2 Wykład 2, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego


Wykład 2.                                                                3 IX 2007

Streszczenie tematyki wykładu.

Uwaga:

Jest to wersja uzupełniająca wykład , rozszerzająca zakres informacji, które są przekazywane na wykładzie

 

 

Wprowadzenie do opisu ruchu.

 Kinematyka jest to dział fizyki opisujący ruch obiektów (bez zajmowania się jego przyczyną).

 

Uwaga:

W tekście tym obowiązuje umowa pisania wektorów pogrubioną czcionką. Ja na tablicy będę pisał i Wy w zeszytach także oznaczajcie wektory jako symbole ze strzałkami.

 

Problem:

Jak opisać ruch? Trzeba wprowadzić układ odniesienia. Co to jest?

Układem odniesienia może być dość dowolnie określony zespół punktów, względem których można opisać położenie interesującego nas obiektu. Musi on spełniać jednak warunek jednoznaczności określenia tego położenia.

 0x08 graphic

Najbardziej powszechnym układem odniesienia jest układ kartezjański. Zdefiniowany jest przez trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe i, j, k odpowiednio wzdłuż osi x, y oraz z. Wektory i, j, k mają długość równą 1. Nazywamy je wersorami osi x, y oraz z.

 

      Przypomnienie. Co to jest wektor?

 

Dowolny wektor A można przedstawić w postaci sumy iloczynów jego składowych: Ax , Ay i Az przez odpowiednie wektory jednostkowe i, j, k.

 

A = Ax i + Ay j + Az k .

 

Zauważ, że: Ax i jest rzutem wektora A na kierunek osi x, czyli iloczyn skalarny wektora A i wersora i daje w wyniku składową wektora Ax.

0x01 graphic
, analogicznie0x01 graphic
oraz  0x01 graphic

 

Układ współrzędnych kartezjańskich jest najbardziej znanym, ale nie jedynym układem odniesienia. Potrzeba użycia innego typu układu współrzędnych wynika z wewnętrznej symetrii opisywanego problemu.

 

 

      Problem:  Czy droga jest wektorem?

      Problem: Czy prędkość jest wektorem?

      Problem: Jak zbudować wielkość wektorową: v z wielkości, która nie jest wektorem czyli drogi?

 

 

Podstawowe wielkości opisujące ruch.

0x08 graphic
Tor punktu materialnego z zaznaczeniem wektora wodzącego r(t), i wektora przemieszczenia0x01 graphic
.

 

Pojęcie toru - Tor ruchu punktu otrzymamy rejestrując kolejne położenia punktu w następujących po sobie chwilach czasu. Jest to linia ciągła ponieważ możemy rejestrować te położenia w dowolnie małym odstępie czasu.

 

      Wektor wodzący - wektor "śledzący" swoim końcem położenie przemieszczającego się punktu.

      Droga przebyta przez przemieszczający się punkt wynosi0x01 graphic
.

 

Definicja prędkości chwilowej punktu materialnego

 

0x08 graphic
W skończonym czasie 0x01 graphic
 cząstka przemieściła się z punktu P1 do P2 . Wektor przemieszczenia zaczyna się w P1 a kończy w P2. Prędkość definiujemy jako iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło. Jest to oczywiście wielkość wektorowa. W miarę skracania przedziału czasu tak zdefiniowana prędkość zaczyna być coraz bliższa stycznej do toru w punkcie P1. Graniczna wartość ilorazu nieskończenie małego przemieszczenia dr, które nastąpiło w nieskończenie krótkim czasie dt jest prędkością chwilową w czasie t.

 

0x01 graphic
.  Definicja prędkości chwilowej.

 

Ponieważ wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k, to wektor przemieszczenia:

 

r = r(t+t) - r(t) =[x(t+t)-x(t)] i + [y(t+t) - y(t)]j + [z(t+t) - z(t)]k.

 

Wstawiając to do definicji prędkości otrzymamy:

 

0x01 graphic
,

 

oraz po pogrupowaniu wyrazów i skorzystaniu z twierdzenia o granicy sumy funkcji:

 

0x01 graphic
,

czyli ostatecznie:

0x01 graphic
.

 

Korzystając z wzoru określającego prędkość jako pochodną wektora wodzącego i formalnie podstawiając ogólne wyrażenie opisujące wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k uzyskamy:

 

0x01 graphic
.

 

Ponieważ wersory i, j oraz k nie zmieniają kierunku (mają też oczywiście stałą długość) to ich pochodne po czasie są zerowe. Jak się wkrótce przekonamy w innych układach odniesienia nie zawsze musi to być prawdą.)

