgu poprowadzono dwie równej długości cięciwy AB i AC, po czym punkty A, B, C połączono za środkiem okręgu O. Uzasadnij, że trójkąty AOB i AOC są przystające.

W tym podręczniku nie został wprowadzony symbol przystawania.

Pojęcie przystawania nie pojawia się już w tym podręczniku w innych klasach.

4. ”Matematyka 2001”

Pojęcie przystawania figur wprowadzone jest w drugiej klasie w temacie „przystawanie trójkątów”.

Autorzy na wstępie zalecają wykonanie ćwiczenia polegającego na skonstruowaniu, z patyczków, identycznego trójkąta jak na rysunku w książce, trójkąta, a następnie:

- przekształcić go przez odbicie symetryczne względem danej prostej

- przekształcić go przez symetrię środkową względem wybranego punktu O.

Następnie sformułowany jest wniosek, że w każdym przypadku powstają nam trójkąty przystające.

Podana jest również definicja trójkątów przystających.

Dalej sformułowane są cechy przystawania trójkątów:

- bbb

- bkb

- kbk

Następnie przedstawione są proste ćwiczenia oraz uogólniona jest definicja przystawania:

Figury przystające, to takie dwie figury, które można na siebie nałożyć tak, aby się dokładnie pokrywały.

W dalszej kolejności podane są zadania. Np.: dany jest prostokąt ABCD. Wiedząc, żę |AE| = |CF|, uzasadnij, że trapez DFEA przystaje do trapezu BEFC.

Klasa trzecia:

W klasie trzeciej o przystawaniu mowa jest na końcu drugiego semestru w dziale powtórzeniowym.

Mowa jest tu o tym, że:

1. Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa kąty przystające;

2. Symetralna odcinka dzieli odcinek na 2 odcinki przystające;

3. Dwa wielokąty są przystające, jeżeli odpowiednie kąty są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości, oraz sformułowane są warunki do stwierdzenia, że dwa trójkąty są przystające:

- bbb

- bkb

- kbk

5. „Matematyka z plusem”

Pojęcie figur przystających wprowadzone jest w dziale „Figury geometryczne” w temacie Przystawanie trójkątów.

Wprowadzenie do tematu lekcji rozpoczyna się od przedstawienia 3 par figur przystających oraz stwierdzenia, że dane pary figur mają ten sam kształt i rozmiar.

Następnie przedstawiony jest rysunek figur F i F' mających takie same długości boków oraz takie same miary odpowiednich kątów.

W dalszej części autorzy zajmują się trójkątami przystającymi.

Rozpoczynają od dokładnego opisania konstrukcji trójkąta ABC mając dane 3 boki.

Następnie zalecają wykonanie ćwiczenia polegającego na skonstruowaniu trójkąta o takich samych bokach jak trójkąt skonstruowany w przykładzie oraz zmierzeniu w nich kątów. Po rozwiązaniu tego ćwiczenia otrzymujemy trójkąt przystający do trójkąta ABC.

Sformułowana jest tu pierwsza cecha przystawania trójkątów: bbb.

Jako druga jest wykonana i opisana konstrukcja trójkąta mając dane 2 boki i kąt.

Ćwiczenie następne polega na skonstruowaniu trójkąta o bokach 5 i 6 cm oraz kącie między nimi 40^o, porównaniu go z trójkątem wykonanym przez kolegę z ławki i zauważeniu, że są one przystające.

W ten sposób sformułowana jest druga cecha przystawania trójkątów: bkb.

Przedstawiona jest też trzecia konstrukcja trójkąta- mając dany jeden bo ki 2 kąty.

Ćwiczenie zaproponowane po opisie konstrukcji polega na skonstruowaniu trójkąta o boku 5 cm oraz kątach, przyległych do niego, równych 40^o i 65^o, porównaniu go z trójkątem wykonanym przez kolegę z ławki i zauważeniu, że są one przystające.

W ten sposób sformułowana jest trzecia cecha przystawania trójkątów: kbk.

