ZAPOZNAJ SIĘ Z NAJWAŻNIEJSZYMI WNIOSKAMI ZWŁASZCZA TYMI DOTYCZĄCYMI ENERGII, DOBROCI I DEKREMENTU TŁUMIENIA UKŁADU.
RUCH DRGAJĄCY TŁUMIONY - KOMPLETNE ROZWIĄZANIE:
QUASI-PERIODYCZNE - dobroć oscylatora, logarytmiczny dekrement tłumienia
TŁUMIENIE KRYTYCZNE
RUCH APERIODYCZNY
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN"><DIV TYPE=HEADER></DIV>Ruch harmoniczny tłumiony - sformułowanie problemu.
Rozważmy ruch harmoniczny prosty, w którym działa siła sprężysta:
oraz dodatkowo siła oporu ośrodka Fop. Siła oporu jest proporcjonalna do prędkości, jeśli mamy do czynienia z siłą oporu lepkiego w płynie. Przeciwdziała ona ruchowi, czyli jest proporcjonalna do prędkości masy wykonującej drgania pod działaniem siły sprężystej i ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości: 
.
Równanie ruchu zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona przyjmie formę następującą:
ma = - kx - v,
czyli:
.
Uwaga: Czemu siła oporu zależy od prędkości ? (Przypomnij sobie wykład i informacje o ruchu w płynie, czyli gazie lub cieczy, charakteryzującymi się pewną lepkością)
Ponieważ pokazaliśmy, że w ruchu harmonicznym prostym zachodzi związek: 02= k/m otrzymamy po uporządkowaniu wyrazów i podzieleniu przez wyrażenie przy najwyższej pochodnej, czyli przez m równanie:
(1)
Rozwiązanie równania ruchu drgającego tłumionego.
W celu uproszczenia rachunków zastosujemy pewien wybieg formalny. Postulujemy rozwiązanie, w dziedzinie liczb zespolonych (które w całości nie ma sensu fizycznego) a następnie w końcowym etapie obliczeń zostawiamy tylko część rzeczywistą naszego rozwiązania otrzymując poprawny i mający sens fizyczny rezultat.
Uwaga:
Wychylenie jest wielkością rzeczywistą i postulowanie rozwiązania zespolonego jest tylko zabiegiem formalnym ułatwiającym rozwiązanie problemu.
Ponieważ spodziewamy się rozwiązania o charakterze harmonicznym postulujemy rozwiązanie zespolone w postaci:
.
Wynika to z własności liczb zespolonych i z tego, że równanie jest liniowe, ponieważ 
, tak więc jest to kombinacja liniowa części rzeczywistej i zespolonej o postaci:
Obydwa składniki tej sumy spełniają równanie ruchu (1) przy spełnieniu określonych warunków dla współczynnika
Musimy teraz znaleźć wartość , dla której tak postulowana funkcja x(t) spełnia równanie (1). W wyniku końcowym weźmiemy oczywiście tylko część rzeczywistą rozwiązania jako tę, która jest realnym rozwiązaniem naszego zagadnienia..
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji x(t) po czasie i wstawiamy do równania opisującego ruch tłumiony.
, 
otrzymując:
Równanie to musi być spełnione dla 
tożsamościowo, a więc warunek ten powoduje, że dla każdego czasu t:
,
czyli wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru.
Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe dla w dziedzinie zespolonej.
(2).
Analiza możliwych pierwiastków równania w zależności od znaku wyróżnika równania (delty)
RUCH DRGAJĄCY TŁUMIONY - QUASI-PERIODYCZNY
Wyróżnik równania
Pierwiastki równania (2) są równe:
1,2 = 
odpowiednio z plusem dla indeksu 1 oraz minusem dla indeksu 2.
Oznaczając
' = 
otrzymamy:
1,2 = 
, gdzie ' jest liczbą rzeczywistą.
Rozwiązanie równania ma postać:
x1,2 = 
lub
x1,2 = 
.
Ponieważ część rzeczywista jest mającym sens fizyczny rozwiązaniem równania (1) weźmiemy ją z wyniku otrzymanego przy użyciu liczb zespolonych.
x = 
ponieważ cosinus jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie to jest poprawne pod warunkiem dodatniej wartości wyróżnika, czyli
.
Ważne informacje:
Jeśli spełniony jest warunek:
.
Mamy do czynienia z drganiami nazywanymi w literaturze drganiami tłumionymi ze słabym tłumieniem, a rozwiązanie x(t) jest quasi-okresowe, ponieważ czynnik 
, jest tu zmienny w czasie. Wynika stąd, że drgający obiekt nie powraca do danego maksymalnego wychylenia z powodu występowania tłumienia, czyli formalnie nie jest tu spełniona zależność okresowości ruchu dana wzorem: x(t)=x(t+T) !!
