POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI
Remigiusz Wagner	Sprawozdanie z ćwiczenia nr 3 Temat: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.
Wydział Elektroniki Rok I	Data: 17.04.1996	Ocena:

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu sztywności przez pomiar okresu sprężystych drgań obrotowych.

2. WSTĘP TEORETYCZNY

W fizyce niutonowskiej posługujemy się pojęciem punktu materialnego. Upraszcza to wiele zagadnień, tworząc matematyczny model zjawiska fizycznego. Nie należy jednak zapominać, że nawet najtwardsze materiały, takie jak diament czy widia (węglik żelaza) ulegają odkształceniom nawet pod działaniem stosunkowo niewielkich sił. Odkształcenia te mogą być nieznaczne (ciała stałe) lub większe (gazy, ciecze).

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia wywołane działającymi na nie siłami znikają zupełnie po ustąpieniu tych sił. Spójrzmy zatem na ten problem bardziej mikroskopowo. Istnienie równowagi trwałej między cząsteczkami ciała stałego (czyli węzłami sieci krystalicznej) wynika z faktu istnienia dwóch sił między cząsteczkami, odpychającej i przyciągającej i ich niejednakowej zależności od odległości między cząsteczkami. Przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej niż siły przyciągania. Dzięki temu przy pewnej odległości wzajamnej cząsteczek r0 siły te równoważą się, tworząc stan równowagi trwałej.

Siły przyciągania i odpychania opisane są przez następujące zależności:

,

gdzie a,b zależą od budowy cząsteczki węzła sieci, a m jest zwykle rzędu 9, n zawiera sie w przedziale 2÷7. Duży wpływ na sprężystość ciał stałych ma również ich budowa, złożenie z wielu małych fragmentów kryształów.

Rozróżniamy cztery rodzaje wiązań atomów lub cząsteczek w ciałach stałych :

1.Jonowe (heteropolarne lub walencyjne) - które powstaje na skutek przyciągania się na przemian rozmieszczonych różnoimiennych jonów np . w kryształach NaCl , KCl .

2.Atomowe (homepolarne lub kowalencyjne) - które jest wynikiem tego , że pewne sąsiadujące ze sobą atomy zawierają wspólne dwa elektrony np . diament , grafit , krzem , german .

3.Metaliczne , które wynika z tego , że istnieje grupa elektronów wspólna wszystkim atomom kryształu . Nazywamy je grupą lub "chmurą" elektronów swobodnych .

4.Van der Waalsa (cząsteczkowe) - w kryształach o tym typie wiązania w węzłach sieci znajdują się obojętne cząsteczki .Siły oddziaływania między nimi powstają na skutek oddziaływania ich wewnętrznych pól elektrycznych oraz oddziaływania drgających ładunków elektrycznych .

Siły działające na ciało wywołują ich odkształcenia . Wszelkie odkształcenia można sprowadzić do trzech głównych rodzajów odkształceń :

1.Odkształcenie jednostronne występuje wtedy , gdy siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała prostopadle do nich .

2.Odkształcenie wszechstronne występuje wtedy ,gdy na każdy element powierzchni ciała działa siła do niego prostopadła .

3.Ścinanie następuje wtedy , gdy działające siły są styczne do powierzchni ciała .

Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni, na którą ona działa, o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem siły:

Jednostką naprężenia jest Pascal [P], czyli takie naprężenie, jakie wywołuje jednostkowa siła działająca na jednostkę powierzchni.

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem :

Jeżęli naprężenia w ciele są dostatecznie małe , to wywołane przez nie odkształcenie względne są do nich wprost proporcjonalne .

Współczynniki proporcjonalności 1/E , 1/K , 1/G nazywamy współczynnikami sprężystości , a ich odwrotności modułami : E - moduł Younga ; K - moduł ściśliwości ; G - moduł sztywności . Są to stałe materiałowe. Pośród metali największe wartości modułu sztywności ma stal G = 79500 MPa , a najmniejsze aluminium G = 26500 MPa . Stałą materiałową zwaną modułem sztywności G możemy wyznaczyć poprzez pomiar okresu sprężystych drgań obrotowych układu przedstawionego na rysunku 1 .

3. UKŁAD POMIAROWY I OBLICZENIA

Rysunek 1 : Schemat wahadła torsyjnego :

M - tarcza stała

K - tarcza wymienna

Wzór na moduł sztywności:

a) forma podręcznikowa

l = długość drutu

m = masa dodatkowej tarczy K

r = promień pręta

R = promień dodatkowej tarczy K

T = okres drgań układu bez dodatkowej tarczy

T1 = okres drgań układu z dodatkową tarczą K

b) forma zawierająca bezpośrednie wielkości mierzone

b = średnica tarczy dodatkowej K mierzona suwmiarką o dokładności 0,02mm

d = średnica drutu mierzona śrubą mikrometryczną o dokładności 0,01mm

m = masa dodatkowej tarczy K mierzona wagą elektoniczną o dokładności 0,1 g

n = liczba drgań wahadła

t = czas , w którym wahadło układu bez dodatkowej tarczy wykonało n drgań

t₁ = czas ,w którym wahadło układu wykonało n drgań z dodatkową tarczą

l = długość drutu

Długość drutu wynosiła 62,1cm + 0,5 mm.