 

Uwaga:

Spróbuj policzyć samodzielnie składową prędkości w kierunku osi x oraz w kierunku osi y dla rzutu ukośnego.

 

 

Zagadnienia do powtórzenia z zakresu szkoły średniej:

 

      działania na wektorach czyli algebra wektorów:

       dodawanie wektorów, odejmowanie wektorów

       mnożenie wektora przez liczbę

      Współrzędne wektora w układzie kartezjańskim

       zapis wektorów za pomocą współrzędnych w układzie kartezjańskim oraz opis dodawania \, odejmowania, mnożenia wektora przez liczbę za pomocą współrzędnych

 

 

Elementy algebry wektorów.

0x08 graphic
Ddodawanie wektorów - Wektor C jest sumą wektorów A i B.    A  +  B.

0x08 graphic
Rysunek pokazuje wektor wypadkowy C, który jest sumą wektorów A i B.

 

 

 

 

 

Przykład znajdowania przemieszczenia cząstki B jest pokazany na rysunku obok. Ponieważ

                   C  A  +  B,

 

to:  B = C + (-A) = C - A.

Zauważ, że wektor przemieszczenia B zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego ruchu nie zależy zaś od toru cząstki.

 

 

Mnożenie wektora przez liczbę:

                                                 D = a A

W wyniku otrzymujemy wektor D, który jest równoległy do wektora A.

 

Iloczyn skalarny wektorów oraz iloczyn wektorowy wektorów - [będą omówione na wykładzie drugim].

 

 

      pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie

      pojęcie funkcji pochodnej

 

Zagadnienia sprawiające z reguły trudność studentom:

      zapis wektorowy wielkości kinematycznych z użyciem wersorów

      działania na wektorach czyli algebra wektorów - zakres ze szkoły średniej

 

Proszę o przypomnienie sobie tych pojęć w zakresie szkoły średniej (fizyka i matematyka) albo zapraszam na konsultacje.

 

 

 

 

Informacje dodatkowe

 

0x08 graphic
Ruch po okręgu wygodniej jest opisać w tak zwanym układzie współrzędnych biegunowych, podając dwie współrzędne opisujące punkt P na płaszczyźnie: r - odległość naszej cząstki w punkcie P od punktu wyróżnionego O, oraz kąt  jaki tworzy odcinek OP z wyróżnioną półprostą, która zaczyna się w punkcie O. Najczęściej przyjmuje się, że wyróżniona półprosta pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi OX układu kartezjańskiego XOY. Wrócimy do tego zagadnienia w wykładzie 2. 

 

Inne popularne układy współrzędnych to: układ walcowy - daje trzy współrzędne: r i   na płaszczyźnie oraz współrzędną z podającą "wysokość" punktu P nad lub pod płaszczyzną oraz układ współrzędnych sferyczny z odległością r od punktu początkowego O do punktu P, kątem  między osią pionową i odcinkiem OP oraz kątem , jaki tworzy rzut wektora r na płaszczyznę XOY z dodatnim kierunkiem osi OX.

Przykład:

Równanie sfery w układzie kartezjańskim: x2 + y2 +z2 = R2.

Równanie sfery w układzie sferycznym: r = R, ( ponieważ kąty  oraz  są dowolne).

 



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1 Wykład 1, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
3 Wykład 3, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
5 drgania wymuszone, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
5 drgania tlumione, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
optyka1, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
4 w4z dodatek, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
1-odp, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
Ochrona-Wlasnosci-Intelektualnych-wyklady, Politechnika Łódzka, Technologia Żywności i Żywienie Czlo
2, Laborki Fizyka Politechnika Łódzka, Fizyka wykłady- Wojciechowski
Tabelka pomiarowa do 21, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, CHEMIA FIZYCZNA
1.10spis treci do cigi z metro, POLITECHNIKA (Łódzka), Metrologia, 1semestr
Prawo inżynierskie i ochrona własności intelektualnych. Wykład 3, Studia, Politechnika Łódzka - Pend
Podaję listę pytań do zaliczenia wykładu, Politechnika, Podstawy marketingu
wykład4 Systemowe zarządanie wg. PN-18001, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, ZARZĄDZANIE BEZPIECZE
wykład5 Koszty bhp, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, ZARZĄDZANIE BEZPIECZEŃSTWEM
14.04, Konspekt do cwiczenia 4-wyniki, Politechnika Łódzka
biotechnologia zagadnienia do kolokwium, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, BIOTECHNOLOGIA ŚRODOWIS

więcej podobnych podstron