Wykład 2. 3 IX 2007
Streszczenie tematyki wykładu.
Uwaga:
Jest to wersja uzupełniająca wykład , rozszerzająca zakres informacji, które są przekazywane na wykładzie
Wprowadzenie do opisu ruchu.
Kinematyka jest to dział fizyki opisujący ruch obiektów (bez zajmowania się jego przyczyną).
Uwaga:
W tekście tym obowiązuje umowa pisania wektorów pogrubioną czcionką. Ja na tablicy będę pisał i Wy w zeszytach także oznaczajcie wektory jako symbole ze strzałkami.
Problem:
Jak opisać ruch? Trzeba wprowadzić układ odniesienia. Co to jest?
Układem odniesienia może być dość dowolnie określony zespół punktów, względem których można opisać położenie interesującego nas obiektu. Musi on spełniać jednak warunek jednoznaczności określenia tego położenia.
Najbardziej powszechnym układem odniesienia jest układ kartezjański. Zdefiniowany jest przez trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe i, j, k odpowiednio wzdłuż osi x, y oraz z. Wektory i, j, k mają długość równą 1. Nazywamy je wersorami osi x, y oraz z.
Przypomnienie. Co to jest wektor?
Dowolny wektor A można przedstawić w postaci sumy iloczynów jego składowych: Ax , Ay i Az przez odpowiednie wektory jednostkowe i, j, k.
A = Ax i + Ay j + Az k .
Zauważ, że: Ax i jest rzutem wektora A na kierunek osi x, czyli iloczyn skalarny wektora A i wersora i daje w wyniku składową wektora Ax.
, analogicznie
oraz
Układ współrzędnych kartezjańskich jest najbardziej znanym, ale nie jedynym układem odniesienia. Potrzeba użycia innego typu układu współrzędnych wynika z wewnętrznej symetrii opisywanego problemu.
Problem: Czy droga jest wektorem?
Problem: Czy prędkość jest wektorem?
Problem: Jak zbudować wielkość wektorową: v z wielkości, która nie jest wektorem czyli drogi?
Podstawowe wielkości opisujące ruch.
Tor punktu materialnego z zaznaczeniem wektora wodzącego r(t), i wektora przemieszczenia
.
Pojęcie toru - Tor ruchu punktu otrzymamy rejestrując kolejne położenia punktu w następujących po sobie chwilach czasu. Jest to linia ciągła ponieważ możemy rejestrować te położenia w dowolnie małym odstępie czasu.
Wektor wodzący - wektor "śledzący" swoim końcem położenie przemieszczającego się punktu.
Droga przebyta przez przemieszczający się punkt wynosi
.
Definicja prędkości chwilowej punktu materialnego
W skończonym czasie
cząstka przemieściła się z punktu P1 do P2 . Wektor przemieszczenia zaczyna się w P1 a kończy w P2. Prędkość definiujemy jako iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło. Jest to oczywiście wielkość wektorowa. W miarę skracania przedziału czasu tak zdefiniowana prędkość zaczyna być coraz bliższa stycznej do toru w punkcie P1. Graniczna wartość ilorazu nieskończenie małego przemieszczenia dr, które nastąpiło w nieskończenie krótkim czasie dt jest prędkością chwilową w czasie t.
. Definicja prędkości chwilowej.
Ponieważ wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k, to wektor przemieszczenia:
r = r(t+t) - r(t) =[x(t+t)-x(t)] i + [y(t+t) - y(t)]j + [z(t+t) - z(t)]k.
Wstawiając to do definicji prędkości otrzymamy:
,
oraz po pogrupowaniu wyrazów i skorzystaniu z twierdzenia o granicy sumy funkcji:
,
czyli ostatecznie:
.
Korzystając z wzoru określającego prędkość jako pochodną wektora wodzącego i formalnie podstawiając ogólne wyrażenie opisujące wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k uzyskamy:
.
Ponieważ wersory i, j oraz k nie zmieniają kierunku (mają też oczywiście stałą długość) to ich pochodne po czasie są zerowe. Jak się wkrótce przekonamy w innych układach odniesienia nie zawsze musi to być prawdą.)
Uwaga:
Spróbuj policzyć samodzielnie składową prędkości w kierunku osi x oraz w kierunku osi y dla rzutu ukośnego.
Zagadnienia do powtórzenia z zakresu szkoły średniej:
działania na wektorach czyli algebra wektorów:
dodawanie wektorów, odejmowanie wektorów
mnożenie wektora przez liczbę
Współrzędne wektora w układzie kartezjańskim
zapis wektorów za pomocą współrzędnych w układzie kartezjańskim oraz opis dodawania \, odejmowania, mnożenia wektora przez liczbę za pomocą współrzędnych
Elementy algebry wektorów.
Ddodawanie wektorów - Wektor C jest sumą wektorów A i B. C = A + B.
Rysunek pokazuje wektor wypadkowy C, który jest sumą wektorów A i B.
Przykład znajdowania przemieszczenia cząstki B jest pokazany na rysunku obok. Ponieważ
C = A + B,
to: B = C + (-A) = C - A.
Zauważ, że wektor przemieszczenia B zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego ruchu nie zależy zaś od toru cząstki.
Mnożenie wektora przez liczbę:
D = a A
W wyniku otrzymujemy wektor D, który jest równoległy do wektora A.
Iloczyn skalarny wektorów oraz iloczyn wektorowy wektorów - [będą omówione na wykładzie drugim].
pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie
pojęcie funkcji pochodnej
Zagadnienia sprawiające z reguły trudność studentom:
zapis wektorowy wielkości kinematycznych z użyciem wersorów
działania na wektorach czyli algebra wektorów - zakres ze szkoły średniej
Proszę o przypomnienie sobie tych pojęć w zakresie szkoły średniej (fizyka i matematyka) albo zapraszam na konsultacje.
Informacje dodatkowe
Ruch po okręgu wygodniej jest opisać w tak zwanym układzie współrzędnych biegunowych, podając dwie współrzędne opisujące punkt P na płaszczyźnie: r - odległość naszej cząstki w punkcie P od punktu wyróżnionego O, oraz kąt jaki tworzy odcinek OP z wyróżnioną półprostą, która zaczyna się w punkcie O. Najczęściej przyjmuje się, że wyróżniona półprosta pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi OX układu kartezjańskiego XOY. Wrócimy do tego zagadnienia w wykładzie 2.
Inne popularne układy współrzędnych to: układ walcowy - daje trzy współrzędne: r i na płaszczyźnie oraz współrzędną z podającą "wysokość" punktu P nad lub pod płaszczyzną oraz układ współrzędnych sferyczny z odległością r od punktu początkowego O do punktu P, kątem między osią pionową i odcinkiem OP oraz kątem , jaki tworzy rzut wektora r na płaszczyznę XOY z dodatnim kierunkiem osi OX.
Przykład:
Równanie sfery w układzie kartezjańskim: x2 + y2 +z2 = R2.
Równanie sfery w układzie sferycznym: r = R, ( ponieważ kąty oraz są dowolne).