Dalej przedstawione są zadania. Np.:

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem. Wykaż, że trójkąt ABF jest przystający do trójkąta CDE oraz, że trójkąt AED jest przystający do trójkąta CFB.

3. Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?

1. Uczniowie często mylą przystawanie z podobieństwem figur;

2. Uczniowie często nie potrafią konstruować trójkątów gdy dane są trzy boki;

3. Uczniowie często nie potrafią konstruować trójkątów gdy dane są dwa boki i kąt między nimi zawarty;

4. Uczniowie często nie potrafią konstruować trójkątów gdy dany jest jeden bok i kąty do niego przyległe;

5. Uczniowie często znając cechy przystawania trójkątów nie potrafią wskazać odpowiednich boków i kątów;

6. Uczniowie często nie potrafią zastosować informacji na temat figur podobnych w rozwiązywaniu zadań;

4. Podczas realizacji, jakich tematów są one później wykorzystywane?

Wiadomości o figurach przystających wykorzystywane są do następujących tematów:

1. Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku.

2. Symetrie.

3. Dwusieczna kąta.

4. Symetralna odcinka.

5. Konstrukcja kąta równego danemu.

6. Konstrukcja sześciokąta foremnego.

7. Pole trójkąta (wykorzystuje się pole dwóch przystających trójkątów, tworzących prostokąt, równoległobok).

8. Kąty wierzchołkowe i przyległe.

9. Siatki graniastosłupów i ostrosłupów.

5. Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy.

Zadania z zakresu figur przystających nie pojawiły się do tej pory na egzaminach zewnętrznych. Uwzględniając jednak standardy wymagań mogłyby pojawić się następujące zadania:

Zadanie testowe.

Czy dane zdanie jest prawdziwe?

1. Jeżeli odpowiednie przyprostokątne dwóch trójkątów prostokątnych są przystające, to trójkąty te są przystające.

2. Jeżeli przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych dwóch trójkątów prostokątnych są przystające, to trójkąty są przystające.

Zad 2

Wiemy, że trójkąty ABS i KSL są przystające. Przez punkt S przeprowadzono odcinek MN, jak na rysunku. Udowodnij, że trójkąt ANS jest przystający do trójkąta MSL.

Rysunek kartka Lidki

Zad 3

W trójkątach ABC i A'B'C' poprowadzono środkowe BD i B'D'. wiadomo, że |AB|=|A'B'|, kąt CAB = C'A'B' oraz kąt ABD=A'B'D'. wykaż, że ∆ABC≡∆A'B'C'.

6. Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek między przedmiotowych lub podczas realizacji programu z innego przedmiotu?

1. Fizyka:

Trójkąty utworzone poprzez połączenie wektorów siły rzutu ukośnego z płaszczyzną, gdzie rzut podzielony jest na dwie części: do momentu osiągnięcia maksymalnej wysokości i do upadku na płaszczyznę.

rysunek

2. Technika:

- Rzutowanie prostokątne ścian bocznych sześcianu na płaszczyznę.

3. Biologia:

- Łańcuch DNA organizmów rozmnażających się przez podział i pączkowanie (te same geny);

- Organizmy klonowane (komórki, narządy, owca Dolly)

4. Geografia:

- Dane dwa miasta lezę od siebie w danej odległości. Podana jest odległość trzeciego miasta od dwóch poprzednich.

Znaleźć inne miasta leżące w takich samych odległościach od dwóch pierwszych.

5. Chemia:

- Budowa pojedynczych atomów tego samego pierwiastka.

7. Sformułować cele operacyjne do poszczególnych zagadnień.
   

Uczeń wie:

• czym jest trójkąt, jakie są rodzaje trójkątów i jakie mają własności

• jakie trójkąty nazywamy przystającymi,

• jaką postać mają cechy przystawania trójkątów.