Tabela pomiarów średnicy drutu:

Nr.pom.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Śd[mm]	0.56	0.56	0.56	0.56	0.55	0.55	0.54	0.55	0.56	0.55
Od.śr.	0.006	0.006	0.006	0.006	0.004	0.004	0.014	0.004	0.006	0.004

Nr.pom. - numer pomiaru.

Śd - zmierzona średnica drutu.

Od.śr - odchylenie od wartości średniej.

wartość średnia średnicy drutu wynosi: 0.554

Błąd wyznaczenia średnicy drutu policzyliśmy ze wzoru na błąd średni kwadratowy wyrażający się wzorem:

Błąd urządzenia pomiarowego (śruby mikrometrycznej) wynosił + 0.01mm

Tabela pomiarów średnicy tarczy dodatkowej:

Nr.pom.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Śt [cm]	13.98	13.99	13.98	14.00	13.98	13.97	13.99	14.00	13.99	13.97
Od.śr.	0.005	0.0049	0.005	0.015	0.005	0.015	0.0049	0.015	0.0049	0.015

Śt - zmierzona średnica tarczy.

Wartość średnia średnicy tarczy dodatkowej wynosi: 13.985

Błąd wyznaczenia średnicy tarczy dodatkowej policzyliśmy ze wzoru na błąd średni kwadratowy.

Błąd urządzenia pomiarowego (suwmiarki) wynosił + 0.02mm.

Masa tarczy dodatkowej wynosi: 375.5g + 0.1g

W doświadczeniu liczba drgań n wynosi 100 .

Tabela przeprowadzonych pomiarów czasu wykonywania sprężystych drgań obrotowych:

Nr pomiaru	Tarcza stała czas[s.]	Tarcza dodatkowa czas[s.]
1	780.736	935.835
2	781.023	936.347
3	781.022	936.248

Błąd urządzenia pomiarowego (licznik) wynosił + 0.001s.

Ponieważ przeprowadziliśmy tylko trzy pomiary błąd otrzymanych wyników wyznaczenia czasu obliczymy metodą Studenta-Fishera.

Dla pomiarów z tarczą stałą wartość średnia wynosi: 780.927

Wybieramy poziom ufności α=0.95. Z tablicy dla N=3 i α=0.95 znajdujemy t_{N , α}= 4.3

Obliczamy szerokość przedziału ufności

t_{N , α} •σ_b = 4.3•0.156=0.669

Zatem czas drgań tarzy stałej wynosi: 780.927 + 0.699

Dla pomiarów z tarczą dodatkową wartość średnia wynosi: 936.143

Wybieramy poziom ufności α=0.95. Z tablicy dla N=3 i α=0.95 znajdujemy t_{N , α}= 4.3

Obliczamy szerokość przedziału ufności

t_{N , α} •σ_b = 4.3•0.166=0.714

Zatem czas drgań tarzy stałej wynosi: 936.143 + 0.714

Tak więc podstawiamy do wzoru otrzymane wartości.

G=15525631.61504

Do obliczenia błędu , z jakim wyznaczono moduł sztywności G , można - mimo iż w mianowniku występuje różnica - posłużyć się metodą różniczki logarytmicznej:

.Zakładamy , że

oraz

.

Błąd względny wyraża się wzorem :

Dm/m = 0,1/375,5 = 0,000266311

2Db/b =2 (0,02/13,985) = 0,002860207

Dl/l = 0,5/62,1 = 0,008051529

4Dd/d = 4 (0,01/0,554) = 0,072202166

2Dt/t1 -t =2(0,001/155,216) = 0,000012885

Błąd względny DG/G wynosi 0,0833931 = 5,98 %

4. DYSKUSJA BŁĘDÓW I WNIOSKI

Na wyliczony błąd modułu sztywności wpływają błędy poszczególnych wielkości mierzonych w wykonanym doświadczeniu. Błędy te zostały spowodowane niedokładnością przyrządów pomiarowych , nieprecyzyjnym odczytem wyników podczas pomiaru długości drutu oraz jego szerokości. Skorzystaliśmy z podanych przyrządowych błędów. Otrzymany wynik byłby dokładniejszy gdybyśmy zadbali o stabilniejszy układ pomiarowy, gdyż wahadło podczas wykonywania sprężystych drgań obrotowych poruszało się również w boki. Do obliczenia błędu z jakim wyznaczono moduł sztywności G posłużyliśmy się metodą różniczki logarytmicznej. Przeprowadzone doświadczenie składało się z 3 pomiarów dla tarczy stałej i 3 pomiarów dla tarczy dodatkowej. Liczba drgań wahadła n = 100.

---