RUCH DRGAJĄCY TŁUMIONY KRYTYCZNIE
2 Wyróżnik równania 
Rozwiązanie ma wtedy postać:
x = 
i przedstawia ruch aperiodyczny.
Ważne informacje:
Tłumienie odpowiadające warunkowi 
, czyli 
nazywamy tłumieniem krytycznym.
RUCH TŁUMIONY - APERIODYCZNY
3 Wyróżnik równania 
Otrzymujemy wtedy wartość pierwiastka delty jako liczbę zespoloną:
oraz rozwiązanie w postaci:
x1,2 = 
.
Rozwiązanie jest kombinacją liniową rozwiązań w postaci:
x = 
,
gdzie
,
otrzymujemy więc również równanie ruchu nieperiodycznego.
Tę część poniżej proszę uważnie przeczytać i postarać się zrozumieć jakościowo główne idee,
Analiza energii ruchu drgającego tłumionego (wyróżnik 
dodatni)
Energia oscylatora słabo tłumionego jest określona szybkozmienną funkcją cos
oscylującą w wolno zmiennej obwiedni opisanej przez funkcje wykładnicze: 
oraz 
.
Definiuje się czas po którym amplituda zmaleje e razy jako czas relaksacji dla amplitudy.
Uśredniona w czasie okresu drgań energia oscylatora E jest zależna od kwadratu amplitudy i zmniejsza się z upływem czasu wykładniczo.
E = 
Definiuje się czas, po którym uśredniona energia maleje e razy. Nazywamy go czasem relaksacji dla energii. Oznaczając go jako możemy napisać zależność uśrednionej w czasie jednego okresu energii jako:
E = 
.
Widać, że = 
, czyli przy niewielkim współczynniku oporu układ będzie powoli tracił energię.
Dobroć oscylatora słabo tłumionego
Współczynnik dobroci Q definiujemy jako:
Q = 
,
Czyli wykorzystując zależność energii uśrednionej od czasu obliczymy średnią moc strat:
-Pstrat=
.
Stąd dobroć:
Q=
.
Jeśli współczynnik oporu ośrodka jest niewielki to współczynnik dobroci jest duży i układ wolno rozprasza swoją energię. W szczególności dobroć oscylatora harmonicznego prostego jest nieskończenie wielka, bo brak jest tłumienia ośrodka i nie ma rozpraszanie jego energii. Wynika to w bezpośredni sposób z energetycznego zdefiniowania dobroci układu Q.
Dekrement logarytmiczny tłumienia
Jest to odwrotność liczby okresów drgań, po których amplituda drgań zmaleje e razy.
Zapiszmy definicję dekrementu
= 
.
Zakładając, że An=
, An+1=
otrzymamy:
= 
.
Załóżmy, że N jest liczbą okresów, po których amplituda zmniejsza się e razy. Wtedy warunek ten zapiszemy jako:
.
Obliczając logarytm naturalny obu stron ostatniego równania.
ale z drugiej strony jest to lne=1, czyli:
, czyli N=1.
Pokazaliśmy, że jest liczbowo równe odwrotności liczby okresów, po których amplituda maleje e razy. Czas, po którym amplituda maleje e razy nazywamy czasem relaksacji dla amplitudy drgań tłumionych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
5 drgania wymuszone, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
1 Wykład 1, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
3 Wykład 3, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
2 Wykład 2, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
optyka1, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
4 w4z dodatek, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
1-odp, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego
Tabelka pomiarowa do 21, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, CHEMIA FIZYCZNA
1.10spis treci do cigi z metro, POLITECHNIKA (Łódzka), Metrologia, 1semestr
14.04, Konspekt do cwiczenia 4-wyniki, Politechnika Łódzka
biotechnologia zagadnienia do kolokwium, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, BIOTECHNOLOGIA ŚRODOWIS
2012 - Pytania do kol wyk, politechnika łódzka, inżynieria chemiczna i procesowa, rok I semestr 2, d
Metrologia - ola i bartek, Konspekt do cwiczenia 1B.O., Politechnika Łódzka
spis do mojej, POLITECHNIKA (Łódzka), Metrologia, 1semestr
strona tytułowa do 45, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, CHEMIA FIZYCZNA
rodzaje i wlasciwosci przetwornikow do pomiaru temperatury, Politechnika Łódzka Elektrotechnika, mag
Część teoretyczna do kolokwium C, POLITECHNIKA ŁÓDZKA, Technologia Żywności i Żywienia Człowieka, se
więcej podobnych podstron