Uczeń umie:

• opisać trójkąty przystające,

• badać przystawanie trójkątów z wykorzystaniem cech przystawania,

• wskazywać pary trójkątów przystających,

• dostrzegać figury przystające,

• konstruować trójkąty o danych trzech bokach,

• konstruować trójkąty, gdy dane są bok i dwa kąty do niego przyległe,

• konstruować trójkąty gdy dane są dwa boki i kąt między nimi zawarty,

• rozwiązywać zadania konstrukcyjne z wykorzystaniem własności trójkątów;

8. Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie. Zadania ciekawe, oryginalne, zadania dla uczniów bardzo zdolnych.

Zadania typowe:

Zad 1

Czy narysowane figury są przystające?

Zad 2

Który z narysowanych trójkątów jest przystający do trójkąta ABC?

Zad 3

Zadania rozwijające:

Zad 1

W równoległoboku ABCD punkty MNPQ są środkami boków. Wypisz wszystkie trójkąty przystające do a) ∆AMQ; b) ∆ABD; c) ∆MNP;

Rysunek kartka lidki

Zad 2

Dany jest ∆ABC o wierzchołkach w punktach (-2;-1)(1;-2)(1;1). Dorysuj taki trójkąt przystający do ∆ABC, aby powstał równoległobok. Podaj współrzędne czwartego wierzchołka. Oblicz pole otrzymanego równoległoboku. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zad 3

Przekątne AC i BD trapezu równoramiennego ABCD przecinają się w punkcie E. uzasadnij, że ∆AED ≡ ∆BEC.

Zad 4

Narysuj dowolny kąt alfa, dowolny odcinek a i dłuższy od niego odcinek h. skonstruuj trójkąt, w którym jeden z boków ma długość a, wysokość opuszczona na ten bok ma długość h, a jeden z kątów lżących przy boku a jest równy alfa.

9. Jakie ciekawe metody, środki dydaktyczne można wykorzystać podczas realizacji tego zagadnienia?

Ścieżki:

- czytelniczo- medialna- wiedząc, że odległość między miastami A i C wynosi 156km, między miastami C i D 222km, między A i D 87 km. Miasta te są wierzchołkami trójkąta na mapie Polski. Zaś miasta K G E są wierzchołkami trójkąta przystającego do ACD. Jaka jest odległość między miastami K i G, G i E oraz K i E?

- regionalna, ekologiczna- jak zmierzyć odległość dwóch drzew A i B, między którymi znajduje się staw.

- filozoficzna- Zapiski historyczne podają, że grecki uczony Tales z Miletu dokonał pomiaru odległości okrętu od brzegu prowadząc na piasku linie tak, jak to przedstawia rysunek: |AB| =|BC| oraz kąty: BAE i BCD są proste. Stwierdził, że |CD| jest szukaną odległością. Uzasadnij poprawność tego pomiaru. Mając dane |BC| = 400, |BD| = 500, oblicz |CD|.rysunek błękitna 3 str 103

- regionalna- wykonaj plan, z lotu ptaka, skrzyżowania na którym po obu stronach drogi znajdują się takie same budynki, skierowane drzwiami wejściowymi w stronę ulicy.

- wychowanie patriotyczne i obywatelskie- Sprawdź w atlasie historycznym, czy w przeszłości kształt i powierzchnia państwa polskiego były takie same jak w chwili obecnej.

- wychowanie patriotyczne i obywatelskie- Dokumenty urzędowe oznakowane są stemplami urzędowymi. Czy obraz pieczęci oraz stempla wykonanego daną pieczęcią są figurami przystającymi? Odpowiedź uzasadnij.

- prozdrowotna- bliźniacy jednojajowi.

Metody:

Można wykorzystać metodę projektu, praca w grupach:

Nauczyciel na poprzedniej lekcji prosi uczniów o przyniesienie wycinanek, linijki, ołówka i nożyczek. Nauczyciel dzieli klasę na grupy, które wycinają różne figury po uprzednim złożeniu kartek na 4 części. Sformułowany jest wniosek, iż powstałe w ten sposób figury są figurami przystającymi.

---