WERSJA POPRAWIONA (7

ZAPOZNAJ SIĘ Z NAJWAŻNIEJSZYMI WNIOSKAMI ZWŁASZCZA TYMI DOTYCZĄCYMI ENERGII, DOBROCI I DEKREMENTU TŁUMIENIA UKŁADU.

RUCH DRGAJĄCY TŁUMIONY - KOMPLETNE ROZWIĄZANIE:

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN"><DIV TYPE=HEADER></DIV>Ruch harmoniczny tłumiony - sformułowanie problemu.

Rozważmy ruch harmoniczny prosty, w którym działa siła sprężysta:
oraz dodatkowo siła oporu ośrodka F_op. Siła oporu jest proporcjonalna do prędkości, jeśli mamy do czynienia z siłą oporu lepkiego w płynie. Przeciwdziała ona ruchowi, czyli jest proporcjonalna do prędkości masy wykonującej drgania pod działaniem siły sprężystej i ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości:
.

Równanie ruchu zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona przyjmie formę następującą:

Uwaga: Czemu siła oporu zależy od prędkości ? (Przypomnij sobie wykład i informacje o ruchu w płynie, czyli gazie lub cieczy, charakteryzującymi się pewną lepkością)

Ponieważ pokazaliśmy, że w ruchu harmonicznym prostym zachodzi związek: ₀²= k/m otrzymamy po uporządkowaniu wyrazów i podzieleniu przez wyrażenie przy najwyższej pochodnej, czyli przez m równanie:

Rozwiązanie równania ruchu drgającego tłumionego.

W celu uproszczenia rachunków zastosujemy pewien wybieg formalny. Postulujemy rozwiązanie, w dziedzinie liczb zespolonych (które w całości nie ma sensu fizycznego) a następnie w końcowym etapie obliczeń zostawiamy tylko część rzeczywistą naszego rozwiązania otrzymując poprawny i mający sens fizyczny rezultat.

Wychylenie jest wielkością rzeczywistą i postulowanie rozwiązania zespolonego jest tylko zabiegiem formalnym ułatwiającym rozwiązanie problemu.

Ponieważ spodziewamy się rozwiązania o charakterze harmonicznym postulujemy rozwiązanie zespolone w postaci:

Wynika to z własności liczb zespolonych i z tego, że równanie jest liniowe, ponieważ
, tak więc jest to kombinacja liniowa części rzeczywistej i zespolonej o postaci:

Obydwa składniki tej sumy spełniają równanie ruchu (1) przy spełnieniu określonych warunków dla współczynnika 

Musimy teraz znaleźć wartość  , dla której tak postulowana funkcja x(t) spełnia równanie (1). W wyniku końcowym weźmiemy oczywiście tylko część rzeczywistą rozwiązania jako tę, która jest realnym rozwiązaniem naszego zagadnienia..

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji x(t) po czasie i wstawiamy do równania opisującego ruch tłumiony.

Równanie to musi być spełnione dla
tożsamościowo, a więc warunek ten powoduje, że dla każdego czasu t:

czyli wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru.

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe dla  w dziedzinie zespolonej.

Analiza możliwych pierwiastków równania w zależności od znaku wyróżnika równania (delty)

RUCH DRGAJĄCY TŁUMIONY - QUASI-PERIODYCZNY

odpowiednio z plusem dla indeksu 1 oraz minusem dla indeksu 2.

_1,2 =
, gdzie ' jest liczbą rzeczywistą.

Ponieważ część rzeczywista jest mającym sens fizyczny rozwiązaniem równania (1) weźmiemy ją z wyniku otrzymanego przy użyciu liczb zespolonych.

ponieważ cosinus jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie to jest poprawne pod warunkiem dodatniej wartości wyróżnika, czyli

Mamy do czynienia z drganiami nazywanymi w literaturze drganiami tłumionymi ze słabym tłumieniem, a rozwiązanie x(t) jest quasi-okresowe, ponieważ czynnik
, jest tu zmienny w czasie. Wynika stąd, że drgający obiekt nie powraca do danego maksymalnego wychylenia z powodu występowania tłumienia, czyli formalnie nie jest tu spełniona zależność okresowości ruchu dana wzorem: x(t)=x(t+T) !!

Tłumienie odpowiadające warunkowi 0x01 graphic
, czyli
nazywamy tłumieniem krytycznym.

Otrzymujemy wtedy wartość pierwiastka delty jako liczbę zespoloną:

Rozwiązanie jest kombinacją liniową rozwiązań w postaci:

otrzymujemy więc również równanie ruchu nieperiodycznego.

Tę część poniżej proszę uważnie przeczytać i postarać się zrozumieć jakościowo główne idee,

Analiza energii ruchu drgającego tłumionego (wyróżnik
dodatni)

Energia oscylatora słabo tłumionego jest określona szybkozmienną funkcją cos 0x01 graphic
oscylującą w wolno zmiennej obwiedni opisanej przez funkcje wykładnicze:
oraz
.

Definiuje się czas po którym amplituda zmaleje e razy jako czas relaksacji dla amplitudy.

Uśredniona w czasie okresu drgań energia oscylatora E jest zależna od kwadratu amplitudy i zmniejsza się z upływem czasu wykładniczo.

Definiuje się czas, po którym uśredniona energia maleje e razy. Nazywamy go czasem relaksacji dla energii. Oznaczając go jako  możemy napisać zależność uśrednionej w czasie jednego okresu energii jako:

Widać, że  =
, czyli przy niewielkim współczynniku oporu  układ będzie powoli tracił energię.

Współczynnik dobroci Q definiujemy jako:

Czyli wykorzystując zależność energii uśrednionej od czasu obliczymy średnią moc strat:

Jeśli współczynnik oporu ośrodka jest niewielki to współczynnik dobroci jest duży i układ wolno rozprasza swoją energię. W szczególności dobroć oscylatora harmonicznego prostego jest nieskończenie wielka, bo brak jest tłumienia ośrodka i nie ma rozpraszanie jego energii. Wynika to w bezpośredni sposób z energetycznego zdefiniowania dobroci układu Q.

Jest to odwrotność liczby okresów drgań, po których amplituda drgań zmaleje e razy.

Zakładając, że A_n=
, A_n+1=
otrzymamy:

Załóżmy, że N jest liczbą okresów, po których amplituda zmniejsza się e razy. Wtedy warunek ten zapiszemy jako:

Obliczając logarytm naturalny obu stron ostatniego równania.

ale z drugiej strony jest to lne=1, czyli:

Pokazaliśmy, że  jest liczbowo równe odwrotności liczby okresów, po których amplituda maleje e razy. Czas, po którym amplituda maleje e razy nazywamy czasem relaksacji dla amplitudy drgań tłumionych.