Zestaw B

1.W jakim zagadnieniu spotkałeś wykorzystanie równania Clairauta dla linii geodezyjnej ? Objaśnij to zagadnienie. Wykorzystanie równania Clairauta dla linii geodezyjnej występuje w metodzie rozwiązania zadania wprost algorytmem Kivioja. Metoda ta wykorzystuje także równania różniczkowe pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej i stosowana jest dla odległości nie przekraczających 200km. dB/ds=cos/M.; dL/ds=sinA/NcosB; NcosBsinA=c=const; Algorytm:1.ustalenie dł. elementu l.g. s- ds=s/n gdzie n-liczba elementów dla ds<(1-1,5) km np. ds_i=1000m ds_n-ostatni element. 2.wyznaczamy główne promienie krzywizny w pkt wyjściowym (i=P₁); M_i=a(1-e²)/√(1-e²sin²B_i)³; N_i=a/√1-e²sin²B_i oraz stałą c z równania Clairauta c=N₁cosB₁sinA_12. 3.pierwsze przybliżenie przyrostu szerokości δB_i⁽¹⁾=ds_icosA₁₂/M_i; biorąc średnią wartość szerokości elementu ds_i B_i^m=B_i+1/2δB_i⁽¹⁾ wyznaczamy średnie wartości M_i^m N_i^m oraz wartość azymutu elementu ds_i w połowie tego elementu sinA_i^m=c/(N_i^mcosB_i^m) 4.uzyskujemy lepsze przybliżenie δB_i^m=ds_icosA_i,i+1^m/M_i^m, B_i+1=B_i+δB_i^m; δL_i^m=ds_isinA_i,i+1^m/N_i^mcosB_i^m, L_i+1=L_i+δL_i^m; podstawiając za i=1,2,3....n powtarzamy obliczenia aż uzyskamy pktkońcowy linii geodez P₂. W każdym pkt pośrednim obliczamy najpierw azymut i promienie krzywizny M_i i N_i; współ P₂ liczymy: B2=B₁+∑ⁿ_i=1δB_i^m, L₂=L₁+∑ ⁿ_i=1δL_i^m; A₂₁=A₂±180˚ sinA_n+1^m=c/(N_n+1^mcos B_n+1^m); Gdy mniejsza dł elementu ds tym lepsza dokładność.

2.W jaki sposób wiążą się harmoniczne strefowe, sektorowe i tesseralne z charakterystyką rozkładu masy w przestrzeni, którego dotyczą?Powierzchniowymi harmonicznymi sferycznymi nazywamy wyrażenia, które są iloczynami funkcji Legendre'a i wyrażeń o postaci cosmλ oraz sinmλ: P_nm(cosθ)cosmλ=c_nm(θ,λ); P_nm(cosθ)sinmλ=s_nm(θ,λ); c_nm,s_nm-dowolne stałe; Powierzchniowa harmoniczna sferyczna Y_n(θ,λ)=g(θ)*h(λ) jest sumą kombinacji liniowych powyższych harmonicznych. Y_n(θ,λ)=∑^m=n_m=0(c_nmcosmλ+ s_nmsinmλ)P_nm(cosθ). Gdy m≠n-harmoniczne tesseralne; gdy m=0 i m=n dla n równoleżników-harmoniczne strefowe; gdy m=0 i m=n dla 2n południków-harmoniczne sektorowe. Z analizy funkcji Legendre'a wynika, że różne harmoniczne wiążą się z różnymi rozkładami masy wzgl osi oz (obrotu) i xoy (równika). Założywszy symetrie wzgl osi obrotu można ze wzoru na potencjał grawitacyjny wyeliminować harmoniczne sektorowe i tesseralne a zakładając symetrie wzgl równika pozostają we wzorze tylko składowe strefowe parzyste 2n.

3.Podaj i objaśnij definicję wysokości normalnych Mołodeńskiego; przedstaw uproszczoną procedurę obliczania tych wysokości na podstawie pomiarów niwelacyjnych i grawimetrycznych.Wartość liczby geopotencjalnej wyznacza się z niwelacji geometrycznej (dh) i pomiarów grawimetrycznych (g) wzdłuż ciągu niwelacyjnego (∑gdh).Wartość liczby geopotencjalnej C można wyrazić poprzez różnicę potencjałów: elipsoidy ekwipotencjalnej o potencjale U₀(U₀=W₀) oraz potencjału normalnego U_Q w takim punkcie Q linii pionu pola normalnego, w którym potencjał U_Q=W_P w punkcie na fizycznej powierzchni Ziemi. C=U₀-U_Q=₀∫^HdonγdH -punkt Q leży na telluroidzie, której odl od elipsoidy ekwip jest równa wys normalnej Hⁿ, wys normalna jest jednocześnie wys geometryczną telluroidy; C=Hⁿ*1/Hⁿ₀∫^HdonγdH stąd C=Hⁿγ^-, γ^-=1/Hⁿ₀∫^HdonγdH i jest przeciętną wartością przyspieszenia normalnego wzdłuż wys normalnej Hⁿ; γ^=γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²φ)(Hⁿ/a)+(Hⁿ/a)²]; Hⁿ=C/γ^→Hⁿ=C/γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²B)(C/aγ_e)+(C/aγ_e)²]; γ_e-przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy normalnej; Różnica wysokości normalnych ΔH_ABⁿ=_A∫^Bdh+(1/γ^_AB) _A∫^BHⁿdγ_e+(1/γ^_AB) _A∫^B(g₀-γ₀)dh.

4.Przedstaw metody redukcji współrzędnych prostokątnych na powierzchnię elipsoidy: 1)w polu siły ciężkości, 2)rzutowanie wg normalnej do elipsoidy. Ad.1.Metoda Pizzettiego redukcji w rzeczywistym polu siły ciężkości -wiąże się ona z systemem wysokości ortometrycznych. Pierwszym etapem jest przeniesienie punktu na geoidę tam gdzie linia pionu spotyka tę powierzchnię. Drugi etap to ortogonalny rzut z geoidy na elipsoidę odniesienia. Ad.2.Metoda Helmerta bezpośredniego rzutowania na elipsoidę (x,y,z)→(B,L,H); x=(N+H)cosBcosL; y=(N+H)cosBsinL; z=(N(1-e²)+H)sinB; odległość punktu o wsp x,y,z od osi Oz: 1)p=r=√x²+y²=(N+H)cosB, 2)tgB^(k=0)=z/p*1/1-e², 3)N=a/√(1-e²sin²B)-promień krzywizny w I wertykale, 4)H=p/cosB-N, 5)tgB^(k+1)=z/p(1-(e²N^(k))/(N^(k)+H^(k)))^-1, 6)tgL=y/x -wartość L wyznacza się bezpośrednio, Wartości H i N modyfikujemy w każdym kroku iteracyjnym na podstawie aktualnego przybliżenia B^(k). Zaletą metody Helmerta jest niezależność od pola siły ciężkości, a przez to pełna odwracalność procedury redukcji.

---